数学试验与猜想

张浩

摘  要：2019年高考数学北京卷理科第20题是一道突出数学本质、关注学生会学数学能力的创新题. 数学试验和猜想是数学研究的基本方式，也是积累数学活动经验的重要途径. 通过详细分析此题，兼谈数学试验与猜想在数学探究中的具体应用.

关键词：数学试验;数学猜想;北京高考;压轴题

众所周知，近几年的高考数學试题以立德树人为立足点，着力于数学知识和思想方法，试题内容突出数学学科的本质，富有新颖的背景和呈现方式. 分析历年高考数学北京卷理科压轴题时还会发现，许多题目具有较深刻的高等数学背景（包括但不限于微积分、线性代数、编码理论、组合数学等），设问新颖，区分度较高，有利于高等院校的招生和选拔.

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）明确提出，在命题中，应特别关注数学学习过程中思维品质的形成，关注学生会学数学的能力. 对于此点要求，北京卷的压轴题常以数列、集合、数表为背景，给出新定义或新概念，分层设问，借助实例逐步引导学生将抽象概念具象化，并证明相关结论或给出符合题目要求的答案，考查学生接受和理解新知识的能力. 研究该类型题目能帮助教师和学生感受“做”数学的魅力，激发他们对数学的兴趣.

2019年高考数学北京卷理科第20题是一道压轴题，注重对关键能力和核心素养的考查，避免繁复冗长的运算，将重点放在对以逻辑思维能力为基础的对学生提出问题、发现问题、分析问题和解决问题能力的考查上，体现了中学数学教育的功能. 尽管解答此类试题没有固定的“套路”，但仍有一些基本的探究方法. 本文借评析此题，谈谈数学试验与数学猜想在数学探究中的具体应用.

一、数学试验与数学猜想

著名数学家、教育家波利亚的《数学与猜想》中蕴涵了数学教育教学的重要思想，那就是合情推理，而数学猜想就是合情推理中最普遍、最重要的一种. 无论是归纳还是类比都包含了猜想的成分. 数学通常被看作严谨的论证科学，在压轴题中通常会出现求证结论、需要论证推理这样可靠的、无疑义的推理，但发现问题或发现新事物却总是需要“猜想”. 从而从发现“证明思路”的意义上讲，猜想尽管是有风险的尝试，但它无疑是创造性思维产生的源泉. 正如波利亚所说，我们应该学习证明法，但我们也要学习猜测法.

归纳法就是一种猜想的方法，而数学归纳法是在归纳猜想的基础上，运用严谨的逻辑推理进行证明. 归纳法是科学家处理经验的方法，需要从观察开始，从中获得有益或有趣的事实. 对于数学来说，就是需要观察数学对象，而最具体的对象就是例子. 本文所指的数学试验是指包含构造数学例子或反例、发现或猜测例子表现出来的一般性质或规律，以及验证例子或性质、推广例子等的数学活动经验. 数学试验是数学猜想和证明的基础，数学的发展同样离不开这些基本的数学活动. 数学家哈尔莫斯在其自传中说过，数学并非一门演绎科学——那已是老生常谈了. 当你试图去证明一个定理时，你不只是罗列假设，然后开始推理，你所要做的工作应是反复试验，不断摸索、猜测. 你要想弄清楚事实真相，在这点上你做的就像实验室里的技师，只是在其精确性和信息量上有些区别罢了. 伟大的数学家高斯对素数的例子做了大量的计算之后提出了素数定理的猜想，数学家库默尔推广了很多高斯的研究工作，库默尔的发现并不是依赖抽象的思索，而正是依赖于特殊计算实例的不断积累. 数学猜想也一直影响着现代数学的进步和发展，20世纪有希尔伯特提出的23个问题，21世纪有克雷数学研究所提出的7个千禧年大奖难题. 著名数学家麦克莱恩也曾提出应当把“直觉—探试—出错—思索—猜想—证明”作为理解数学的过程. 因此，数学试验与数学猜想不只用于数学解题，对数学探究及真正的数学研究也是至关重要的.

二、试题呈现

2019年高考数学北京卷理科第20题如下.

已知数列[an]，从中选取第[i1]项，第[i2]项，[…]，第[im]项（[i1<i2<…<im]），若[ai1<ai2<…<aim]，则称新数列[ai1，ai2，…，aim]为[an]的长度为[m]的递增子列. 规定：数列[an]的任意一项都是[an]的长度为[1]的递增子列.

（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为[4]的递增子列;

（2）已知数列[an]的长度为[p]的递增子列的末项的最小值为[am0]，长度为[q]的递增子列的末项的最小值为[an0]. 若[p<q]，求证：[am0<an0];

（3）设无穷数列[an]的各项均为正整数，且任意两项均不相等. 若[an]的长度为[s]的递增子列末项的最小值为[2s-1]，且长度为[s]末项为[2s-1]的递增子列恰有[2s-1]个（[s=1，2，…]），求数列[an]的通项公式.

题干给出的是形式化的定义，需要充分利用富有启发性的例子来理解题目中的新定义，将新定义与已有的知识建立联系，利用数学试验和猜想来帮助求解或求证：通过多举例子或讨论特殊情况，观察例子中产生的现象，发现规律，提出合理的猜想，再进行逻辑推理，最后梳理并简化讨论，用数学符号语言和逻辑语言进行陈述，整理成严谨的证明.

三、第（1）小题的数学试验

该题共有三道小题，第（1）小题给出一个例子将题干中的抽象概念具体化，让学生自行做数学试验. 核心概念是长度为[m]的递增子列，长度相当于数列的项数，而递增数列也是容易理解的，唯独子列的概念需要学生注意. 学生需要把题目中的形式化叙述翻译成自然语言或者更易理解的数学语言. 子列相当于从原数列中取出一部分项后按照原来的相对位置排列形成的数列. 实际上，这是分析学中的基本概念.

数学试验：不单为求解第（1）小题，也为了深入理解新概念，可以对数列1，8，3，7，5，6，9分别给出长度为1，2，3，4，5的递增子列，这里给出所有长度为4和5的递增子列.

长度为4的递增子列：1，3，5，6;1，3，5，9;1，3，6，9;1，5，6，9;3，5，6，9;1，3，7，9;

长度为5的递增子列：1，3，5，6，9.

可以看出不存在长度大于5的递增子列.

从这一试验中能发现哪些有益的事实呢？从长度为5的递增子列中任选4项组成一个长度为4的递增子列，共有[C45=5]种情况. 这是因为原数列的递增子列的递增子列还是原数列的递增子列，同时是原数列中恰好长度为4的递增子列.

还可以通过思考下列几个问题进一步理解递增子列的概念.

（1）如何构造一个数列，使其存在长度为[m]的递增子列？（先构造共[m]项的递增数列，在该数列中任意位置插入其他数均可.）

（2）是否任何数列都有长度为[m m≥2]的递增子列？（未必，递减数列则无.）

（3）尝试给出长度为[m]的递减子列的定义，并对这个定义讨论上述问题.（从数列[an]中选取第[i1]项，第[i2]项，[…]，第[im]项（[i1<i2<…<im]），若[ai1>][ai2>…>aim]，则称新数列[ai1，ai2，…，aim]为[an]的长度为[m]的递减子列. 实际上，递增子列和递减子列是单调子列的两种情况.）

四、第（2）小题的数学试验与求解

第（1）小题的例子是一个启发性例子，在求证第（2）小题时，可以先进行这样的数学试验——验证第（1）小题中的例子是否符合结论.

数学试验：容易看出，结论对[p=1]，[q>1]的特殊情况成立. 下面对长度为4，5的递增子列进行验证，其余情况类似：当[p=4]时，[am0=6]，当[q=5]时，[an0=9]，显然[am0<an0]，结论成立. 这个例子还可以进一步挖掘，长度为3的末项最小的递增子列是1，3，5，长度为4的末项最小的递增子列是1，3，5，6，长度为5的递增子列只有一个1，3，5，6，9. 从第（1）小题的数学试验中得到，从长度为5的递增子列中任取3项，得到长度为[3]的递增子列，其末项大于等于[5]，任取4项得到长度为4的递增子列，其末项大于等于[6]. 而长度为5的递增子列的末项9一定大于前三项组成的子列的末项5，而5是不小于长度为3的递增子列的末项的最小值的，于是结论成立.

现在把上面的4，5替换为[p，q]，就可以得到一般的结论. 其思路是：从长度为[q]的末項最小的递增子列中选前[p]项得到一个长度为[p]的递增子列，得到长度为[q]的递增子列的末项一定大于等于长度为[p]的递增子列的末项的最小值，用数学符号语言表述如下.

设长度为[q]末项为[an0]的一个递增子列为[aj1，][aj2，…，ajp，…，ajq=an0.]

由[p<q]，得[ajp<an0]. 因为[an]的长度为[p]的递增子列末项的最小值为[am0]，[aj1，aj2，…，ajp]是[an]的长度为[p]的递增子列，所以[am0≤ajp]. 所以[am0<an0]. 证毕.

该题还可以用反证法进行证明：当[p<q]时，假设[am0≥an0]. 设长度为[q]且末项的最小值为[an0]的递增子列为[aj1<aj2<…<ajp<…<ajq=an0.] 如果[am0≥an0]，那么[aj1<aj2<…<ajp<…<ajq=an0≤][am0]，于是可以得到一个长度为[p]的递增子列[aj1<][aj2<…<ajp]，并且[ajp<am0]. 这样就找到了一个长度为[p]的递增子列，且末项比[am0]小，与长度为[p]的递增子列的末项的最小值为[am0]矛盾. 因此若[p<q]，则[am0<an0]. 证毕.

五、第（3）小题的数学试验与猜想

对于复杂的问题，直接进行推理论证是困难的，可以把目标进行分解，以避免同时应付太多的逻辑推理. 这一小题做归纳的数学试验.

数学试验：从具体例子入手，讨论[s=1，2，3]的情况，提出猜想，并提出分解的证明目标.

[s=1]时的条件说明该数列中最小值为1，且只有1个，这也与数列中任意两项不相等相容.

[s=2]时，长度为2的递增子列末项的最小值为3，且长度为2末项为3的递增子列恰有[22-1=2]个. 比3小的正整数只有1，2，递增子列只能为1，3或2，3. 注意不能出现1，2，否则长度为2的递增子列末项的最小值为2，因此1，2，3的相对顺序为2，1，3.

[s=3]时，长度为3的递增子列末项的最小值为5，且长度为3末项为5的递增子列恰有[23-1=4]个. 有了前面的铺垫，已知1，3，5和2，3，5是这样的两个递增子列，要想再出现两个，中间必须出现4. 如果出现2，1，3，4，5，那么可以找到2，3，4这样的长度为3的递增子列，末项最小值比5小，不符合题意，因此4不能在3之后，因此1，2，3，4，5在数列中相对顺序应该为2，1，4，3，5.

类似地，还可以考虑[s=4，5，…]，可以得到所有的正奇数都在数列中，得到下表.

数学猜想：此时，已经能发现一些规律，如2要在1前，4要在3前，可以猜测6在5前，8在7前，等等;3要在1后，5要在3后，可以猜测7在5后，9在7后，等等.

注意，这里根据几个特例进行猜测的方法是科学研究中普遍采用的归纳法，不是数学归纳法，这是进行研究的一般思维方法. 从特例中总结出来的命题可能是正确的，也可能是错误的，因此这种方法通常称为不完全归纳法. 这种由不完全归纳法提出的猜测也称为似然猜测. 得出猜想之后，想知道它是正确还是错误，可以进一步做数学试验.

考察其他特例，如果一个猜想的命题在新的例子中得到证实，那么该猜想就变得更可信了，我们对它的信心也就增强了. 经过验证，[s=4]时，相对顺序为2，1，4，3，6，5，7，[s=5]时，相对顺序为2，1，4，3，6，5，8，7，9，这使得之前得出的猜想更可信了. 于是可以猜想出这个数列为[2，1，4，3，6，5，8，7，][10，9，…]，通项公式为[an=n-1 n为偶数，且n≥2，n+1 n为奇数，且n≥1.]

观察猜想出的这个数列，所有的正整数都在数列中，将数列的项每两项一组进行分组：[2，1;4，3;][6，5;8，7;….]

每组中的偶数在奇数之前，并且组间的顺序是[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之后.

现在将猜想整理成欲证的断言.

断言1：[an]包含所有的正偶数，从而包含所有的正整数.

断言2：若[2m]是[an]中的项，则[2m]排在[2m-1]之前（[m∈N*]）.

断言3：[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之后，[m≥2]，且[m]为整数.

如果这些断言成立，根据断言1和断言2，所有的正整数成对出现，每对的前后顺序为2，1;4，3;6，5;8，7;[2m，2m-1];[…].

再按照断言3，如果这样的数列存在，则数列[an]只能为[2，1，4，3，…，2m-2，2m-3，2m，2m-1，…].

这个数列到底是否符合题意，还需要进行数学试验——验证.

数学试验：很明显，这个数列是无穷数列，各项均为正整数且任意两项均不相等. 从首项开始，每两项分组，前[s-1]组每组选一项，按照顺序排列，第[s]组取[2s-1]可以得到长度为[s]的递增子列末项的最小值为[2s-1]. 如果不用这种取法，长度为[s]的递增子列末项的最小值将会超过[2s-1];前[s-1]组每组任意选一项，每组有两种取法，因此这样的取法共[2s-1]种，即长度为[s]末项为[2s-1]的递增子列恰有[2s-1]个，于是验证可知这个数列是所求数列.

若这3个断言得到证明，则可以得出结论. 剩下的就是分步证明3个断言. 在证明之前，先看看该如何选取证明的先后顺序.

数学猜想：通过前面的试验发现，根据长度为[s]的递增数列末项最小值为[2s-1]“应该”能知道相邻的奇数和偶数的相对位置，偶数“应该”是用来补足[2s-1]个子列的，而另外成组的顺序如果变了，也“应该”会影响子列的个数. 于是猜想：证明断言2时会用到“长度为[s]的递增数列末项最小值为[2s-1]”這个较简单的条件，证明断言1和断言3可能需要用到关于子列个数的条件. 根据经验，与计数有关的条件涉及排列组合，也更复杂一些. 因此，接下来按照“断言2—断言1[—]断言3”的顺序进行证明.

断言2的证明：

数学试验与猜想：重温刚才的数学试验，讨论4的位置时用的方法是试错法：若出现2，1，3，4，存在长度为2末项为3的递增子列，如1，3，后面添加4得到1，3，4，与长度为3的递增子列的末项最小值为5矛盾. 试错法，用数学语言表述就是反证法，这启发我们继续使用反证法进行证明.

证明：反证法. 假设[2m]排在[2m-1]之后. 根据已知，存在一个长度为[m]末项为[2m-1]的递增子列. 设为[ai1<ai2<…<aim-1<aim=2m-1].

根据假设，[2m]在[2m-1]之后，

于是[2m]自然地可以添加到上面的不等式链，得到[ai1<ai2<…<aim-1<aim=2m-1<2m].

于是得到了一个长度为[m+1]而末项为[2m]的递增子列，但长度为[m+1]的递增子列的末项的最小值为[2m+1]，矛盾.

因此[2m]排在[2m-1]之前.

断言1的证明：

数学试验与猜想：在刚才的数学试验中，[s=3]时，在已知相对顺序为2，1，3，5的情况下必须引入4才使得子列个数与题意相符. 可以想象，如果缺少偶数，那么子列个数不够，就会与已知产生矛盾. 如果正偶数[2，4，6，8，…]中的2不在数列中，那么在讨论[s=2]时就可以得到矛盾;如果2在数列中，4不在，那么在讨论[s=3]时就得到矛盾;可以猜想如果[2m]之前的偶数都在数列中，而[2m]不在，那么在讨论[s=m+1]时会出现矛盾. 将这些猜想转化为数学语言并证明如下.

证明：反证法. 假设存在正偶数不在[an]中.

设[S]是所有不在[an]中的偶数，则[S⊆N*].

根据假设，[S≠∅].

因此[S]中存在最小数，记最小数为[2m].

根据题意，[an]中包含所有奇数，其中不超过[2m+1]的数为 [1，2，3，…，2m-2，2m-1，2m+1.]

根据断言2，[2k]排在[2k-1]之前，所以[2k]和[2k-1]不能同时出现在[an]的同一个递增子列中. 所以长度为[m+1]且末项为[2m+1]的递增子列的个数至多为[2×2×2×…×2m-1个2×1×1=2m-1<2m]. 与已知矛盾. 注意个数最多的情况为[2，1，4，3，6，5，…，2k，2k-1，…，][2m-2，2m-3，2m-1，2m+1.]

数学试验：在这里可以再做一次试验，用具体的例子验证形式化的证明过程. 若[8=2×4]不在数列中，则不超过9的数为1，2，3，4，5，6，7，9. 前面知道，每一对数中相对顺序是2，1;4，3;6，5;7;9. 长度为5且末项为9的递增子列个数至多只有8个：1，3，5，7，9;2，3，5，7，9;1，4，5，7，9;2，4，5，7，9;1，3，6，7，9;2，3，6，7，9;1，4，6，7，9;2，4，6，7，9. 与[24=16]相比还少8个，这8个就是第4项为8的那些：1，3，5，8，9;2，3，5，8，9;1，4，5，8，9;2，4，5，8，9;1，3，6，8，9;2，3，6，8，9;1，4，6，8，9;2，4，6，8，9.

断言3的证明：

数学试验与猜想：先举一例来启发证明过程. 若6，5在4，3之前：[2，1，6，5，4，3，…]，则长度为3末项为5的递增子列不存在. 注意长度为2末项为3的递增子列是存在的：1，3;2，3，且确实是[22-1=2]个.

证明：反证法. 假设存在[m m≥2]使得[2m，2m-1]在[2m-1，2m-1-1]之前，且[m]是所有满足这种条件的最小数，即[2，1，4，3，6，5，…，2m-4，2m-5，][2m，2m-1，…，2m-2，2m-3，….]

考虑[an]的长度为[m]且末项为[2m-1]的递增子列：要想得到这样的子列，需要从[2，1，4，3，6，][5，…，2m-4，2m-5]得到长度为[m-1]的递增子列，同前面取法一样，两两一组，每组任取一个，取到[2m-4，2m-5]时只能取[m-2]项，从[2，1，4，3，][6，5，…，2m-4，2m-5]中得到的长度最长的递增子列只有[m-2]项，因此不存在长度为[m]且末项为[2m-1]的递增子列，与题意矛盾.

或者还可以这样导出矛盾：由假设可知[an]的长度为[m+1]且末项为[2m+1]的递增子列的个数小于[2m]，因为只有当这些数排成[2，1，4，3，6，5，…，2m-4，][2m-5，2m-2，2m-3，2m，2m-1，…]时，长度为[m+1]且末项为[2m+1]的递增子列的个数才能为[2m].

三个断言证毕，综上可得结论：符合条件的数列[an]是唯一的，[an=n-1 n为偶数，且n≥2，n+1 n为奇数，且n≥1.] 該数列是由两个递增数列[1，3，5，7，9，…]和[2，4，6，8，][10，…]穿插得到的.

六、评述

需要指出的是，当猜想出数列的通项后，如果使用数学归纳法，说清归纳的起始步骤[a1=2，a2=1]是不容易的. 根据题中[s=2]的条件，只能知道2在1之前，但不清楚是否有其他数在[2]之前，也不清楚[2]和[1]之间是否有其他数. 要想说明[2]是首项必须说清楚其他数不能在[2]之前，想当然地认为[a1=2，a2=1]成立是不正确的.

在参考答案中，关于验证只有一句话：“经验证，数列[2，1，4，3，…，2m-3，2m，2m-1，…]符合条件.”尽管只有一句话，但验证的过程是必要的. 一般地，根据题意求出的是必要条件，需要通过验证来得到这是充分条件. 用逻辑化的方式表达：设所有满足题意的数列的集合为[S]，从已知求得的数列的集合为[T]，由题意得到[T=an]，已知[S⊆T]，要想使[S=T]，还要证明[T⊆S]，也就是验证数列满足题意即可，并且这也说明了符合题意的数列是唯一的.

下面用一个更浅显的例子来说明这一现象. 由[a2=4，a>0]可推出[a>1]. [a>1]是[a2=4，a>0]的必要条件，但[a>1]无法推出[a2=4]，即[a>1]不是[a2=4，a>0]的充分条件. 若问题是“已知[a2=4，a>0]，求[a]的范围”. 显然答案应该不是[a2=4，a>0]的这个必要条件[a>1]，而是一个充分必要条件[a=2].

如果将这道压轴题第（3）小题的设问改为“给出一个符合条件的数列并说明理由”，实际上不需要证明前面所述的断言1、断言2、断言3，提出猜想之后只需验证满足条件即可，这样会降低试题的难度. 因为这相当于给出充分条件即可，而该题要求的答案为“充分必要条件”.

在压轴题中出现数列的子列这一概念，也是命题评价在高中与大学衔接方面的尝试. 数列的子列这一概念非常基本，在数学分析中讨论无穷数列的敛散性和函数极限时起了关键作用，并且与数列的上、下极限密切相关，是分析学中的基本工具. 这里列举几条与无穷数列的子列有关的结论：收敛数列的每一个子列都收敛于同一极限;存在发散子列的数列一定发散;若存在两个收敛于不同极限的子列，则该数列发散;单调数列收敛的充分必要条件是存在一个收敛子列;数列收敛的充分必要条件是奇数项子列和偶数项子列收敛到同一极限;数列有界则一定存在收敛子列;数列有界的充分必要条件是它的每一个子列都有收敛子列;数列无界则存在子列为无穷大量;每个数列都有单调子列等.

根据笔者的了解，北京卷压轴题在中学课堂上进行讲授的情况还不多，希望本文的数学试验与猜想能在更多的课堂教学中看到，希望更多的学生自主进行数学试验与猜想，掌握基本而重要的学习新数学知识的能力. 毕竟作为教师，需要教给学生如何学习未知的知识.

最后，将数学家哈尔莫斯的一段话送给广大教师：我们给未来的工程师、物理学家、生物学家、心理学家、经济学家，还有数学家教数学. 如果我们只教会他们解课本中的习题，那不等他们毕业，他们受到的教育便过时了. 即使从粗糙而世俗的工商业观点来看，我们的学生也得准备回答未来的问题，甚至在我们课堂上从未问过的问题. 只教他们已为人们所知的一切东西是不够的——他们也必须知道如何去发现尚未被发现的东西.

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