培养模型意识，开拓数学思想——以一道中考几何压轴综合题的教学为例

江苏省苏州市吴江区松陵第一中学 毛小霞

几何是初中数学重要的知识内容，而在中考中常以综合题的形式考查，涉及众多几何性质和定理，图形结构也较为复杂。合理把握图形特点，识别模型结构且能灵活运用是问题突破的关键。本文以一道中考几何压轴综合题的教学为例，比较两种不同的解法，针对试题进行呈现、解析、赏析，并对其中的模型结构进行拓展。

一、试题呈现

以下是一道中考几何压轴综合题：如图1，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B 为x 轴正半轴上一动点，AE、BF 平分∠OAB、∠OBA，AE、BF 交于点P，试回答下列问题。

（1）求∠BPA 的度数；

图1

图2

二、试题解析

本题共三个小问，题干给出了图形建构的过程，首先需要根据文字描述理解图形的结构，然后结合对应的问题来探究具体的解题思路，具体如下：

（2）分析：由题意知要证明∠MFO=∠EAO，就要想办法证明FM //AE,运用平行线的性质和判定定理。本小问有两种方法，方法1 是用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形来解决问题，方法2是利用“等腰直角+直角”模型构造“手拉手”模型得到全等来解决。

方法1：如图3，连接OP，作PH ⊥OB 于H，PK ⊥OA 于K。

∵AP、BP 分别平分∠OAB、∠OBA，

∴OP 平分∠AOB。

∵PH ⊥OB 于H，PK ⊥OA 于K，

∴PK=PH。

∵∠PKO=∠PHO=∠HOK=90°，

∴四边形PKOH 是正方形，

∴∠HPK=∠MPF=90°，

∴∠FPK=∠MPH。∵∠PKF=∠PHM=90°，

∴△PKF ≌△PHM，∴PF=PM，∴∠PFM=45°，

∵∠BPE=180°-135°=45°，∴∠BPE=∠PFM，

∴FM //AE，∴∠MFO=∠EAO，∵∠OAB=2 ∠OAE，

图3

方法2：如图4，连接PO，作PG ⊥OP 交y 轴于G，

由第（1）问知：P 为△AOB 的内心，得∠GOP= ∠EOP =45°，

∴△GPO 为等腰直角三角形。

∴GP=OP, ∠FGP=∠MOP=45°。

∵∠FPG=∠MPO=90°-∠FPO，

∴△PGF ≌△POM，∴PF=PM，

∴△FPM 为等腰直角三角形。

∴∠MFP=∠APF=45°，

∴FM //AE，∴∠MFO=∠EAO。

（3）分析：由题知点B、T 的坐标，由垂直求S 点的坐标，也有两种方法：第一种是代数方法，求出直线BT、OS 的解析式，利用方程组即可求出交点S 的坐标。第二种是几何方法，也是利用“等腰直角+直角”模型再来构建“三垂直”模型，虽要添加辅助线，但对熟悉模型的同学来说并不难想到，也是几何里常见的方法。

图5

方法2：如图5，连接OT，过O 作OG ⊥OT 交BT 于G，

三、试题赏析

上述考题分为三问，并采用难度递进的设问方式，第一问是比较基础的三角形内心模型，后两问有难度，但都可以用多种方法解决，主要考查了三角形角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数、“等腰直角+直角”模型、“三垂直”模型等知识，要求学生学会添加常用的辅助线和对一些基本的模型有一定的了解。

对复合图形模型的提炼、转化是几何压轴题的重要考点，也是几何综合题突破求解的难点之一，而充分把握图形的结构、灵活运用基本模型是解题的关键。这道题后面较难的两问都用到“等腰直角+直角”模型，如果熟悉此模型即可一模解两问，充分发挥了基本模型在解题中的积极作用。

四、模型探究

本题中出现的三角形内心模型、三垂直模型常用，学生容易识别，而“等腰直角+直角”模型学生在平时做题中会碰到，但没有进行系统的归纳总结，接下来分两类对这个模型进行拓展变式探究。

1.等腰直角对直角模型探究

图6

2.等腰直角对旁直角模型探究

图7

引导学生自己证明，可以更深层次地理解此模型，做到灵活运用。

五、写在最后

中考试题是对学生综合知识的应用考查，对学生的逻辑思维和分析推理能力有着较高的要求，对其中的几何综合题，不仅需要理解掌握教材中涉及的几何定理，还要准确识别图形结构，注意培养学生几何模型的识别和运用能力。而“几何模型”是学生在数学解题中联想的原型，如果学生看到相应的问题能建立联想，就能顺利地找到解题思路，因此教师在教学中需要引导学生重视模型的学习，逐步发展学生的数学思维。