借用坐标系 巧解压轴题

喻志江

(浙江省义乌市后宅中学 322008)

近几年越来越多的中考压轴题,抛弃函数和几何相结合的综合题,而改为几何探究题.更加强调对数学核心素养的考查.这类题目思维量大，特别是最后一小题，除了很少部分尖子生能答出，其他同学只能放弃.笔者对部分中考压轴题进行研究发现，利用坐标系法可以大大降低题目的思维量，中等同学都能试着解答.现举几例，希望对读者有所帮助.

例1(2017广西贵港26)已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．

(1)如图1，若点D是AC中点，连接PC．

①写出BP，BD的长；

②求证：四边形BCPD是平行四边形．

(2)如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．

分析与解答(1)的答案比较简单，不再赘述，现比较(2)的两种解答：

①常规解答：

如图3中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．

设BD=AD=x，则CD=4-x，在Rt△BDC中，因为BD2=CD2+BC2，所以x2=(4-x)2+22

简评方法ⅱ的思维量明显少很多，计算也不繁.

例2(2018金华中考24题)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.点D在直线CB上，以CA,CD为边作矩形ACDE,直线AB与直线CE,DE的交点分别为F,G.

(1)如图5，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形.

①若点G为DE中点，求FG的长.

②若DG=GF，求BC的长.

(2)已知BC=9，是否存在点D,使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由.

分析与解答(1)的答案比较简单不再赘述，现比较(2)的两种解答：

如8中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，

此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG.设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，

简评本题利用坐标系法优势非常明显，既不用把每种情况的图做出，计算也不是很复杂.

限于篇幅要道例题只给出坐标系解法.

(1)如图10，若AD=BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：BD=2DO.

(2)已知点G为AF的中点.

①如图11，若AD=BD，CE=2，求DG的长.

②如图12，若AD=6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形?若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由.

分析与解答这里主要用坐标系法解答问题(2)

因为∠DEF=90°DE=EF，易得△DME≌ENF，

所以DM=7,BM=7,MC=7,因为CE=2,所以ME=5,NF=5

所以F(5,-5),A(14,14),D(7,7)因为点G为AF的中点.

②以点B为原点BC所在直线为X轴，以过点B与BC垂直的直线为Y轴，建立直角坐标系如图14。

分别过点D,F作DM⊥BC,FN⊥BC

又因为F(12-a，a-12)A(14，14)因为点G为AF的中点

△DEG是直角三角形时：

①DE2+DG2=EG2

②DE2+EG2=DG2

③EG2+DG2=DE2

通过比较我们发现，利用传统的几何法来解决平面几何问题，需要很高的思维量，要画出不同情况的图形，考虑不同的变化过程，大部分同学几乎是不可能做完整.而利用坐标法思路清晰、指向明确，抓住了关键点，达到事半功倍的效果.