基于线性回归模型的复变函数极限求解方法

赖锦湘

(福建水利电力职业技术学院 公共基础部，福建 永安 366000)

在机械制造业不断发展的今天，先进制造领域的竞争愈发激烈，与此同时，机械产品的设计要求逐渐提高，产品结构优化设计的要求也逐步提升[1-2]。结构优化设计方法从原始的基础优化逐步走向现代化设计，结构优化设计是结构设计中应用数学与计算机技术实现的设计方法之一。对于设计结果的评价方式通常采用目标函数完成。结构优化设计的量采用变量的形式，完成目标函数评价[3]。目前，结构优化设计中的研究热点为孔口应力集中，这是结构设计中非常重要的问题。许多工程中通常需要设置一些孔，这些孔口附件的应力远大于无孔时的应力，会造成相应的问题[4-5]。在土木工程中，很多问题可以理解成平面孔口问题，基于土木工程中的孔口较为复杂，应用保角变换技术可将复杂的孔口边界条件映射为结构较为单一的边界条件，因而，采用复变函数法是解决此类问题的重要手段之一。 就目前的技术发展而言，复变函数在处理这种复杂边界问题中具有一定的优势，其可对非圆形孔口展开应力分析，提高计算结果的精准度，获得相应的弹性与位移场，以便于计算各指标对计算结果的影响[6-7]。因此，复变函数是分析隧道围岩应力变化的有力工具，可用于科学研究和实际工程。此次研究中，主要对复变函数极限求解过程展开优化，通过应用线性回归模型提升复变函数极限求解的可靠性。在极限求解过程设定结束后，采用算例测试的形式与传统方法展开对比，验证此次研究结果的有效性。

1 基于线性回归模型的复变函数极限求解方法设计

通过文献研究可知，传统的复变函数极限求解方法存在着求解计算效果较差的问题[8]。因而，在此次研究中，引用线性回归模型完成求解过程，以提升复变函数极限求解的处理速度。

在此次设计中，首先对复变函数的求解步骤展开设定具体过程如下：构建具有保角转换功能的映射函数，根据边界条件求解复应力函数，最后根据复应力函数对复变函数进行求解。上述计算部分中将融合线性回归模型中的部分技术，完成设计过程。

1.1 复变函数应力场分析

在此次设计中，为提升复变函数求解过程的可靠性，将其求解环境设定为孔口环境，以此保证求解过程的可行性与科学性。一般情况下，复变函数的求解环境通常为圆形孔口，在复变函数的求解过程中首先对复变函数产生的应力场展开分析。设定圆形孔口的半径为ra，此圆孔没有支护阻力，远场应力为αa，在此研究中，忽略圆孔体应力，将其设定为平面应变问题[9-10]。针对圆形孔口的对称性，采用径坐标系(r,β)体现其孔口的特征，具体如图1所示。

由上述图像可得到复变函数应力场的分析结果，其平衡方程可表示为：

(1)

(1)式中，d为距离圆孔中心的距离，αβ为角度为β的远场应力。利用公式(1)获取圆孔的平衡分析结果。根据此平衡方程求得圆孔的几何方程如下：

(2)

(2)式中，u为孔口的大气压强，χs表示孔口的几何压力。使用公式(2)可得到孔口在使用复变函数时应力应变关系[11-12]，具体可表示为：

(3)

使用公式(2)，可得到复变函数的边界条件，由此边界条件完成复变函数的应力分析过程，具体边界条件为：

χr(ra)=0；

(4)

χr(∞)=χa。

(5)

式中，限定了复变函数的区间，并得到复变函数的积分常数p1、p2。具体表示如下：

(6)

(7)

式中，H表示应力分析系数，μ设定为圆孔综合荷载系数[13]。对公式(6)(7)进行求解，可得出复变函数的计算积分常数。

1.2 复应力函数的表示与计算

在1.1部分中，获取到了复变函数的应力场分析结果，将此结果结合弹性力学的基本理论可将其设定为应力与位移边界2部分，假设位移边界用f[14-15]表示，则位移边界的复变函数为：

(8)

(9)

式中，A为复变函数边界上任意一积分起点，B为边界上任意一点，X与Y分别表示边界上沿x轴与y轴方面的给定应力。

(10)

(11)

(12)

(13)

映射函数可将复杂的复变函数整理为简单的形式，将此函数与线性回归模型相结合，实现复变函数极限求解。

1.3 实现复变函数极限求解

以上述分析结果为基础，结合线性回归模型实现复变函数极限求解。为完成极限求解，使用线性回归模型设定半无穷大板[18]。在其某直线边界处设定一个圆孔，其半径为rb，圆心到直径的距离为j，圆孔边界到直线的最短距离为s，线性回归模型半无穷大板如图2所示。

由图2可知，此模型中的边界条件是直线的边界上没有作用力，只有圆孔边界存在垂直于边界的均匀荷载Q,则其应力边界条件可表示为：

(14)

在圆形边界上，双曲坐标下η=η1，则有：

(15)

结合线性回归模型，可由边界的变化得到无穷大板平行与直线边界的均匀荷载C，其应力场可显示为：

(16)

(17)

联立公式(16)与公式(17)，分离复变函数的实部与虚部[19-20]，得到复变函数在孔口相应位置处的应力，具体如下：

(18)

使用公式(18)，可得到复变函数极限值，与线性回归模型半无穷大板中的参数进行联立可得到复变函数极限解的表达方程

(19)

使用公式(19)，完成复变函数极限求解过程。在计算的过程中，边界条件的计算直接影响着求解的准确性，对边界条件展开多次测算，提升边界条件的可靠性。至此，基于线性回归模型的复变函数极限求解方法设计完成。

2 算例测试分析

为证实其使用效果，采用算例测试的形式，完成文中设计方法与传统方法的对比，并分析文中设计方法与传统方法在求解过程中的不同点。

2.1 算例设定

在此次算例测试中，为保证测试环境的真实性，采用案例分析的形式，设定相应的计算案例完成测试过程。

某抽水蓄能电站位于中国东南部某知名城市境内，距离城市中心为10km,靠近重要电网负荷中心，是该电网中的理想调峰电源，因此，在此处建立抽水蓄能电站站址。

此工程中包含上平洞段、斜井段、下平洞段、高压钢支管段，此算例洞端相对埋深较大，大部分为II级围岩，围岩内摩擦角为50.00°，粘聚力为2.0N，围岩重度取值为25.0×103N/m3。在此算例中由于洞段的埋深不同，洞径为15m,围岩的各项力学参数如下：内摩擦角为30°，粘聚力为0.5N,围岩的重度为25.0×103N/m3。以上述数据作为此次算例测试的计算对象，将上述环境作为复变函数的计算环境，提升复变函数计算的有效性。

为保证文中设计方法与其他2种传统方法在测试过程中的一致性与可控性，此处测试中使用的软件与设备均是相同的。

2.2 测试指标设定

在此次设计中，将求解的运算时间与求解的误差值以及运算的数据量作为此次算例测试的对比指标。通过此3组指标的对比，完成文中设计方法与传统方法的对比。

针对数据的多变性，此次测试共进行10次，以提升算例测试结果的有效性。在算例计算的过程中，仅保留测试结果的小数点后2位数据，以便于测试结果的对比与分析。

2.3 测试结果分析

通过将3种方法导入软件，分析3种方法复变函数极限求解的运算时间，经过10次测试后，将测试结果整理成表1。

表1 求解的运算时间测试结果

通过上述算例测试结果可知，文中设计方法的运行时间是3种方法中最短的，说明该方法的使用效果最好。由测试结果数据分析可知，文中方法的运算时间始终保持在15～16s之间，具有较高的计算稳定性。传统方法1与传统方法2的运算时间较长，可知其计算能力较差，且传统方法2与传统方法1相比，具有较高的运算时间波动性，表明其使用效果最差。综合上述测试结果可知，文中设计方法使用效果最佳。

通过将3种方法输入相关软件，获取了3种方法复变函数极限求解的结果，并将该结果与实际值比较，得到运算结果误差值，经过10次测试后，将测试结果整理成表2。

表2 求解的运算误差值测试结果

分析表2的结果可知，在求解的运算误差值测试中，文中设计方法是3种方法中最为有效的。通过3种方法的运算误差值可以看出，传统方法1与传统方法2的运算精度较差。文中设计方法的运算精度较佳，没有出现误差值较高的情况。在多次的测试中，文中设计方法的误差值维持在3%左右，满足工程中对于复变函数求解精度的要求。其他2种传统方法的误差值约为文中设计方法误差值的2倍。由上述数据可知，文中设计方法的求解的运算误差值最低，可有效保证计算结果的可靠性。

通过将3种方法输入相关软件，获取3种方法复变函数极限求解的结果，分析得到该结果所需要的运算数据量，经过10次测试后，将测试结果整理成表3。

表3 求解的运算的数据量测试结果

分析表3的结果可知，文中设计方法在进行求解时，运算数据量较大。通过文献研究可知，在复变函数求解的过程中，数据量越大，所得解的精准度越高。将文中设计方法的数据运算量与传统方法的数据运算量相比可知，文中设计方法的数据运算量最高，由此可知，文中设计方法的计算精度最高。传统方法的数据运算量仅足够维持复变函数的基础运算。文中设计方法的数据运算量可有效提升求解数据的可靠性。综上，文中设计方法的求解结果更为可信。

将求解的运算时间测试结果、求解的运算误差值测试结果以及求解的运算的数据量测试结果整合可知，文中设计的基于线性回归模型的复变函数极限求解方法在上述测试指标中，均可以得到较好的结果。

3 结语

此次研究对复变函数的求解过程展开优化，并通过实验验证了此次研究结果的有效性。在弹性力学的基础上，结合线性回归模型有效缓解了传统方法在使用中的不足。在实际工程中会遇到多种多样的问题，其边界条件也不同，在后续的研究工作中可研究更多的问题模型，讨论更为复杂的复变函数，为复变函数的求解提供更加有效的方法。