带阻尼器拉索结构的索力识别研究

范史文

(湖北省交通规划设计院股份有限公司， 武汉 430051)

索结构是斜拉桥与悬索桥等大跨径桥型的主要传力机构，其受力性能的好坏直接影响着桥梁能否安全施工与正常运营。索力测试是判别索结构受力性能是否良好的重要手段，常用的索力测试手段包括油压表法、压力传感器法、磁通量法以及振动频率法等[1-3]。其中油压表法一般适用于施工阶段，压力传感器法需要在索结构端部埋设传感器导致经济性较差，磁通量法受测试环境的影响较大，而振动频率法因其简单易操作且测试成本较低成为目前应用最为广泛的测试手段。

频率法测试原理为：首先依据结构动力学相关理论建立索结构自振频率与其索力之间的对应关系(频率方程)，然后通过测试得到的索结构自振频率来反算得到其索力。由此不难看出，频率法得以应用的一个关键点便是能够事先准确建立索结构自振频率与其索力之间的关系。频率法早期的研究对象主要是单根索结构，众多学者通过考虑索结构不同边界条件、垂度以及抗弯刚度等因素得到一些可行的公式来指导实际工程[4-7]。随着桥梁跨径的不断增大，索结构的长度在不断增加，这使得索结构的疲劳问题日益显著，因此便衍生出了较多的减振措施，目前常用的减振措施便是在索结构端部设置一个或多个减振器[8]。显而易见，减振器的设置使得索结构的建模变得更为复杂，给频率法的适用性带来了极大的限制。针对拉索减振器系统，有众多中外学者基于此开展了研究，研究对象主要包括拉索-单阻尼系统[9-11]、拉索双阻尼系统[12]以及拉索多阻尼系统[8]，其中对于拉索多阻尼系统的研究往往采用有限差分法或者动力刚度法等手段，得到的公式较为复杂。

立意于解决实际问题，建立带3个减振器的拉索减振器系统，通过参数分析得到各参数对系统动力特性的影响，通过仿真模拟对本文所提出公式的适用性进行验证，同时对工程实际应用提出可行的建议。该方法无疑是对传统频率法适用范围的一个重要补充，对于实际工程也有较高的指导意义。

1 模型建立及公式推导

研究中所建立的索结构-减振器模型如图1所示。索结构长度为L，张力为T，拉索单位质量为m。模型中共有3个中间减振器，为了便于分析，研究中将减振器简化为弹簧支撑，其支撑刚度分别为k1、k2与k3，作用位置分别为x1、x2以及x3(以索结构左端部为原点建立坐标系)。忽略索结构的抗弯刚度与垂度，其横向振动位移满足以下方程：

图1 拉索-减振器模型示意图

f2(t)δ(x-x2)+f3(t)δ(x-x3)

(1)

式中δ(·)为狄拉克δ函数。对上述公式进行变量分离，横向位移和横向作用力可以表示为

(2)

fj(t)=Fjeiωt，j=1,2，3

(3)

式中：i2=-1，ω为拉索的自由振动圆频率。将式(2)、式(3)代入式(1)中，得到相应的微分方程，对其进行求解并根据相应的边界条件，可得振型函数为

(4)

(5)

将式(4)代入式(5)并进行整理，可得

(6)

(7)

对式(7)中的频率方程进行变换，可得

(8)

2 参数分析

(9)

2.1 k的影响

2.1.1 特殊情况

假设位于索结构两个端部的减振器支撑刚度相等(即k11=k33)，在此前提下分析参数ki对无量纲振动频率的影响，其结果如图2所示。

图2 支撑刚度对无量纲振动频率的影响

由图2可知，无量纲振动频率随着k11与k33的增加而增加，且这种趋势随着k11与k33的增大而趋于平缓，这说明减振器支撑刚度的增大会使得索结构模型整体刚度得到一定程度的提高，且存在一个上限值。同时根据图1中曲线的纵向趋势来看，k22的增大同样会使得无量纲频率增大，且从曲线之间的间距可知，随着k22的增加，无量纲振动频率的增大趋势趋于平缓。

2.1.2 一般情况

相对于特殊工况来说，一般工况为3个参数ki(i=11,22,33)之间的随意组合，更有利于分析影响规律的普适性。3个参数不同组合工况下对无量纲振动频率的影响规律如图3所示。

图3 支撑刚度对无量纲振动频率的影响

由图3可知，当k11与k33为定值时，无量纲振动频率随着参数k22的增加而增加，且这种趋势随着k22的持续增大而趋于平缓；通过观察每一幅图中各曲线之间的间距可知，参数k33对无量纲振动频率的影响规律与k11对无量纲振动频率的影响规律大致相似，皆为随着参数取值的持续增大，无量纲振动频率的变化趋势趋于平缓。而通过比较图3(a)、(b)、(c)以及(d)可知，随着k11的增加，其对无量纲振动频率的影响并不明显。由此可知，增大参数k22与k33更能有效提高索结构的整体刚度，这对于实际工程中减振器的选择安装具有一定的指导意义。

2.2 ε的影响

本节分析参数ε对无量纲振动频率求解的影响，在此选定ε的取值范围为0.02～0.15，而k11、k22与k33的取值分别被设定为60、60与60。具体分析中依然分为特殊情况与一般情况两种工况。

2.2.1 特殊情况

图4 减振器安装位置对无量纲振动频率的影响

2.2.2 一般情况

相对于特殊情况，一般工况为3个参数ε之间的随意组合，但需要重点说明的是由于第2个减振器必然位于第1个减振器右端(不分析重合情况)，因此在具体进行每一组参数分析时，ε2的取值范围设定为[ε1+0.1 0.15]，例如ε1=0.02，则ε2的定义域取为[0.03 0.15]。各参数不同组合工况下对无量纲振动频率的影响如图5所示。

图5 减振器支撑刚度对无量纲振动频率的影响

3 有限元分析

考虑到实际工程中的索结构具有抗弯刚度，这种影响在短索中尤为明显。因此仿真分析中分别采用LINK180与BEAM188两种单元进行建模。前者没考虑抗弯刚度，其结果旨在对本文公式的精确性进行验证。后者考虑了抗弯刚度，旨在研究本文公式在实际工程中的具体适用性。研究中有限元建模所用的索结构具体参数见表1。计算结果见表2。所建有限元模型如图6所示，图中以工况1为例建立模型并提取其前五阶频率。两种计算方式之间的计算值及相对误差如图7所示。

表1 索结构基本参数

表2 计算结果

图6 有限元模型

图7 索力计算结果

由图7可知，根据LINK188单元计算得到的自振频率去反算索力值得到的结果与理论值之间吻合较好，误差普遍低于0.5%，而根据BEAM188单元计算得到的自振频率去反算索力值得到的结果与理论值之间的相对误差相对较大，但其随着索长的增加而变小。产生上述结果的原因在于：在本文建模推导过程中并没有考虑索结构本身抗弯刚度的影响，这使得采用LINK180单元计算得到索力值与理论值之间吻合较好；而随着索长的增加，索结构本身抗弯刚度对系统刚度的影响逐渐减弱，此时即便采用BEAM188单元的计算结果进行计算，相对误差依然较小。

4 结论

建立了带3个减振器的拉索-减振器模型，利用相应的边界条件与变形协调条件得到其频率方程并对其进行求解。通过设置不同参数的取值，分析了各参数对所求得的无量纲振动频率的影响，同时采用有限元分析软件ANSYS建立了相应的索结构模型，并将仿真结果与本文所建立模型的计算结果进行了对比。主要结论如下：

1)建立了带3个减振器的拉索-减振器模型，模型中减振器被简化为弹簧模型，且建模过程中忽略了拉索抗弯刚度与垂度的影响。

2)通过参数分析可知，随着减振器支撑刚度k的增加，结构的无量纲振动频率增加，且增加趋势逐渐趋于平缓；随着参数ε的增加，结构的无量纲振动频率增加，且两者之间大致呈线性关系。需重点说明的是，3个减振器中，距离端部更远减振器(安装两个减振器一侧)与另外一个端部减振器的支撑刚度的增大更能有效提高系统的整体刚度。

3)通过有限元分析可知，采用不考虑抗弯刚度的LINK180单元进行计算时，本文所建模型的计算结果与有限元吻合较好，误差普遍低于0.5%；而采用考虑抗弯刚度的BEAM188单元进行计算时，误差整体低于5%，且随着索长的增加，误差值下降，最终保持在1%附近。

显而易见，研究中所建立模型在长索结构的计算中具有更高的精度，而长索结构的垂度问题是一个无法忽略的因素，因此后期的研究中将同时考虑索结构的抗弯刚度与垂度，以期得到更精确的模型。