基于幂次混合趋近律的Buck变换器滑模控制方法研究

刁冠勋，代运滔

（1.国网上海市电力公司检修公司，上海 200063；2.遵义供电局，贵州 遵义 563000）

随着工业化程度不断提高，用电设备飞速发展，对电能质量提出更高要求。开关变换器作为电能转换重要的一环，受到国内外学者的普遍关注。尤其降压（Buck）变换器，由于在体积、重量和能耗等方面的优势，被广泛应用于航空航天、电动汽车、全电舰船等高新领域[1-4]。

Buck变换器输出电压及电流谐波含量越低，波形越平滑，电能质量越好。高性能控制算法无疑会提高Buck变换器输出的电能质量[5]。滑模变结构控制算法对系统外部扰动和内部变化具有强鲁棒性，能较好地应用于Buck变换器。文献[6]针对Buck变换器传统PI控制动态响应和抗干扰能力差等缺点，提出一种鲁棒离散积分滑模电压控制方法，提高输出电压的动态品质和抗扰性，抑制了滑模抖振。文献[7]针对Buck变换器滑模系数难以确定、动态响应和鲁棒性难以同时提高等缺点，提出一种电感电流自适应终端滑模控制方法。通过李雅普诺夫求解系数，构建非线性环节，实现双闭环滑模控制方法，解决了上述不足。

作为滑模控制算法重要组成部分，趋近律控制方法通过设计趋近律表达方式，调节系统到达滑模面动态性能，进而缩短Buck变换器输出电压到达稳态作用时间，减小超调量[8]。文献[9]针对传统等速趋近律趋近时间较长、抖振严重等情况，提出一种新型趋近律控制方法。该方法提高系统趋近速度，抑制滑模抖振，仿真结果证明了该方法的有效性。为补偿Boost变换器非线性滑模等效和实际控制之间的误差，文献[10]提出一种新型趋近律，使系统状态在远离和靠近滑模面时，均能保持较快趋近速度，减小滑模抖振。文献[11]通过引入滑模参数和系统状态，重新设计趋近律参数，并采用幂次函数取代开关函数，加快Buck变换器动态响应，减小超调量。

在上述文献基础上，本文针对Buck变换器，提出一种新型幂次混合趋近律控制方法。通过对趋近律参数进行自适应调节，进一步提高系统收敛速度，减小抖振。

1 Buck变换器状态方程

Buck变换器又称降压变换器。通过开关管通断，将变换器输入电压转换为低输出电压，以供用电设备使用。Buck变换器拓扑结构如图1所示。

图1 Buck变换器拓扑结构Fig.1 Buck converter topology

图1中，变换器输入电压、输出电压分别用Ui和Uo表示。假设Buck变换器带线性负载R，主体结构由开关管Vg、二极管D、电感L、电容C组成。当开关管Vg导通时，电流通过电感L，流到电容C和负载R，电感L和电容C分别起滤波和储能作用。此时二极管承受反向电压关断。当开关管Vg关断时，二极管承受正向电压导通，电感L电流不能立刻降为零，起续流作用，同时电容C释放存储电能给负载R。通过快速通断开关管，输出电压Uo能稳定于参考电压Uref。定义u=1为开关管Vg导通，u=0为开关管Vg关断，因为电感L和电容C均为储能元件，以电感电流iL和输出电压Uo为状态变量，求得状态方程如下：

以式（1）为基础，进一步求解Buck变换器二阶状态方程。定义Buck变换器输出电压误差x1=Uref-Uo，输出电压误差变化率根据系统状态，可得Buck变换器二阶状态方程为

式（2）状态方程为非线性，滑模控制同样为典型的非线性算法，非常适合应用于式（2）的方程。对于滑模控制算法，滑模面选取至关重要，本文选用线性滑模面如下式：

其中，滑模面参数k1＞0，k2＞ 0。对式（3）求导，并将式（2）代入，可得开关管Vg控制作用u为

式中：为幂次混合趋近律。

2 Buck变换器滑模控制方法设计

2.1 幂次混合趋近律提出

高为炳院士最早提出趋近律控制方法[12]。指数趋近律设计简单，应用最广，其数学表达式为

当系统从初始位置s（0）运行至滑模面s（t）=0时，求得到达时间为

初始位置s（0）＜0运行至滑模面作用时间以此类推。从式（6）可以看出，在初始位置不变的情况下，到达时间与趋近律参数k和ε有关，与系统数学模型无关。到达时间保持不变，是指数趋近律最大的优点。但指数趋近律缺点明显，无法真正意义上消除系统抖振。

为克服指数趋近律的缺点，文献[13]提出一种变指数趋近律：

式中：X为系统状态。

相比指数趋近律，变指数趋近律能加快系统趋近速度，在距离滑模面较近时，随系统状态大小调节趋近速度，最终收敛于平衡点。但变指数趋近律有两大不足：1）距离滑模面较远时，系统趋近速度没有幂次趋近律快；2）当到达滑模面，系统状态较大时，趋近速度较快，超调量较大。

针对以上两点不足，本文在变指数趋近律基础上，提出一种新型幂次混合趋近律，表达形式如下：

式中：sgn(s)为符号函数；x为系统状态；arsinh(δ|x|)为反双曲正弦函数。

arsinh(δ|x|)根据系统状态x自适应调节趋近速度，曲线如图2所示。

图2 三种函数曲线比较（δ=0.1）Fig.2 Comparison of three function curves（δ=0.1）

从图2中可以看出，系统状态较大时，arsinh具有比符号函数sign和饱和函数sat更快的收敛速度；系统状态靠近滑模面时，arsinh收敛速度变缓，且曲线光滑性更好，能减少超调量，减小系统抖振。

幂次混合趋近律由-εarsinh(δ|x|)sgn(s)项和-k|s|αsgn(s)项组成。通过以上分析，当系统距离滑模面较远时，-k|s|αsgn(s)项起主要作用，与-εarsinh(δ|x|)sgn(s)项共同作用，维持较快的趋近速度。当系统距离滑模面较近时，-k|s|αsgn(s)项由于幂次项，趋近速度呈几何倍速放缓。-εarsinh(δ|x|)sgn(s)项起主要作用，且趋近速度随系统状态减小而减小，自适应调节滑模抖振，直到系统最后收敛于平衡点。

切换带能调节系统到达滑模面的抖振大小。由上文分析，幂次混合趋近律到达滑模面的抖振大小，主要由 -εarsinh(δ|x|)sgn(s)项决定。系统到达滑模面，趋近平衡点过程中，若平衡点附近x=0+→x=0，则

对分子、分母求导，得：

同理，若平衡点附近x=0-→x=0，则

根据式（10）、式（11），系统到达滑模面后的稳态性能由参数ε，δ决定，尤其平衡点附近抖振，由参数ε和δ的乘积决定。

本文提出的幂次混合趋近律控制方法，有效克服文献[13]变速趋近律不足。首先，引入幂次项，有效提高系统趋近速度。其次，当到达滑模面，系统状态较大时，arsinh(δ|x|)arsinh(δ|x|)项有效降低系统状态大小，进而减小超调量。

2.2 控制性能分析

滑动模态成立的前提是满足到达条件，定义李雅普诺夫（Lyapunov）函数为

对式（12）求导，得：

由式（13）可知，本文设计的幂次混合趋近律控制方法满足到达条件。

Lyapunov稳定性条件只是定性分析幂次混合趋近律控制方法有效性，下面对到达时间进行定量分析。

1）若系统状态s（0）＞0，则式（8）化为

系统从初始状态第1次到达滑模面s（t）=0的作用时间为

由上文分析，距离滑模面较远时，-k|s|αsgn(s)项起主要作用；距离滑模面较近时，-εarsinh(δ|x|)sgn(s)项起主要作用。两者以s=1为分割点，则式（15）变为

由于 arsinh(δ|x|)是递增函数，在s（0）→0 过程中，|x|∈ [xmin,xmax]，则

2）若系统状态s（0）＜0，推导方法依次类推。

由此可见，采用幂次混合趋近律控制方法，系统能在一定时间内到达滑模面。

2.3 比较验证

为验证幂次混合趋近律控制方法的快速性和稳定性，与指数趋近律和幂指数趋近律进行比较，并应用于二阶系统：

初始状态为[20，0]T，滑模面如式（3），k1=10，k2=1。三种趋近律参数分别如下：

1）幂次混合趋近律：趋近律表达式见式（8）。

2）指数趋近律：

3）幂指数趋近律：

参数取k=10，ε=10，α=2，δ=0.2，滑模面s如图3所示，系统状态x1，x2分别如图4、图5所示。

通过比较指数趋近律和幂次指数趋近律，|s|α项有效提高系统趋近速度；通过比较幂指数趋近律和幂次混合趋近律，arsinh(δ|x|)项减少了超调量，随着系统状态自适应调节滑模抖振，最终收敛于平衡点。通过式（17），计算系统从初始状态到滑模面作用时间t＜0.1 s+0.2 s，符合图3系统到达滑模面时间，印证了计算方法的有效性。

图3 滑模面sFig.3 Sliding surface s

图4 系统状态x1Fig.4 System status x1

2.4 二阶控制器设计

滑模控制算法对外部干扰和参数变化具有极强的鲁棒性。理想的Buck变换器输出电压最终收敛于Uref，但实际滑模控制中，时延和滞后等干扰会产生误差。定义误差为d，则滑模面s变为

当系统到达滑模面，求得系统状态为

由此可见，当存在误差d时，系统状态最终收敛于-d/k1。增大k1能减少Buck变换器的稳态误差，但过大的k1会造成输出电压超调量较大。

根据李导数定义，求得等效控制ueq为

当k1/k2=-1/CR时，等效控制ueq不再受输出电压变化率影响，此时等效控制ueq=Uo/Ui。综上，对滑模面参数k1，k2取值时，应该先确定k1值，进而通过比例关系，求得k2值大小。

将式（8）代入式（4），求得开关管Vg控制作用u为

图5 系统状态x2Fig.5 System status x2

3 仿真和实验

为验证本文提出的Buck变换器幂次混合趋近律控制方法有效性，将其与指数趋近律控制方法进行比较，并搭建控制器Matlab/Simulink仿真模型。Buck变换器参数为：电容C=0.05 mF，电感L=0.75 mH，电阻R=10 Ω，输入电压Ui=36 V，参考电压Uref=20 V。滑模面参数：k1=200，k2=1。图6为基于两种趋近律控制方法的Buck变换器输出电压比较；图7为基于两种趋近律控制方法的Buck变换器电感电流比较。

图6 Buck变换器输出电压Fig.6 Buck converter output voltage

从图6、图7可以看出，采用指数趋近律控制策略，输出电压到达稳态时间较长，超调量较大，稳态后波动较大。而采用幂次混合趋近律控制策略，输出电压到达稳态时间较短，超调量几乎为零，稳态后无波动。电感电流进一步证明控制策略的有效性。

为验证基于幂次混和趋近律的滑模控制器有效性，搭建实验平台将其与指数趋近律相比较。Buck变换器输入电压由可编程电源Chroma 6250P提供，输出电压范围0～600 V，选择36 V作为输入电压。二极管型号为STPS20200CT，电感型号为具有高额定电流的VLB12065HT-R36，大小为0.5 mH。电容型号为GRM32ER71H106MA12，采用2个10 μF电容并联。负载采用可编程电子负载Agilent 6060B。开关管采用TI公司的CSD16414Q5。图8为通电后，基于两种趋近律控制方法的输出电压实验波形比较；图9为稳态后，基于两种趋近律控制方法的输出电压实验波形比较。

图7 Buck变换器电感电流Fig.7 Buck converter inductor current

图8 通电后输出电压实验波形比较Fig.8 Comparison of output voltage experimental waveforms after power-on

图9 稳态后输出电压实验波形比较Fig.9 Comparison of output voltage experimental waveforms after steady state

从以上实验图可以看出，相比于指数趋近律控制方法，本文提出的幂次混合趋近律控制方法输出电压动态调节时间更快，超调量较小，稳态后电压波动小，与仿真结果保持一致。

4 结论

本文在指数趋近律基础上，提出一种基于幂次混合趋近律的Buck变换器滑模控制方法。通过引入幂次函数和反双曲正弦函数，提高系统趋近速度，减少稳态误差，提高稳态性能。给出Buck变换器状态空间方程以及滑模控制器设计流程。本文提出的基于幂次混合趋近律滑模控制方法不仅用于Buck变换器，还能用于一般意义的非线性模型，例如永磁同步电机、机械臂等，具有较强的普适性。