立足数学文化 生长学科素养

摘  要：针对教材上多次出现的海伦-秦九韶公式，结合HPM教学思想，将数学历史、数学教材、学生认知和课堂落实四个要素相结合，设计活动任务，把数学文化以合适的形式渗透到学生的学习过程中，促进学生在参与系列数学活动、解决系列数学问题的过程中，接受数学知识，理解数学内容本质，生长学科素养.

关键词：数学文化;学科素养;课堂实录;教学反思

一、问题提出

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）第82页这样描述：“教师应有意识地将数学文化渗透到日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，感悟数学的价值.” 海伦-秦九韶公式蕴含着丰富的学科价值、应用价值、人文价值和课堂实践意义，是典型的数学文化，所以加强对此部分内容的教学意义重大. 针对教材内容的设置和《标准》的要求，有必要带领学生走进海伦-秦九韶公式，带领他们从公式的历史传承走向公式的证明运用. 有鉴于此，在完成人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学5必修》（以下统称“教材”）第一章“解三角形”的全部教学内容之后，以本章复习题第9题为抓手，笔者组织了海伦-秦九韶公式的教学. 教学过程中感想颇多，收获更多. 现将课堂实录及教后感悟分享如下.

二、课堂实录

1. 讲好数学故事

师：我们知道，如果一个三角形的三边长固定，那么这个三角形就固定. 若给出任意一个三角形的三边长，你能求出它的面积吗？请看投影.

多媒体投放：古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）在数学史上以善于解决几何测量问题而闻名. 在他的著作《度量》一书中，给出了这样一个公式：如果一个三角形的三边长分别为[a，b，c]，记三角形的半周长为[p=a+b+c2]，那么这个三角形的面积可以表示为[S=pp-ap-bp-c]. 这个求三角形面积的公式称为海伦公式.

公元1世纪前后，中国古代的数学专著《九章算术》中就有用“底乘高的一半”来计算三角形面积的叙述. 但是在实际测量中，找到不规则三角形的高并不是一件容易的事情，还是三角形的三条边更好度量. 我国宋代的数学家秦九韶在公元1247年提出了求三角形面积的“三斜求积术”，三斜即为三角形的三条边，分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法，如图1所示.“三斜求积术”可以表达如下：[面积2=][14小2×大2-大2+小2-中222].

用我们正在学习的解三角形的相关符号表示公式，即为[S=14c2a2-c2+a2-b222]，其中[c>b>a].

虽然海伦和秦九韶两位数学家分属于不同文化和不同时代，但是他们的研究成果惊人地相似，都给出了“已知三角形的三条边长，求三角形面积”的方法. 将海伦发现的半周长[p=a+b+c2]代入面积公式[S=][pp-ap-bp-c]，并进行代数化简，即可得到秦九韶的“三斜求积公式”. 因为两人发现的关系式形式相似、本质统一. 因此，现代把这两个公式统一命名为海伦-秦九韶公式.

2. 提出数学问题

师：刚刚大家一起了解了海伦-秦九韶公式的内容，是否能够思考，公式到底如何证明？教材第24页和第25页介绍了吴文俊教授根据我国古代传统几何证明特点进行的“三斜求积”证明，请大家自学，并尝试用符号语言“翻译”吴教授的证明过程.

生1对吴教授的证明过程理解如下.

结合我们熟悉的求三角形面积公式[S=12AB · d]，证明的关键是用[a]，[b]，[c]表示[d]，如图2所示.

设[BD=x]，则[AD=c-x].

由刘徽提供的公式，得[x=c2-a2-b22c].

结合勾股定理，得[d2=a2-x2].

所以[d=a2-c2-a2-b22c2].

將[d]代入面积公式[S=12AB · d]，即可得到面积公式[S=14c2a2-c2+a2-b222].

师：生1结合教材中的图形，在[△ABC]是锐角三角形的情况下证明. 如果[△ABC]是钝角三角形，解法相似，结果相同. 在生1的证明过程中，用到教材中提到的“刘徽提供的公式”. 刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，也是中国古典数学理论的奠基人之一，他的主要成就之一是论证了勾股定理与解勾股形的计算原理. 生1所说的“刘徽提供的公式”就是他在证明勾股定理时发现，公式的本质是[x=c2-a2-b22c]，请大家证明.

生2给出的证明过程如下.

在[Rt△ACD]中和[Rt△BCD]中，设[BD=x].

由勾股定理，得[d2=b2-c-x2]，[d2=a2-x2].

联立，消去[d]，并进行化简，得[x=c2-a2-b22c].

师：生2的补充很好！生1的证明方式的出发点是[S=12AB · d]，实际上，我们刚刚学习了三角形面积公式[S=12absinC]，从这个角度一定也可以解决公式的证明问题. 借助[S=12absinC]，大家尝试证明.

生3板演证明过程如下.

师：在证明公式时，生1和生3使用的公式分别是[S=12AB · d]和[S=12absinC]，这恰恰是我们熟悉的三角形面积公式，将海伦-秦九韶公式的证明纳入我们已经熟悉的三角形面积公式系统是证明成功的关键. 学习上遇到“新问题”，要尽力把它纳入到“旧系统”，在现有数学基础上发现新的概念与原理，并且努力将新发现的概念与原理纳入到已有的知识体系，是提升我们学科素养的重要方式.

3. 落实数学试题

师：近几年的高考试卷和调研试卷中融入了大量数学文化试题，既彰显了数学的文化特征，又丰富了数学试卷的文化内涵. 海伦-秦九韶公式中既包含数学名家，又蕴藏数学名著，还融入了数学名题和数学应用. 因此，以它为背景的试题很多. 接下来，我们一起研究其中的两道题.

例1  我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边求其面积的公式——“三斜求积术”：以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上. 以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实. 一为从隅，开平方得积. 也就是[△ABC]的面积为[S=][14c2a2-c2+a2-b222]，其中[a，b，c]分别为角[A，][B，C]的对边，且[c>b>a]. 现有[△ABC]，若[b=2]，且[tanC=3sinB1-3cosB]，则[△ABC]的面积[S]的最大值是多少.

生4：将该题的关系式[tanC=3sinB1-3cosB]“切化弦”并整理，得[sinC=3sinA]. 由正弦定理，得[c=3a]. 已知[b=2]，将[△ABC]的各边代入面积公式[S=14c2a2-c2+a2-b222]，消去[c]，就可以得到与[a]相关的二次函数，即可求得[△ABC]的面积[S]的最大值.

生5投影完整解题过程与解题结果. 具体过程略，结果为[3].

例2  若一个三角形的三边长分别为[a，b，c]，设[p=a+b+c2]，则该三角形的面积[S=pp-ap-bp-c]，此公式也称为海伦-秦九韶公式. 现有[△ABC]，其周长为[16]，其中一边长为[6]，则[△ABC]的面积的最大值为（    ）.

（A）10    （B）12    （C）14    （D）8

生6：根据题意，可知[p=a+b+c2=8]. 所以[S=][pp-ap-bp-c]=[88-a8-b8-c]. 不妨设[c=6]，则[a+b=10]. 此时[S=168-a8-b]. 问题转化为“已知[a+b=10]，求[u=8-a8-b]的最大值”.可以使用“二次函数法”或者“基本不等式法”求最值，求得[Smax=12]. 所以该题答案选B.

三、教学反思

1. 要重视基于HPM理论的数学文化教学

HPM理论的研究者华东师范大学汪晓勤教授说过，数学文化融入数学教学有六大价值，可以呈现知识之谐，展示方法之美，营造探究之乐，揭示文化之魅，提供能力之柱，彰显德育之效. 由此可见，HPM理论指导下的数学文化教学不仅能够促进学生从数学的内部发现问题、提出问题、分析问题，进而解决问题，而且可以使课堂有文化层次性、有历史厚重感，让教学内容生动活泼，使学习活动生机盎然.

就本节课的教学而言，其价值主要体现在以下三个方面. 首先，促进学生对数学本质的理解. 本节课中，学生在证明与应用海伦-秦九韶公式的过程中，知道了海伦-秦九韶公式的本质，感受了证明公式的方法，理解了三角形内部边角关系的转化，掌握了研究新问题的方法——将“新问题”纳入“旧系统”. 其次，发展学生学科素养. 本节课中，学生在“数学故事”的引领下进行有效探究，过程中逐渐理解数学、喜欢数学、热爱数学，从而开阔数学视野，丰富数学体验，提升数学品味，而这些方面都切实地发展着他们的学科素养. 最后，改善课堂教学生态. 将数学文化内容融入教学设计中，数学课堂的内涵将更加丰富，课堂过程就更容易设计符合知识发生、形成和发展过程的问题，从而引发学生交流，促进学生自主探究，激发学生思考，而这无形中都改善着我们的课堂生态.

2. 要研究数学文化教学的时机选取和内容甄别

因为《标准》和高考对数学文化的教学都提出了新的要求，所以许多教师现阶段的教学有一点“跟风”，每堂课都琢磨着从数学名人、数学名著、数学名题引入，时刻都惦记着讲个“数学故事”，生生把数学文化教学变味为“趣味数学”教學，这种做法显然过犹不及. 课堂最主要的任务是学习数学知识，进行数学训练，总结数学方法，形成数学思维，发展数学素养. 虽然数学文化的教学对以上任务有促进作用，但是还是要分清“本”和“末”. 要研究数学文化教学的时机选取和内容甄别，“数学文化材料”引入课堂之前，先要思考其是否满足以下条件：趣味性，“材料”能激发学生的学习兴趣和动机;科学性，“材料”要符合史实，有可靠的文献出处，而不是胡编乱造，数学上也不能有错误;有效性，“材料”要有助于学生理解、掌握和运用相关知识，有助于教学目标的全面达成;可学性，“材料”要符合学生的认知基础，易于学生接受;人文性，“材料”要与数学人物相关联，反映数学背后的人文精神，或反映数学与其他知识领域之间的联系，有助于揭示数学的文化价值，发展学生的学科素养.《标准》提倡将数学史与数学文化有效融入数学教学之中，不同版本的教材中都融入了大量的数学文化内容，教师要做的是设置对应的问题使数学文化从教材中的“文化形态”转化为“数学形态”，然后带领学生走出“文化”，走进“数学”，通过真实学习，给学生的思维打开一扇窗，提供一个新的思考方式. 而这恰恰是生长学科素养的土壤.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]汪晓勤. HPM：数学史与数学教育[M]. 北京：科学出版社，2017.

[3]孙媛媛. 数学文化融入高中数学课堂教学的方法和途径[J]. 中学数学，2020（4）：73-77.

[4]方长林. 数学文化“搭台” 核心素养“唱戏”[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（12）：60-61.

收稿日期：2021-06-26

基金项目：江苏省中小学教学研究第十三期立项课题——基于“超回归”数学理解模型的高中数学概念教学策略研究（2019JK13-L072）.

作者简介：晁丰成（1979— ），男，中学高级教师，主要从事数学教学与数学命题研究.