数据分析一一从教材到评价的探究

许梅容

《普通高中数学课程标准（2017年版）》将“数据分析”作为高中数学课程目标中培养学生所必备的六个数学学科核心素养之一，而初中数学课程学习是高中数学课程学习的基础与准备，这就必然地引发了初中数学中，统计要考什么、怎么考的思考，笔者借助教材课题学习内容挖掘其中的统计思想，尝试编制统计试题，并对其进行拓展变式，期待能够引起更多的讨论，助力命题研究.

1命题过程

1.1试题展示

（10分）调查作业：数学老师安排九年1班的同学通过小组合作对本校九年级二十个班级1000位同学的中考体育球类三选一自选项目情况进行调查了解，同学们分成以小军、小红、小亮、小英为小组长的四个小组各自将抽样收集到的数据进行整理，绘制成以下四种情况的统计表：

根据以上材料回答下列问题：

（1）这4组同学所绘制的统计表中，哪一组同学抽样调查的数据能较好地反映出该校学生自选球类情况，并简要说明其他同学抽样调查的不足之处.

（2）你能用学过的统计图来表示全校同学自选球类的情况吗？

（3）结合你所画的统计图，你可以对学校的球类教学工作提出什么建议吗？

1.2试题背景

试题的背景材料为义务教育教科书人教版八年级下册20.3课题学习《体质健康测试中的数据分析》.请同学们分组合作完成下面的调查活动.

收集完成近两年你校七年级部分学生的《体质健康标准登记表》，分析登记表中的数据，对你校七年级学生的体质健康情况进行评定，提出增强学生体质健康的建议.

教材提供一个调查样例，从收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、撰写调查报告、交流这6个环节为学生展示课题学习流程，要求学生写出活动总结，介绍本小组的调查过程，展示调查结果，交流通过数据处理寻找规律、得出结论的感受.课题学习过程展示了初中阶段学生养成数据分析观念的做法.沿着课题学习的思路，笔者尝试设计统计内容的题目，挖掘课题内涵，促进学习研究的深度融合.

1.3试题设计

为了解总体的情况，我们经常从总体中抽取样本，通过对样本数据的处理，获得一些结论，然后再利用这些结论对总体进行估计，这就是用样本估计总体，它是统计的基本思想.有的学生随意抽取样本，导致得到的数据失去应有的作用，获取了一些失真的、无效的数据.

根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》关于统计课程的学习目标“树立数据分析观念、掌握必要的收集数据、整理数据、描述数据、分析数据的方法”，试题考查目标定位于准确掌握抽样的方法、科学整理数据、规范描述数据、准确分析数据、合理推测结论，落实数据分析素养的考查.

相关调查涉及14项体育活动，以球类项目为例开展抽样调查，收集整理描述分析数据，目的是考查学生的数据分析意识，一方面可以检验课题学习水平，另一方面落实数据分析素养的考查，围绕自选球类项目的调查流程，以样本估计整体的细节处理，集中趋势的说明分析，帮助学生学会利用数据分析解决实际问题.

试题初稿是对城区两所学校学生的球类成绩进行抽样调查，题目如下：

为准备体育中考，了解学生的球类成绩情况，对城区两所中学的八年级男生进行了抽样调查，过程如下：

收集数据：从这两所中学的八年级各随机抽取20名学生，进行球类项目测试，测试成绩如下：

甲校：86 74 81 75 76 87 70 75 100 78 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙校：93 80 73 81 88 70 81 81 72 73 81 78 94 82 83 80 77 70 83 40

整理、描述数据：按如下分数段整理，描述两组样本数据，请补充完整：

分析数据 请结合上表，选择一所学校画出它的频数直方图;

得出结论 通过直方图，可以推断出_____________________________________;理由为：__________________________________________.

试题设计经历数据分析过程，考虑城区两所学校抽取20名学生成绩作为样本不具广泛性和代表性，命题立意不够严谨，于是把试题设计为一所学校的篮球、足球、排球三种球类自选项目的相关问题并进行拓展，通过学生熟悉的中考体育活动，经历数据分析过程，考查学生应用数据分析的方法解决生产、生活中简单的统计问题.

1.4试题解答

（1）（4分）小英同学的抽样调查反映出该校学生自选球类情况，小军小红的样本没有来自所有班级，且只抽取50名，样本数过少，不具广泛性，小亮的样本只针对男生没有收集女生的球类自选情况，这三者数据不具代表性.（判断说明各2分）

（2）（4分）给出图1或图2.

（3）結合统计图只要有合理的建议即可，比如学校准备蓝球、足球、排球三类球的个数比例约为5：3：2，或者估计全校九年级有一半的学生自选蓝球项目，各班自选球类比例不同，可以适当考虑采用走班形式集中开展相应球类活动等建议.

2评析拓展

2.1评析

试题结合教材课题内容，用中考体育需要考查学生的自选球类项目作为试题背景，以统计思想为视角，考查学生会不会想到进行数据分析需要收集、整理、描述、分析、推测的五步骤，能不能做到正确的收集、科学的整理、规范的描述、准确的分析、合理的推测结论，以开放性的形式让学生作答，符合学生的认知，让不同的学生呈现出不同的答题水平，实现对学生运用统计知识与方法的自觉性、熟练性和准确性的考查，展示学生的数据分析能力，体现数据分析素养的命题立意，符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》培养学生数据分析核心素养的要求.

2.2拓展

全校自选球类问题可以延伸至测试的成绩情况的拓展，也可以从统计图表信息的解读进行拓展，还可以由个体成绩集中趋势的分析进行拓展.

拓展1某校组织全体九年级学生进行一次球类项目测试，小明对九年1班全体学生的测试成绩进行统计，制作了以下不完整的频数分布表和扇形统计图，根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求九年1班的学生人数;

（2）写出频数分布表中的a，b的值;

（3）全年段共1000名学生参加本次测试，若规定80分以上（含80分）为优秀，估计该年段本次测试成绩达到优秀的人数;

（4）小明通过年段查阅发现本次测试成绩达到优秀的有720人，请你用所学的统计知识简要说明实际优秀人数与估计人数出现较大偏差的原因.

（4）因为只抽查九年1班的测试成绩，对于全校来讲不具有代表性，而抽查的样本容量只有50名学生，对全校1000名学生来讲不具广泛性.

本题考查学生能否读懂频数分布表、扇形统计图中所蕴含的信息，并求出相关量，能否用样本估计总体的信息，从图形获取信息再结合信息分析结论是统计教学的重要考查目标，

拓展2某校组织九年级全体学生共1000人进行一次球类项目测试，测完随机抽取了部分学生成绩进行统计，制作了如下频数分布表和频数分布直方图，请根据图表提供的信息，解答下列问题：

本题考查学生能否读懂频数分布表、频数直方图中的信息，能够结合中位数概念分析它所在的区间，能够利用样本估计总体来计算相关量，要求学生在已整理的数据中寻找可以解决问题的有关数据也是统计教学的考查目标.

拓展3小华准备在蓝球和足球中选取成绩稳定的一个项目参加体育中考，下表是随机抽取小华同学两种球类的15次测验成绩（单位：分）

根据表中数据，你认为小华应该选择哪种球类参加体育中考？请说明你的理由.

解答答案不唯一，理由能支持说明结论即可.

方案1蓝球的成绩更稳定，因此应该自选蓝球参加体育中考.

小华的两种球类随机抽取的15次成绩分别组成一个样本，样本数据的平均数分别是

方案2应该选足球参加体育中考.因为在15次的测试成绩中蓝球的中位数是74，足球的中位数是75，说明足球测试的15次成绩中有一半都在75分以上，比蓝球好，所以应该自选足球.

方案3应该选足球参加体育中考.蓝球成绩的众数是74，足球成绩的众数是76，从众数的比较来看，足球成绩的众数高于蓝球，所以自选足球.

本题考查学生能否清楚中位数、众数、方差等统计量对刻画数据特征的量在数据分析中的作用，利用测试成绩组成的一个样本，分析样本数据中的方差、中位数、众数，提出合理建议，从而解决问题.这是统计学对结果的判断考查：同样的数据可以根据自己的理解提出不同的推断方法，给出不同的推断结果.

3命题反思

统计的核心是数据分析，数据分析观念涵盖三层含义：经历数据分析的过程，体会数据中蕴涵信息;掌握数据分析的基本方法，根据问题背景选择合适的方法;通过数据分析感受数据的随机性.

围绕这三层含义开展命题研究，有“经历数据分析过程”的收集、整理、分析、推断的过程设计，也有“体会数据随机”所设置的验证类、推断类、运用频率估计概率类的试题设计、还有“根据问题选择合适的方法”的统计学判断原则的命题设计.

据此审视《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“统计”课程的学习要求，应该认为，系统研究初中统计试题的命制，可以指导日常教学，拓宽学生视野，培养学生的统计应用意识，发展学生的数据分析观念.

本文的试题命制实践同时表明，数据分析核心素养的评价必然要求必须以统计知识为载体，以数据分析为依托，以学生“会不会想到，能不能做到”为关注点，注重统计本质的考查，突出核心素養的命题立意.

（本文系2017年福建省中青年教师教育科研项目（基础教育研究专项）《基于核心素养下的数据分析类试题命题策略研究》的研究成果，课题立项批准号：J2170406（福建教育学院资助））