电磁惯质阻尼器对超长斜拉索的减振性能分析

李亚敏，沈文爱，朱宏平

(华中科技大学 土木与水利工程学院，湖北 武汉 430074)

斜拉索为大跨度斜拉桥的主要承重构件。然而，因其固有频率低、阻尼小[1]，在风和交通荷载等作用下会产生过大振动，从而导致疲劳损伤和加速应力腐蚀，严重降低了斜拉索的使用寿命。目前，主要的工程措施是在其锚固端附近安装外置式阻尼器，提高斜拉索的模态阻尼比，从而达到抑制其过大振动的目的[2]。斜拉索振动控制又可以分为主动、半主动和被动三种控制方法[3～5]。其中，被动阻尼器不需要提供外部电源，且成本低、易维护，在斜拉索减振工程实践中更受欢迎[6～11]。在被动控制方法中，线性粘滞阻尼器的最大模态阻尼比正比于安装位置比a/L(a为斜拉索的安装高度；L为斜拉索长度)。研究表明，线性粘滞阻尼器最大模态阻尼比的理论值是a/(2L)[6,12,13]。由于a受限，当L很大时，安装位置比a/L的值会急剧减小，从而导致常规阻尼器对超长斜拉索提供的模态阻尼比偏小。例如，千米级跨度斜拉桥，拉索长度达500 m，若常规阻尼器安装在5 m位置，理论上其提供的最大模态阻尼比为0.5%，因而不能有效抑制斜拉索的大幅振动。

惯质阻尼器(Inerter Damper或Inertial Mass Damper)属于被动控制方法中的一种新型阻尼器，它的输出力不仅包括粘滞阻尼力，还包括一种与相对加速度成正比的惯性力。它的设计思路来源于英国学者Smith提出的惯质(Inerter)单元[14～16]。此后，许多研究者将惯质单元和阻尼单元结合起来组成惯质类阻尼器，研究这种类型阻尼器在土木工程结构中的被动减振性能，发现惯质能较大程度提高结构系统的模态阻尼比[16～18]。值得注意的是，在斜拉索减振中，由于阻尼器可假定为固支，则惯质单元的惯性作用可完全等效为附加质量效应[19,20]。Lu等[21]通过复模态特征值分析研究了惯质阻尼器对斜拉索的减振性能，发现惯质阻尼器提供的斜拉索模态阻尼较粘滞阻尼器高一个数量级。Shi等[19]提出了一种优化算法，可求解各阶模态对应的惯质阻尼器最优参数及其理论最大阻尼比。此外，学者们还研究了其他惯质类阻尼器对斜拉索的减振性能[22～27]。例如，Li等[22]通过足尺实验研究了电磁分流阻尼器对斜拉索的减振性能提升，其中电磁分流阻尼器可通过电容元件来模拟惯质单元。

电磁惯质阻尼器(Electromagnetic Inertial Mass Damper，EIMD)的理想力学模型与惯质阻尼器相同，主要区别为其阻尼形式为电磁阻尼，具有阻尼可调、温度适应性好、阻尼特性稳定等优点。本文改进并提出了电磁惯质阻尼器的本构模型[15]；随后，我们[20]通过斜拉索足尺实验证明了电磁惯质阻尼器可大幅提升斜拉索的减振性能，其一阶模态阻尼比较常规粘滞阻尼器提升约2倍。汪志昊等[26～29]从数值和试验两方面验证了斜拉索垂度对惯质阻尼器减振性能的影响。

本文以中国香港昂船洲大桥某斜拉索为减振对象，研究比较了粘滞阻尼器(Viscous Damper,VD)和电磁惯质阻尼器斜拉索的减振性能。首先介绍电磁惯质阻尼器的构造和线性力学模型，阐述其力学行为。其次，建立斜拉索-阻尼器系统的有限差分模型，并进行特征值分析以确定斜拉索-阻尼器系统各阶模态的最优惯质和阻尼参数，比较电磁惯质阻尼器和粘滞阻尼器可获得的最大阻尼比。最后，在简谐激励和抖振力激励下，分析电磁惯质阻尼器和传统粘滞阻尼器的减振性能。

1 电磁惯质阻尼器

如图1所示，电磁惯质阻尼器依靠滚珠丝杆和导轨将阻尼器可动端的直线运动转化成转动。阻尼器通过联轴器的联轴转动和增速器的增速作用，带动飞轮和电机高速转动，从而产生巨大的惯性力和阻尼力[15]。惯性力和阻尼力的大小分别跟阻尼器两端相对加速度和相对速度大小成正比。除此之外，实验观察到阻尼器工作时，还会存在一定的摩擦力[15]。根据能量守恒原则，摩擦力可以等效为阻尼器的寄生阻尼力。

图1 电磁惯质阻尼器原型机

因此，如图2所示，电磁惯质阻尼器的力学模型可以简化为一种线性力学模型，具体表达式为：

图2 电磁惯质阻尼器的线性力学模型

(1)

如上所述，电磁惯质阻尼器的力学单元分为惯质单元和阻尼单元。图3为电磁惯质阻尼器的理论滞回曲线，其中，图3a为阻尼单元滞回曲线，其力-位移滞回曲线面积的大小与阻尼的耗能能力成正比，力-速度曲线的斜率值为阻尼系数。图3b为惯质单元的滞回曲线，其力-位移直线的负斜率特性反映了惯质作用。受简谐激励时，负斜率值等于-meω2(ω为激励的圆频率)，其力-速度曲线的面积大小跟惯质系数大小成正比。图3c为电磁惯质阻尼器的滞回曲线。惯质能提高结构系统的模态阻尼比，增大阻尼耗能的效率，进而在某些工程减振方面可以达到良好的减振效果。

图3 电磁惯质阻尼器的理论滞回曲线

2 斜拉索-电磁惯质阻尼器数值模型

2.1 斜拉索有限差分模型

根据Mehrabi等提出的有限差分法，斜拉索可以离散成多单元的数值模型[30～31]。模型考虑斜拉索自身抗弯刚度和重力引起的垂度。斜拉索的有限差分模型可以表达为质量、阻尼和刚度矩阵形式的动力学方程：

(2)

式中：x为斜拉索n个自由度的位移动力响应向量；M，C，K分别为维度n×n的质量、阻尼、刚度矩阵。其中，斜拉索的质量矩阵为：

(3)

式中：mnn为斜拉索质量矩阵M中的第n个自由度单元的单位长度质量(kg/m)。如上所述，因有限差分模型考虑了斜拉索自身的垂度和抗弯刚度，其刚度矩阵的表达式为：

(4)

式中：le，EI，T分别为单元长度、单元抗弯刚度、斜拉索水平张力。此外，考虑垂度影响的刚度矩阵K″可以表达为：

(5)

式中：EA为斜拉索的轴向刚度；而ysp为斜拉索在自重情况下的垂度位移，可通过如下表达式得到：

(6)

式中：m，g分别为节点质量向量和重力加速度。斜拉索的阻尼矩阵C可以表达为：

(7)

2.2 斜拉索-电磁惯质阻尼器有限差分模型

图4为斜拉索-电磁惯质阻尼器系统用有限差分法得到的离散单元数值模型示意图。

图4 斜拉索-电磁惯质阻尼器离散单元模型

如2.1所述，斜拉索-电磁惯质阻尼器也可以表达为质量Md、阻尼Cd和刚度Kd矩阵形式的动力学方程。阻尼器安装在斜拉索锚固端0.05L处，一端连接在斜拉桥桥面板固定端，另一端与斜拉索连接，相当于在对应的某个离散单元添加了阻尼器的力学单元。因此，在对应的矩阵元素上增加阻尼器的惯质单元和阻尼单元可以得到斜拉索-电磁惯质阻尼器系统的有限差分数值模型。在无控斜拉索的质量和阻尼矩阵相应位置元素上增加质量和阻尼单元。

(8)

Kd=K

(9)

因此，斜拉索-电磁惯质阻尼器系统的动力方程可以表达为：

(10)

因电磁惯质阻尼器包含了惯质单元和阻尼单元，所以斜拉索-电磁惯质阻尼器系统模型中质量和阻尼矩阵都会发生变化。而粘滞阻尼器只有阻尼单元，因此斜拉索-粘滞阻尼器系统只有阻尼矩阵相应的元素发生变化。建立斜拉索和斜拉索-阻尼器有限差分数值模型和动力方程的系统矩阵。根据系统矩阵，采用特征值分析方法，计算得到无控斜拉索和斜拉索-阻尼器系统的动力特性。考虑不同模态的谐振激励和抖振力激励，用Newmark法计算得到斜拉索的动力响应，进而比较传统粘滞阻尼器和电磁惯质阻尼器对斜拉索的减振性能。

3 参数分析

本文以中国香港昂船洲大桥中某根长307 m的斜拉索作为减振对象进行参数分析，比较两种阻尼器对斜拉索的动力特性影响及减振性能。斜拉索直径为155 mm，索张力为5529.6 kN，其他参数见表1。

表1 昂船洲大桥某斜拉索参数

根据索的参数可以建立相应的有限差分模型，得到系统矩阵，进行特征值分析，计算得到斜拉索前六阶模态频率分别为：0.394，0.776，1.164，1.552，1.941，2.330 Hz。理论上，还可以根据斜拉索参数计算得到前六阶的模态频率，理论表达式为[19]：

(11)

式中：i为模态阶数；ωi为第i阶模态频率。根据式(11)，可以计算得到前六阶模态频率分别为：0.386，0.771，1.157，1.543，1.928，2.314 Hz。这一结果与数值模型得到的模态频率结果基本吻合，可以认为数值模型具有很高的精确度。

3.1 单阶模态最优参数

图5 斜拉索-粘滞阻尼器系统前六阶模态阻尼比

表2 粘滞阻尼器与电磁惯质阻尼器的最优参数及最大阻尼比

3.2 简谐激励

简谐激励的振幅均为1000 N，扫频速率为0.001 Hz/s。激励作用点在斜拉索0.88L处，这样斜拉索-阻尼器系统前六阶的模态都能在这个激励点下被激起。为了比较粘滞阻尼器和电磁惯质阻尼器在简谐激励下的减振性能，将3.1节优化得到的粘滞阻尼器和电磁惯质阻尼器前六阶模态的最优参数分别代入数值模型进行数值计算。以比较第一阶模态减振性能为例，粘滞阻尼器的最优阻尼系数为156.0 kN·s/m，电磁惯质阻尼器的最优惯质和阻尼系数分别为60.5 ton和98.9 kN·s/m。依据式(8)，代入惯质和阻尼参数可以分别得到斜拉索-电磁惯质阻尼器系统的数值模型矩阵。输入简谐激励，用Newmark法可以分别计算得到：粘滞阻尼器和电磁惯质阻尼器对斜拉索减振后的第一阶模态谐振的动力响应，从而进行比较。比较其他各阶不同模态减振性能时，输入各阶不同的最优参数并计算得到各阶位移动力响应进行比较。各阶模态简谐激励频率变化范围以及比较位移动力响应的位置见表3。比较每一阶模态减振性能的位置是位移动力响应最大处，分别为0.50，0.75，0.83，0.875，0.90，0.915倍的L。

表3 粘滞阻尼器与电磁惯质阻尼器的位移动力响应及减振性能

图6对比了安装粘滞阻尼器和电磁惯质阻尼器的斜拉索在简谐激励下前六阶模态位移动力响应。以图6a第一阶模态的位移动力响应比较为例，跟无控的情况相比，粘滞阻尼器和电磁惯质阻尼器均有较好的减振性能。在0.5L处时，无控的位移响应峰值为163.2 mm，而粘滞阻尼和电磁惯质阻尼器的位移响应峰值分别为65.9，25.4 mm，分别下降了59.6%，84.4%。结果表明，在同时分别设定第一阶最优参数的情况下，电磁惯质阻尼器比粘滞阻尼器的减振性能更好。同样地，在简谐激励的情况下，其他五阶的结果均表明最优电磁惯质阻尼器和最优粘滞阻尼器也都具有良好的减振效果，但前者比后者的减振性能更好。在简谐激励下各阶模态的位移动力响应峰值和减振率见表3。

图6 谐振激励下斜拉索前六阶模态的位移响应

3.3 抖振力激励

在风荷载作用下，斜拉索的振动问题会更复杂，可能发生多模态振动或伴随主振模态转移的单模态振动。本节主要比较斜拉索在平均风速为25 m/s的抖振力激励下，粘滞阻尼器和电磁惯质阻尼器的减振性能。针对抖振力的特性，粘滞阻尼器的阻尼系数选取了第一阶和第六阶模态阻尼比随阻尼系数变化曲线的交叉点70 kN·s/m。交叉点以上，保证了各阶模态阻尼比均大于1.98%。电磁惯质阻尼器的参数选择以优化第一阶模态的减振性能为目标，即最优惯质和最优阻尼系数分别为60.5 ton和98.8 kN·s/m。利用斜拉索-阻尼器系统有限差分模型，每个单元节点对应输入不同的抖振力时程曲线。图7和图8均为模拟抖振力激励下斜拉索的位移响应。图7a，7b分别为斜拉索跨中的位移响应和快速傅里叶变换的频谱图。从图7a中可以明显地看到电磁惯质阻尼器对斜拉索的减振性能优于粘滞阻尼器。模拟风振激励包含了平均风和脉动风两部分。在脉动风的影响下，斜拉索的位移振动响应均值不为0。图7b表明，抖振力激励下，斜拉索-阻尼器跨中位移的第一阶模态振动比较明显，电磁惯质阻尼器得到的跨中频谱幅值比粘滞阻尼器更小。图7a，7b均证明了在抖振力激励下，电磁惯质阻尼器减振性能优于粘滞阻尼器。

图7 风振激励下斜拉索跨中位移的动力响应

图8a，8b分别为抖振力激励下斜拉索不同位置处的静位移和动位移。输入抖振力激励，可以得到斜拉索不同位置的时程响应。对时程响应取平均值，得到的是平均风作用下斜拉索不同位置的静位移。将不同位置时程响应的平均值分别消去，并取均方根值，可以相应地得到脉动风作用下斜拉索不同位置的动位移均方值。图8a表明，在平均风作用下，电磁惯质阻尼器与粘滞阻尼器对斜拉索的静位移控制效果几乎一样，均没有明显效果。而图8b表明电磁惯质阻尼器对斜拉索不同位置动位移响应的减振效果均优于粘滞阻尼器。其中，在0.25，0.4，0.5倍的L处，电磁惯质阻尼器比粘滞阻尼器的减振效果分别高27.1%，28.7%，28.8%。图8的结果表明，抖振力激励下电磁惯质阻尼器比粘滞阻尼器减振性能更优越，尤其是对脉动风引起的动位移减振。斜拉索在对称位置处的动位移响应几乎一样，这也说明抖振力激励下，斜拉索的振动以第一阶模态振动为主。

图8 抖振力激励下斜拉索不同位置处的静位移和动位移

4 结论与展望

本文建立了斜拉索-阻尼器的有限差分数值模型，比较了粘滞阻尼器和电磁惯质阻尼器对斜拉索动力特性的影响及其减振性能。可以得到如下结论与展望：

(1)以斜拉索-阻尼器各单阶模态减振为优化目标，发现电磁惯质阻尼器能大幅度提高斜拉索各单阶模态减振的模态阻尼比，与粘滞阻尼器相比，电磁惯质阻尼器提供给斜拉索的模态阻尼比提高了约10倍。

(2)电磁惯质阻尼器获得最大阻尼比时，其最优阻尼系数远小于粘滞阻尼器的最优阻尼系数。简谐激励下，优化的电磁惯质阻尼器减振性能均超越了最优粘滞阻尼器。在抖振力激励下，电磁惯质阻尼器的减振性能依然优于粘滞阻尼器，其对脉动风作用下动位移响应的控制效果更好。

(3)考虑多阶模态减振时，由于粘滞阻尼器只有阻尼单元系数的变化，第一阶和第n阶的阻尼比-阻尼系数曲线的交汇点即为前n阶模态阻尼比的下限值。而电磁惯质阻尼器具有惯质和阻尼双参数且可以同时独立变化，不存在交叉点，但可能存在最优参数区域。实际工程中应结合工程需要，考虑斜拉索多模态的最低减振要求，确定其目标阻尼比，进而可对惯质系数和阻尼系数同时进行优化。