数学教学中思维方法的理论探析与实践尝试

李亚琼 徐文彬

摘  要：组合数学中的拉姆齐定理探讨了有序和无序之间的关系，是广义的“抽屉原理”. 从思维内容、思维特性、思维过程和思维策略等方面剖析“抽屉原理”的思维结构，得出“抽屉原理”反映无序中蕴含有序;体现从不确定性中寻找确定性因素，体现逻辑思辨性和批判性思维能力;“抽屉原理”的思维方法蕴涵以分求和的思想;“抽屉原理”的核心是运用逻辑分类构造“抽屉”. 这样的数学思维特点蕴含数学思维的相似性特质，引导学习主体在实践尝试中将思维形式进行推广、引申与应用，实现知识的迁移，并不断完善学习主体的数学认知结构，这正是思维方法的教育价值.

关键词：拉姆齐定理;思维共生;存在性问题;以分求和;实践尝试

数学教学中，教师和学生组成教学共同体，教师通过设计教学引导学生参与思考，以期形成思维共生的局面. 然而，我们总是在应然和实然之间徘徊. K.邓克尔提出：思维过程分为三个层次，即一般的解决、功能的解决和特殊的解决. 在思维过程中，如果学习主体在后一层思维受阻，就必须返回前一层，此时思维活动就需要重新调整，直到解决问题. 在数学教学中，如何让学生的思维处于有序状态？这是教育工作者一直关注的问题. 完全的无序是不可能的. 那么，无序的最大限度在哪里？本文将从数学的角度来思考这个问题.

一、问题提出

组合数学中的拉姆齐理论（Ramsey-Theorie）探讨了有序和无序之间的关系. 其试图找一个最小的数[n]，使得[n]个人中必定有[k]个人相互认识或相互不认识. 拉姆齐定理的含义是没有完全的无序，在任何情况下，可以在无序的大系统中找到有序的区域. 拉姆齐定理是找出保证会有某种性质存在的最小集合.

下面来看两个引例.

引例1：生日问题.

必须找多少个人，才能保证至少有2个人的生日在同一天（不必在同一年）？

考虑闰年有2月29日，全年总共366天，必须找367个人，假设前面366个人的生日完全不同，则第367个人的生日必定与前面366个人中的某1个人在同一天，即不管这群人中哪2个人或哪2天都不影响，至少有2个人的生日在同一天.

引例2：友谊定理.

任意选6个人，则其中总有3个人彼此是朋友或互不认识.

友谊是一种对称关系，如果A是B的朋友，那么B也是A的朋友. 要想证明这个结论，可以将每个人用一点来表示，如果两个人彼此是朋友，对应两点连成实线，否则连成虚线（具体参见图1）. 每个顶点都可以画出5条边，所以共有30条边. 然而每条边都会算两次，于是在6个人的关系图中一共有15条边. 每条边可能是“实线”也可能是“虚线”，不受其他边的影响. 因此，在6个人之间，共有215种不同的关系模式. 假设[P]是[A，B，C，D，E，F]中的一个元素，即为图1中的一个定点. 从点[P]出发有5条边，必然至少有3条边同为实线或者虚线（例如，在图1中，从点[A，C，D，E，F]出发至少有3条虚线，从点[B]出发至少有三条实线），则形成单一线条的三角形（三条边同为实线或虚线），即说明有3个人彼此是朋友或互不认识. 这个结论也被称为“友谊定理”.

综合引例1和引例2来看，无论是“生日问题”还是“友谊问题”，整体上看都是无序的，但隐含着某种局部的性质：如果有超过[n+1]个对象要分配到[n]个“抽屉”，至少有一个“抽屉”放了[2]个或2个以上的物件. 这就是狄利克雷的抽屉原理，简称“抽屜原理”，也称为“鸽笼原理”.

二、“抽屉原理”的思维结构

“抽屉原理”是德国数学家狄利克雷提出的，它是组合数学中的一个最基本原理. 下面从“抽屉原理”的思维结构切入，对该原理的思维方式进行理论探析.“抽屉原理”的思维结构是一个多因素动态关联系统，包括思维内容、思维特性、思维过程和思维策略等.

1.“抽屉原理”的内容

抽屉原理1：把[n+k k≥1]个元素放入[n]个“抽屉”中，那么至少有一个“抽屉”中含有两个或两个以上元素.

抽屉原理2：把[mn+k k≥1]个元素放入[n]个“抽屉”中，那么至少有一个“抽屉”中含[m+1]个或[m+1]个以上的元素.

抽屉原理3：把[n]个元素放入[k]个“抽屉”中，那么至少有一个“抽屉”中的元素个数大于等于[nk]个，也必然有一个集合中的元素个数小于等于[nk]个.

抽屉原理4：把无限多个元素放入有限多个“抽屉”中，至少会有一个“抽屉”中含有无限多个元素.

“抽屉原理”的四种形式用反证法易证得结论. “抽屉原理”的四种形式容易理解，但在实际应用时，需要确定描述对象（元素）和构造合适的“抽屉”（性质相同的对象要放进相同的类别，每个对象至少属于其中一类）. 因此，“抽屉原理”的关键内容是对象的任意性、“抽屉”的适恰性及结论的存在性问题. 这个原理在简单和深刻之间搭起了桥梁.

2.“抽屉原理”的思维特性

“抽屉原理”的运用蕴含思维的相似性、逻辑性和概括性等特性.

（1）思维过程蕴含相似性.

用“抽屉原理”解决数学问题的根本思想在于寻求客观事物之间的数学关系和结构样式. 例如，在“抽屉原理”的使用中，如何确定研究对象和构造适恰的“抽屉”，这就体现思维的相似性，也是“抽屉原理”的精髓所在. 对数学问题之间及问题本身的条件和结论的分析与转化，这样的思维过程蕴含相似性. 当然，相似性也是一般数学思维的一个重要特性.

（2）问题分析蕴含逻辑性和概括性.

“抽屉原理”的实质是无序中蕴含有序，即从无序的大系统中找到有序的区域，体现从不确定性中寻找确定性因素. 在不确定的世界中寻找确定性，反映出学习主体的认知局限与对学习的探索精神的辩证统一，体现思维的逻辑思辨性. 运用“抽屉原理”解决问题的过程体现思维的逻辑性和迁移性，即能找到问题背后的研究对象和适恰的“抽屉”，从而推广到同类现象中去解决问题. 同时，“抽屉原理”思维方法的形成和迁移运用也是思维概括性的重要表现.

作为一种解题方法，在使用“抽屉原理”的过程中要注重技巧，解题过程中包含分析、综合、抽象、观察、联想等思维方法. 对问题的分析、选择合适的对象等过程都涉及逻辑思维的判断及命题间的转换;构造适恰的“抽屉”需要联想和抽象. 例如，在“友谊问题”中，需要将每个人看成一个点，两个人是朋友或不是朋友可以用不同的线表示，这个过程就体现了联想和抽象. 从而确定出：6个人中，从1个人出发可以引出5条线，至少有3条线相同.“抽屉原理”在中小学奥数中应用广泛，经常作为某些存在性证明的思维切入点，可以培养学生的发散性思维、逻辑推理能力、知识迁移能力等.

3.“抽屉原理”的思维过程

数学思维过程是学习主体以获取数学知识或解决数学问题为目的、运用有关思维方法达到认识数学内容内在信息的加工过程.“抽屉原理”的解题方法的精髓是对象的选择和“抽屉”的构造，反映出“抽屉原理”的思维过程.

（1）模式识别.

对特定的数学问题或对象系统，学习主体需要分析问题、剖析研究对象，按照“抽屉原理”的思维模式分析研究对象. 怀特海认为数学是对模式的研究. 这样的思维模式是约简了的思维过程、降低了思维的强度，具有提高思维效率的功能. 例如，在“友谊定理”中，需要学生自主抽象出点和线，然后从一点出发有5条线，数学抽象的作用是便于更好地利用相应的模型进行联想和思考.

（2）逻辑划分.

“抽屉原理”的思维方法蕴涵以分求和的思想，对问题进行横向分解或纵向分层，去各个击破，从而使问题获解.“抽屉原理”方法的核心是“抽屉”的构造，解题时要明确对象和“抽屉”，而这两者一般不会直接呈现在题目中. 特别是“抽屉”，需要我们用一些方法构造“抽屉”或通过恰当的分类找出“抽屉”，即将研究问题进行逻辑划分，使得每一类问题具有相同的性质，即“抽屉”的规格相同且数量比对象要少. 这样任意将对象分配到各个“抽屉”后，就会出现两个或两个以上的对象属于同一类（“抽屉”）.

4.“抽屉原理”的思维策略

思维总是指向解决问题的活动. 在具体实践运用中，“抽屉”的构造是思维核心，反映出“抽屉原理”的主要思维策略.

（1）直接构造“抽屉”.

“生日问题”中的“抽屉”就是直接构造的，这里就直接将366天视为366个“抽屉”，体现思维方法的直接运用.

（2）“剩余类”构造“抽屉”.

“抽屉原理”在数论中运用较多. 此时，“抽屉”的构造会考虑剩余类. 例如，把所有整数按照除以某个正整数[m]的余数分为[m]类，叫做[m]的剩余类，记作[0]，[1]，[2]，…，[m-1]. 在研究与整数有关的问题时，常常会将剩余类作为“抽屉”，体现了思维的相似性.

（3）分组构造“抽屉”.

例如，从1，2，3，…，10这10个自然数中，任取6个数，必能找到两个数，其中一个是另一个的倍数. 看到这个问题不难想到：先将10个数分成5组，每一组中的两个数都有倍数关系，它们是[1，7]，[2，6]，[3，9]，[4，8]，[5，10]. 于是这[5]组自然可以看成[5]个“抽屉”，很容易说明结论成立. 这个题目通过分组构造出“抽屉”，很巧妙地解决了问题，体现了思维的抽象性和深刻性.

（4）分割圖形构造“抽屉”.

例如，在边长为1的等边三角形内，任取5个点，证明至少有两个点，它们之间的距离小于[12]. 解决这个问题可以用“抽屉原理”. 题目中的对象是5个点，解决问题的关键是构造出4个“抽屉”来，即将三角形分成四部分，每部分作为一个“抽屉”. 将等边三角形分成四部分的情形如图2所示. 借助图形分割，将四个部分作为四个“抽屉”，将问题进行巧妙转化，体现了转化与化归的思维特点.

（5）“转化”构造“抽屉”.

例如，在引例2的“友谊定理”的证明中，先将问题转化，并将人抽象为点、两人之间的关系抽象为不同的线（实线和虚线）. 按认识（朋友）和不认识（非朋友）分类抽象成两个“抽屉”，从而将问题转化为图论问题.

总之，“抽屉”的构造方法有很多种，不管如何构造“抽屉”，其实质就是将对象进行恰当分类. 这样的数学思维策略蕴含数学思维的相似性品质，表现在将思维形式进行推广、引申与应用，实现知识的迁移并不断完善学习主体的数学认知结构. 这正是思维方法的教育价值.

三、“抽屉原理”的教学实践尝试

对“抽屉原理”进行了思维方式的理论探析与再思考后，下面结合以上分析反思教学实践，以期更好地指导教学.

1. 在不等式中的应用

例1  设[0<a<1]，[0<b<1]，[0<c<1]. 证明：[1-ab]，[1-bc]，[1-ca]不能都大于[14].

解析：由条件[0<a<1，0<b<1，0<c<1]知，可以通过分割区间，构造[0， 12]和[12，1]两个“抽屉”.

于是[a，b，c]三个对象中至少有两个属于同一个“抽屉”.

不妨设[a∈0， 12，b∈0， 12，c∈12，1].

于是[1-ca≤14]，分析得出结论成立.

当然也可以利用反证法具体证明.

假设[1-ab]，[1-bc]，[1-ca]都大于[14].

由于[0<a<1，0<b<1，0<c<1]，

所以[1-ab>12， 1-bc>12， 1-ca>12]，

即[1-ab+1-bc+1-ca>32].

再由基本不等式，知

[1-ab≤1-a+b2]，

[1-bc≤1-b+c2]，

[1-ca≤1-c+a2].

求和，得[1-ab+1-bc+1-ca≤32].

与[1-ab+1-bc+1-ca>32]矛盾.

于是结论得证.

2. 在几何中的应用

例2  在半径为[r]的圆内（包括边界），任意放入[8]个点. 求证：这8个点中至少有两个点，它们之间的距离小于半径[r].

解析：如图3，将圆[O]分成六个相等的扇形，于是通过分割图形构造了六个“抽屉”，若8个点中的7个点分别为[O，A，][B，][C，D，E，F]，则第8个点不论

在什么位置都会与其中一个点的距离小于半径[r.]

“抽屉原理”是证明至少存在问题的一种方法，其中构造“抽屉”是“抽屉原理”运用的关键和难点.

3. 在数论中的应用

例3  证明：在2，5，8，11，14，…，101中任意选出20个数，其中至少有不同的两组数，其和等于106.

解析：问题中的数共有34个，把这些数分成如下不相交的集合：[2]，[53]，[5，101]，[8，98]，…，[50，56]，共有18个. 于是通过分组构造了18個“抽屉”. 从已知的34个数中选20个数，即使把前两个“抽屉”中的数2和53先取出，则剩余的18个数的个数比“抽屉”数大2，按“抽屉原理”结论得证.

4. 在概率与统计中的应用

例4  4名学生到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名学生只去一个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法共有      种.

解析：该题是“抽屉原理”的简单运用，4个对象（学生）和[3]个“抽屉”（小区）. 根据题意，有且只有[2]名学生去同一个小区. 于是再利用先选后排，结合排列组合和乘法原理便可得出解答.

综合以上四个例子，教学中，教师需要引导学生先判断是否适合“抽屉原理”，再思考如何构造“抽屉”，从问题分析到构造“抽屉”的过程，引导学生总结规律，建立“抽屉”问题的一般化模型，从而培养学生的数学建模、数学抽象等素养，规范学生思考问题的方法，提升学生分析问题和解决问题的能力. 当然，“抽屉原理”的实质是揭示某种存在性，体现不确定中蕴含局部的确定性，在运用“抽屉原理”的过程中，可以提升学生理性分析问题的能力和批判性思维能力. 在实际教学中，教师需要运用恰当的教学方法，让学生的数学思维能力在自主学习探究的过程中得到发展.

参考文献：

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