基于角动量守恒定律分析固体矿产的开采对地球自转的影响

李庚伟，张文治，赵子龙

（1.中国地质大学（北京）数理学院，北京100083；2.中国地质大学（北京）地球科学与资源学院，北京100083）

0 引言

地球的自转运动可分为：1）相对于惯性空间的运动（岁差章动），它是由日月引力作用在地球赤道隆起部分的结果；2）相对于地球本体的运动，也就是地极移动（极移）和地球自转速率变化（日长变化）.一般情况下，极移描述的是地球自转轴相对于固体地壳的运动；日长变化则描述的是地球绕瞬时自转轴的自转速率变化［1］.

本文主要研究的是地球自转速率的变化情况，而对此产生影响的因素主要包括外界天体引力导致的地球系统总角动量的变化以及地球表面和内部物质质量迁移所导致的转动惯量的变化.与地月、地日之间的距离相比，暂且可将地球、月球和太阳均看成质点，如是便可认为太阳、月球对地球的合外力矩为零，即地球自转的角动量守恒.因此本文将重点讨论地球表面和内部物质质量迁移对地球自转速率的影响.

固体矿产是指经过地质成矿作用而形成的、埋藏于地下或分布于地表、呈固态并具有开发利用价值的矿物或有用元素的集合体［2］.自工业革命以来，人类社会便进入了高速发展阶段，对各种固体矿产的需求正在不断上升.而人类对固体矿产的开采会导致地球的质量进行重新分布，从而导致地球绕地轴旋转的转动惯量发生改变，并进而改变地球自转的速率.而一旦地球自转的速率发生变化，则会导致诸如昼夜时间改变、地表的地质作用发生改变等一系列的全球性环境问题.

针对地球的自转运动，前人从不同角度分析了影响地球自转速率的因素，如顾震年等于1999年发表的《海潮模型的比较及海潮对地球自转变化的影响》基于海潮模型研究了海潮对地球自转的影响以及海潮影响地球自转的高频变化的两种不同的激发机制［3］；喻铮铮等于2018年发表的《地球自转非潮汐变化研究进展》结合国内外研究现状，对地球自转非潮汐变化的影响因素进行了较为全面的叙述，主要对陆地水储量、积雪、冰期后地壳回弹以及太阳活动等影响地球自转的主要非潮汐因素的研究进展作了简要概述［1］；此外还有秦明等于2018年发表的《大地震对地球自转的影响》一文基于简正模和点源位错两种不同的理论，应用PREM地球模型，以2000年至今的10个8.3级以上的大地震为例，探究了震源深度变化对地球极移和日长变化的影响［4］.而本文将主要从由于固体矿产的开采而引起地球质量的重新分布的角度，来阐述其对地球自转速率的影响.鉴于地球是一个非常复杂的系统，以及采矿过程涉及众多物理因素后，为方便问题的讨论，本文将该实际问题进行了一定程度的理想化，建立了一种可行的数学模型.在此模型的基础上进行相应的计算和理论分析，并得出本文的相应结论.

1 模型

如上所述，为方便问题的讨论，本文将做以下的假设：

（1）将所有矿床均近似为质点.即若只考虑其中某一个矿床，则只需考虑该矿床所处的纬度αj（j=2，4，6，……，rad）、矿井的深度（沿地球半径方向距地表的距离）hj（j=2，4，6，……，m）、矿床的储量mj（j=2，4，6，……，kg）、所采的矿石的平均密度为ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）、所采矿石均就地利用.

（2）由于废弃的矿坑会引起潜在的危险，随着采矿技术越来越规范和先进，采矿结束后，通常会向矿坑内回填适量的某些物质.不同的采矿点会视具体情况的不同而回填不同的物质.现假设某采矿点的回填物为某一性质均一的物质，其密度为ρi（i=1，3，5，……，kg/m3），其质量为mi（i=1，3，5，……，kg），且所有回填物质均为就地取材.

（3）将地球近似为一个分层但各层密度均匀的实心球，其半径为R（6371393 m），质量为M（5.965×1024 kg）.由外向内依次为地壳部分，地壳是莫霍面以上的地球表层.其厚度变化在5～70 km之间.其中大陆地区厚度较大，平均约为33 km.大洋地区厚度较小，平均约为7 km.综上计算，地壳总体的平均厚度为Rq（1600 m）.由于目前人类对固体矿产的所有开采活动均未深入地幔部分，且在可预见的未来也很难深入地幔进行开采，故可认为人类目前只能在地壳进行开采.假设在人类未进行开采活动时的地壳的初始质量为mq0（4.776×1022 kg）.而在进行开采活动之后，需将所开采的矿石和回填物质区别于地壳进行单独的计算.故可认为在进行开采活动之后的地壳的质量为mq（kg）.

地幔是指地球的莫霍面以下，古登堡面以上的中间部分.其密度为ρm（4590 kg/m3），从地心到地幔顶部的距离为Rm（m）.

地核是指地球内部古登堡面至地心的部分.其质量为mh（1.88×1024 kg），半径为Rh（3.48×106 m）.

2 理论推导

由前文可知，地球的自转角动量是守恒的.根据角动量守恒定律可知：其中，在人类进行固体矿产的开采活动之前，地球绕地轴自转的转动惯量为J1(kg m2），其自转角速度为相应地，在人类进行固体矿产的开采活动之后，地球绕地轴自转的转动惯量为J2(kg m2），其自转角速度为

在人类进行固体矿产的开采活动之前，根据转动惯量的标量性以及前文所述，需对要被开采的矿石和将要使用的回填物质区别于地壳进行单独的计算，可知

其中，除去要被开采的矿石和将要使用的回填物质的地球绕其地轴转动的转动惯量为J0(kg m2）.而要被开采的矿石和将要使用的回填物质的转动惯量之和为J01(kg m2）.同理，在人类进行固体矿产的开采活动之后，可知有如下等式成立：

其中，除去已被开采的矿石和已使用的回填物质的地球绕地轴转动的转动惯量为J0(kg·m2）.而已被开采的矿石和已使用的回填物质的转动惯量之和为

由前文可知，地球可分为局部匀质的三个部分，即地壳部分、地幔部分、地核部分.则

其中，地壳部分的转动惯量为Jq(kg·m2），地幔部分的转动惯量为Jm(kg·m2），地核部分的转动惯量为Jh(kg·m2）.

相对于地球庞大的体积，可将地壳部分视为一薄球壳，并设其转动惯量为Jq(kg·m2），则

地幔部分可视为一匀质的实心球，并在其球心处去除体积与地核相同的球体.设其转动惯量为，则

由公式（1）、（2）、（6）、（7）、（8）、（9）可知：

根据前文假设所述，可将某一具体的采矿过程抽象为见图1所示，此时令i=1,j=2,k=0，则

在采矿之前：

在采矿之后：

又由于在全球范围内，显然需要考虑分布极其广泛的所有采矿点.则在采矿之前：

在采矿之后：

再由公式（3）、（4）、（5）可知：

代入公式（13）、（14）

继续代入公式（10）

上述公式（17）便是基于角动量守恒定律针对固体矿产的开采对地球自转的影响这一问题进行推导而得出的最终公式.

根据公式（17），可计算出开采后与开采前地球自转角速度的比值ω2/ω1.从而比较出在固体矿产开采的前后，地球的自转速率发生的变化.为使结论更加清晰直观，本文将针对一具体情境进行更深入的分析.即固体矿产开采的前后，地球的自转周期将如何变化.

根据参照物的不同，地球的自转周期分为太阳日和恒星日.而恒星日是指从遥远的其他恒星（默认为无穷远的平行光）.两次直射国际日期变更线的时间，这才是地球自转的真正周期.地球绕其自转轴旋转360°.而根据现今的科学观测可知，一个恒星日的时间为23小时56分4秒，即86164 s.又根据角速度的物理意义，可知在固体矿产被开采之前，有如下等式成立：

其中t1（86164 s）为固体矿产被开采之前，地球自转的周期.同理，可知在固体矿产被开采之后，有如下等式成立：

其中t2（s）为固体矿产被开采之后，地球自转的周期.联立公式（18）、（19），则：

根据公式（20），可以计算出固体矿产开采的前后，地球的自转周期的变化情况.

3 数据计算

根据实际生活中对固体矿产的开采情况来看，大体可分为两类：（1）回填物质的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）大于所采矿石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）.（2）回填物质的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）小于所采矿石密度ρj（j=2，4，6……，kg/m3）.本文重点针对第二种情况来进行说明，第一种情况同理，在此便不再赘述.可以预见，固体矿产的开采对地球自转的影响是不易察觉的.因此为使结果较为明显，本文将假设一较为极端的情况来进行阐述.若所采矿石的密度远大于回填物质的密度，且该矿石的储量相当可观.则在矿石的开采前后，会导致地球上出现规模巨大的质量的重新分布，而这会引起地球绕地轴旋转的转动惯量的变化.在地球自转的角动量守恒的情况下，地球的自转速率便会发生较为明显的改变.

为方便问题的讨论，现令k=0，i=1，j=2.则公式（17）将简化为：

又因为回填物质的体积应等于所采矿石的体积，即：

将公式（22）代入公式（21），则：

根据公式（23），便可计算出比值ω2/ω1.

现假设一极端情况：有一储量m2（4×1020 kg）的金矿，该储量相当于地壳总质量的0.8375%，所处的纬度α2（0°）.其密度ρ2（19300 kg/m3），矿井深度（沿地球半径方向距地表的距离）h2（5000 m），而目前人类对固体矿产的开采活动大多数在距地表5 km的范围内.该矿的回填物质的密度ρ1（1000 kg/m3）.再结合前文所给的数据并代入公式（23），可得：

即在此过程的前后，地球的自转速率发生微小的降低.将该比值ω2/ω1代入公式（20），则：

可见在本文假设的这一极端情况下，地球自转的周期延长了0.02388860685 s.

由于全球范围内不同纬度圈均有固体矿产的开采活动，所以本研究保持上述假设情况中矿石的密度和矿井的深度（沿地球半径方向距地表的距离）、矿床储量不变以及填充物密度不变，只改变矿床所在的纬度，研究不同纬度的采矿活动对地球自转的影响.根据公式（23）可知，由于矿体所处纬度的不同，开采活动对地球自转速率的影响程度也将有所不同.本研究在从赤道到极点的纬度范围内进行平均截取，共20个不同的纬度位置，分别为0°，5°，10°……90°.每一个不同纬度位置的矿床均进行对地球一个恒星日自转时间的计算，并将该计算结果进行更为直观的作图展示，详见图2a.

又因为全球范围内不同的矿床的地质情况和采矿难度的不同，在实际开采过程中不同矿床所使用的矿井深度（沿地球半径方向距地表的距离）不同.所以本研究保持上述假设情况中矿石的密度和矿床所在的纬度、矿床储量不变以及填充物密度不变，只改变矿井的深度，研究不同矿井深度的采矿活动对地球自转的影响.根据公式（23）可知，由于矿井深度的不同，开采活动对地球自转速率的影响程度也将有所不同.本研究根据目前最深的已开采的固体矿产的矿井深度，对自地表以下5 km的范围进行平均划分，取20个矿井深度，分别为0 m，250 m，500 m……5000 m.并计算开采处于不同深度的矿床对地球一个恒星日自转时间的改变量，且对该计算结果进行了更为直观的作图展示，详见图2b.

4 结论与展望

随着人类社会工业化进程的不断推进，世界各国对固体矿产的需求正在不断上升.而对固体矿产的开采活动在一定程度上改变了地球的质量分布.本文从地球自转的角动量守恒出发，根据固体矿产的开采前后，地球自转的转动惯量的变化，进而得出结论.根据前文所述，本文假定回填物质的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）小于所采矿石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）（如重金属矿产的开采），则会在一定程度上降低地球自转的速率，并且两者的密度差异越大，对地球自转速率的影响程度也就越大.同理，若回填物质的密度ρi（i=1，3，5，……，kg/m3）大于所采矿石的密度ρj（j=2，4，6，……，kg/m3）（如褐煤的开采），则会在一定程度上升高地球自转的速率，并且两者的密度差异越大，对地球自转速率的影响程度也就越大.并根据进一步的计算论述，可知在所采矿石与回填物质的密度差异和矿床的储量，以及矿床所处的纬度相同的情况下，矿井的深度（沿地球半径方向距地表的距离）hj（j=2，4，6，……，m）与地球自转速率的改变量的绝对值呈正相关.而在所采矿石与回填物质的密度差异和矿床的储量，以及矿井的深度（沿地球半径方向距地表的距离）相同的情况下，矿床所处的纬度αj（j=2，4，6，……，rad）与地球自转速率的改变量的绝对值呈负相关.且由于转动惯量的标量性质，固体矿产的开采对地球自转的影响在全球范围内具有加和性.

本文忽略地形起伏和横向非均匀性的影响，将地球视为一球形的旋转对称体，且假定其为分层但各层密度均匀的球体.其次，没有考虑地外天体对地球自转影响，与真实的情况相比仍有不小的差距.除此之外，本文采用的是较为理想化的数据，与实际情境有所出入.今后将优化所使用的计算模型及数据，使其与实际情况更为贴切.