指向空间思维能力提升的多维度数形结合策略与研究

2021-02-26 11:13李红英
求知导刊 2021年47期
关键词:空间思维多维度数形结合

摘 要:数形结合是小学数学教学的基本思想方法,其能有效发散学生的数学思维和提高课堂教学效率。在实践中,文章作者发现学生的空间想象能力还不够成熟,对枯燥的算式和数字有厌倦感,遇到难题也不会通过画图来帮助理解,但数形结合的教学策略可将抽象的知识具体化,使学生易接受。基于此,文章拟建构一个多维度数形结合思想进行阐述。

关键词:数形结合;空间思维;多维度

作者简介:李红英(1969.11—),女,浙江杭州人,浙江省杭州市富阳区受降小学,一级教师,本科,研究方向:小学数学教学。

一、现象与归因

(一)看现象:数形结合思想的直观情况

小学低中段学生的学习特点是以兴趣为主,数学教材往往以与实际生活情境相关的符号、图形、故事为主进行编排,并没有真正关注数量关系。大多数学生不能结合图文完整地表述题目的含义,找出的数学信息不全,建立数量关系时乱凑数,解题过程中缺乏空间想象。高段学生在解决问题时多数没有将新旧知识联系起来,未能思考现实中的数量关系和建构空间模式,无法树立起数形结合思想。那么如何让不同学段的学生去理解不同的视图内容?如何让数形结合思想在实践操作中得到灵活有效的运用?这些问题都是笔者在本文中将要探讨的话题。

(二)剖实质:数形结合思想在课堂实践应用中存在的问题

1.学生方面

第一,学生对数形结合的知识掌握和方法掌握不够,主要表现在两方面:一是将图形转化成数;二是将数或式转化成图形。学生在实际做题中,往往没有建构起数形结合思想的概念,而是直接以数或式代形,导致解题受限,思维难以发散。

第二,学生思想上固有的依赖性。在日常教学中,学生对教师的作图依赖性很强,导致在平时的作业中,不肯作图或不能规范作图。

2.教师方面

教师一般认为数形结合思想没有算理和算法重要,无意识地忽视了数形结合思想,对此降低或不作要求。目标不明,则动力不足。

二、思考与设想

(一)数形结合的概念

数形结合就是把抽象的语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过以形助数或以数解形,使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化,从而实现优化解题途径的目的。

(二)多维度的数形结合思想理念的意义

1.数形融合,理解文字内涵

在数学学习中,文字题占有很大比例,它是用文字表达数与数、数与形之间运算关系的题目,因此通过题目解读结合数形以及思维的模式,就可以有效降低解题难度。所以为了让学生理解题中的数量关系,我们应尽可能将语言文字转化成图形,将抽象的语言文字形象化。

2.数形链接,构建空间概念

在几何形体的教学中,教师可以先拿出与教学内容相关的几何形体的直观教具,让学生观察、体验一下该几何体的形状、外形特征等,直接感知该几何形体的直观属性,从而对所学内容有直观的认识。

3.数形对比,厘清数量关系

动手操作可促使学生由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡。如果把抽象的知识转化为看得见、摸得着、容易理解的知识,把要理解的知识点变得简单化并生动有趣地呈现出来,就可以有效激发学生的学习兴趣。

4.数形互补,提炼多种算法

在小学数学教学中,要鼓励算法的多样化。但算法多样化并非一定要从中选优、优中选精,只要能体现学生自己的思维方式,都应鼓励他们多加提炼。算法多样化是对学生个性化学习的尊重,也有利于学生之间的交流,同时也锻炼了学生的高水平思维能力。

三、数形结合思想的实践探究

(一)以形思數

1.在直观中理解数

数学概念比较抽象,教学中,教师常常用数形结合思想开展教学,利用学生对图形与数字之间的联系,让学生的思考建立在对图形的认识、对数字的理解上。同时,教师通过渗透数形结合思想,实现了学生思维的多样化。

【案例1】折出不同的面积为  的正方形。

(1)折出一个正方形,并且这个正方形的面积是原来正方形面积的  。给你的同学解释一下,你折出的图形面积为什么是原来面积的  。

(2)再折出一个三角形,并且这个三角形的面积是原来正方形面积的  。给你的同桌解释一下,你折出的图形面积为什么是原来面积的  ,但这些三角形的形状与前面折出的三角形的形状是不同的。

利用手中的正方形纸片,借助日常生活经验与数学活动经验,学生能折出步骤1、步骤2要求的正方形与三角形(见图1、图2),这是较低层级思维的思考。当学生被要求折出新的三角形,且面积是原来正方形的  时,或面积是原来正方形的  时,学生也能借助直觉折出步骤3、步骤4要求的正方形与三角形(见图3、图4),学生也能借助数学推理向同桌解释数学依据,这是中高层级思维的思考。

2.明析数量关系

在低段数学教学中,图文式题目占有很大比例,主要是用文字表达数与数、数与形之间的运算关系。因此,学生合理利用数形结合想,对解题帮助很大。

【案例2】菜园里有15只小鸡,还有8条小虫,小鸡比小虫多多少?(用实物图片摆)

从图5中可清楚地看到,上面一行小鸡比下面一行小虫多,可把上面一行的小鸡分为两部分:一部分是一小虫同样多的,另一部分剩下的,只要把小鸡和小虫的数量一一对应,余下的就是小鸡比小虫多的数量。

练习变式:小鸡加1只变成16只,小虫加1条变成9条,那么小鸡比小虫多多少?

低层级思维的学生就是从16数,一只一只减少9,相差7,这样算既麻烦又易错。

中层级思维的学生就是16先减6等于10,再减3等于7。

高层级思维的学生是就16减少1就是15,9减少1就是8,刚刚我们学过15-8等于7。

这种高层级思维可能源于小虫的数量怎样比小鸡少,也可能源于对于减法的感性认知,即差不变的性质。

不同的算法,源于学生的数感。他们选择这样算,可能源于小虫的数量怎样比小鸡少的一种数学比照,可能源于对朦胧的减法性质的感知,明确了数量关系,即被减数和减数同时减去一个相同的数,差不变。

3.帮助学生有序思考

【案例3】下面□的数量有怎样的变化规律?第20个图形有几个□?

通过摆小木块方式探究的学生,多数是将木块放在图形顶层,少部分放在右侧(见图6、图7)。而采用画图方式的学生,增加的正方形几乎全部摆在底层(见图8)。学生能列出算式1+3+5+…+n,但第20个图形的底层有多少个,运算有难度。

低层级思维的学生能够根据变化规律逐步数出第20层有39个。

中层级思维的学生能够根据观察得出底层图形数量的规律是:层数×2-1=底层图形的数量。

高层级思维的学生能够利用剪切平移法,将不规则的图形想象成正方形(如图9)。

最后得出结论:第20个图形☐数量的算法是:1+3+5+…37+39=20×20。

儿童的认识规律,一般来说是从直接感知到表象再到形成科学概念的过程。通过形转化为数,学生拓展了对本部分知识学习的深度,一方面对将数转化为形的知识进行巩固,另一方面又提升了逆向思考、发散性思维的能力。

(二)以数想形

1.引导学生在转换中建立“形”

【案例4】“异分母分数加减法”练习课,可参考图10进行教学。

先计算,再想一想你能发现什么。交流得出:此算式结合图形计算难度更小。

学生用这种方法算出                  。

在多媒体的帮助下,展示最后剩余的越来越小,引导学生感受极限思维,即最后逐渐逼近1,这是高等数学中常用的思维。

教师利用学生对图形与数字之间的联系的理解,让学生的思考建立在对图形的认识、对数字的理解上,促进学生进行发散性、多样化思考,这种设计渗透了数形结合的理念,也优化了算法。

2.理解各种公式

【案例5】教学三角形的面积计算公式时,课始,绝大部分学生已经隐约知道三角形的面积计算公式,教师展示图形后,让学生计算三角形(如图11)的面积。

学生经过思索,出示了多种式子,如8×4÷2、8×(4÷2)、8÷2×4,这些不同的式子体现了不同的图形转化思路,教师也大胆地请学生根据式子分别想办法找到不同的转换方法。学生分别用图表示出各种算式的意思、各种推导公式的思路。

再经过讨论、分析,学生就可以发现三角形的面积计算公式是底×高÷2,这就由计算转向了几何推理。

3.激发学生运算灵性

【案例6】计算题“18×5”的教学。

我们不妨将例题改成:每套书有18本,王老师买了5套书。一共买了多少本?

(1)布置探究任务,自主计算

师:同学们,今天我们来学学口算“18×5”,大家独立思考,争取用不同方法計算,并把自己的算法在格子图上画出来。

(2)小组分享、学习算法

在本例中,我们需要指导学生直接计算18×5,但画图的方法给他们带来了惊喜和快乐——原来计算也可以这样有意思。把18拆成9+9,重拼,18×5不就是9×10了吗?

(三)数形结合

1.数形结合,帮助记忆数学知识

运用形象记忆的特点,使抽象的数学尽可能地形象化,学生对输入的数学信息和知识的记忆就更加深刻。

2.数形结合,培养学生发散思维

教学中,教师常借助一题多解的形式,突出已知与未知之间的联系,让学生想出新的方法,提出新的问题,达到知识融会贯通,提高思维的广阔性和灵活性,提高解决问题的能力。

3.数形结合,提高学生创新能力

教师可编选一些探索性题目,让学生去研究,去探讨,去发现。学生进行一系列探索性思维活动,将已有的思维方式大跨度地迁移,从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。

四、思考

(一)数形结合≠有图有数

数形结合直观、形象,可避免繁杂的计算、抽象的概念等。但并不是只要有图和数,就是数形结合。

(二)数形结合思想培养应注重时机

培养学生的数形结合能力,要更多地关注学生学的时机,在相应的年段提供行之有效的教学活动和方法。教师应抓住学生学的时机,从一年级就开始培养他们的数形结合能力。

[参考文献]

[1]浙江省教育厅教研室.浙江省中小学学科教学建议:试行[Z].杭州:浙江省教育厅教研室,2009.

[2]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012.

[3]人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心.教师教学用书数学六年级上册[M].北京:人民教育出版社,2015.

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