用动量定理求解这道流体力学题错在哪里?

董井林 张洪清

(湖南省石门县第一中学,湖南 石门 415300)

1 问题的提出

下面这道流体力学题,用动量定理和伯努利方程两种方法求解,所得结果截然不同．

图1 计算v与h的关系

如图1所示,一根水平管道a两端与大气相通,在管道上竖直插有一根上端开口的“L”形弯管b.当a管内的液体以速度v匀速流动时,b管内液面的高度为h,假设液体与管道之间不存在摩擦力,则v与h的关系是

解法1:用动量定理求.

设b管底端开口处的横截面积为S,液体密度为ρ,在极短时间Δt内,与b管底端相冲击的a管中的液体质量Δm为

Δm=ρvΔtS.

(1)

对这质量为Δm的液柱微元,设b管中底端静止液体对它的作用力为F,由动量定理知

0-Δmv=-FΔt.

(2)

由(1)、(2)式得

F=ρSv2.

又由牛顿第三定律知,b管中静止液体受到a管中水流的冲击力F′为

F′=F=ρSv2.

(3)

再对b管中高为h的静止液柱,由平衡条件知

ρShg=F′.

(4)

由(3)、(4)式得

故应选(B)项.

解法2:用伯努利方程求.

设大气压强为p0,b管底端开口处的液体压强为p,液体密度为ρ,由伯努利方程可知

(5)

对b管中高为h的静止液柱,由平衡条件知,

p0+ρhg=p.

(6)

由(5)、(6)式得

故应选(A)项.

这两种解法的答案截然不同.实际上第1种解法中用动量定理求解的过程有错误,但一直以来是个谜,困扰中学物体教学界已经很久了,正确答案应选(A)项.下面循序渐进地分析其错解原因.

2 液柱垂直冲击平板状物体的过程中,其横截面积要增大

从管口喷出的液柱在垂直冲击平板状物体后,若沿液柱前进方向的速度变为0,则在冲击过程中其横截面积要增大,流线图如图2所示,[1]而不是横截面积保持不变的如图3所示的形状.

图2 液柱横截面积增大

可能有很多人对此表示怀疑,还是让我们先看看下面的例证吧.

图4 水柱冲击煤层示意图

3 实例予以佐证

如图4所示,水采煤时,用水枪在高压下喷出强力的水柱冲击煤层,设水柱的横截面积为S,水速为v,假设水柱射在煤层的表面上,冲击煤层后速度变为0,求水柱对煤层的平均冲击力.(水的密度为ρ)

解法1:用动量定理求.

设在极短时间Δt内,冲击煤层的水柱微元的质量为Δm,则

Δm=ρvΔtS.

(7)

设煤层对这段水柱微元的平均作用力为F,对这段水柱微元,由动量定理知

0-Δmv=-FΔt.

(8)

由(7)、(8)式得

F=ρSv2.

又由牛顿第三定律知,水柱对煤层的平均冲击力F′为

F′=F=ρSv2.

解法2:用伯努利方程求.

设大气压强为p0,和煤层接触处水柱的压强为p,由伯努利方程知[2]

(9)

故水柱对煤层的平均冲击力(不含大气压强对煤层的压力)为

F′=(p-p0)s.

(10)

由(9)、(10)式得

由此可见,液柱在垂直冲击平板状物体的过程中,其横截面积确实是增大了的.

4 错解原因分析

因冲击过程中液柱的横截面积要增大,故平板面积过小时,是不能把水柱给挡住(使沿垂直于平板方向的水流速度变为0,下同)的,液柱要斜着越过平板继续流动,其流线图如图5所示,这种情况下水柱对平板的冲击力,直接由动量定理计算很困难,但我们可以用等效法来处理:一部分液柱被平板挡住而给平板以冲击力;另一部分液柱未与平板冲击而直接以原速度v到达平板后面继续前进,其对平板没有冲击力.设其中被平板挡住的液柱微元的质量为Δm′,由动量定理可知

0-Δm′v=-FΔt.

(11)

图5

F即为液柱对平板的冲击力.

在解法1中,因所选的冲击b管底端液柱的横截面积和b管底端的横截面积是相等的,而冲击过程中液柱的横截面积又要增大,故液柱不能被b管底端(相当于平板)挡住.根据上面所介绍的等效法,对质量为Δm=ρvΔtS的液柱微元,通过冲击而使等效于沿前进方向速度变为0的液体质量Δm′应小于Δm,其余的要绕过去以原速度v前进等效于未冲击.根据第一种解法并结合等效法容易得到Δmv>FΔt,而Δm=ρvΔtS,所以F<ρSv2.