2021年高考数学北京卷的特点及教学建议

摘  要：2021年高考数学北京卷的试题有五个特点：试题素材突出热点，实现了数学与现实的结合;试题难度突出层次，实现了试题的选拔功能;试题求解突出通法，实现了对数学学科核心素养的考查;试题设问突出创新，实现了高考积极引导教学的功能;试题考点突出综合，实现了全面考查与重点考查的结合. 基于此，提出相应的三点教学建议：突出应用与实践，帮助学生树立良好的价值观;突出过程与方法，提升核心素养;突出综合与创新，培养关键能力.

关键词：热点;层次;创新;通法;综合

一、数学试题的新特点

与2020年相比，2021年高考数学北京卷的难度略有上升，试题素材贴近社会热点，试题难度具有一定的层次性，试题求解思路突出通性、通法，试题设问比较灵活，试题考点突出综合，从而较好地区分了各个层次的学生. 既为高校招生提供了较好的参考依据，又对中学数学教学起到了良好的导向作用，充分体现了《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的要求.

1. 试题素材突出热点，实现了数学与现实的结合

数学与社会现实有密切的关系，《标准》要求引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，2021年高考数学北京卷的试题对此有较好的体现. 精心设计试题素材，紧抓社会热点——建党100周年与新冠肺炎疫情，实现了数学与现实的结合.

该题以党旗、党徽为背景，重点考查了等差数列、等式与方程等知识，2021年是中国共产党诞辰100周年，这是政治生活中的一件大事，该题的素材就取材于这个社会热点，展现了数学与社会生活之间的密切关系，是德育与数学的结合点，渗透了立德树人的育人目标.

试卷第8题以研究降雨等级为背景重点考查了圆锥、圆柱及其体积计算、相似等知识，以及空间平面化、体积变换等重要方法. 引导学生用数学眼光观察自然现象，实现了数学与自然现象的结合. 试卷第18题以“[k]合1”核酸检测诊断新冠肺炎为背景考查了概率分布的相关知识，通过计算“[k]合1”檢测方式中的检测次数，让学生深深地体验到“[k]合1”检测可以节省人力和财力. 新冠肺炎疫情是每个人所关注的热点，数学试题将其作为背景，实现了数学与社会现实的结合，突出了问题的现实情境，有利于考查数学学科核心素养.

2. 试题考点突出综合，实现了全面考查与重点考查的结合

追求试题的基础性和综合性是全面考查高中数学的基础知识和通性、通法的需要，也是重点考查核心数学概念、定理、方法、思想的需要，有利于积极引导教学，对高中数学教学突出主干数学知识与方法有良好的导向作用. 整个试卷共21道题，覆盖了大部分高中数学知识. 其中，综合性较强的试题有第7题、第9题、第10题、第15题、第16题、第17题、第18题、第19题、第20题、第21题. 这给我们的教学提供了启示，在学习新课和复习备考中，一定要按《标准》的要求，对整个高中数学的知识内容做到全覆盖，不能有任何盲点，不能出现忽略高考冷点的教学，也不能出现只重视高考热点的教学. 在追求知识覆盖面的同时，突出了重点知识与方法重点考查的目标. 例如，最值在第3题、第7题、第9题、第10题、第19题、第21题等题目中重复出现. 第3题考查的是函数的最值与单调性的关系;第7题考查的是二次函数与余弦函数组成的复合函数的最值问题;第9题考查的是与几何背景相关的弦长的最值问题;第10题考查的是数列背景的最值问题;第19题考查的是与导数相关的最值问题，第21题考查的是与创新相关的最值问题，从不同的角度综合考查了最值概念，这充分显示了对重点概念的考查力度. 从数学思想方法角度看，多处出现了数形结合的考点，涉及数形结合思想的试题有第3题、第7题、第9题、第12题、第13题、第14题、第15题、第16题、第19题、第20题等，这又体现了重点方法重点考查的目标.

上述特点告诉我们，在教学与复习中，在追求全覆盖的同时，还要突出重点知识与思想方法的教学. 对于《标准》要求的核心概念、主干知识、主干思想方法要重点突破，这样才能适应全面考查与重点考查的需要.

该题涉及椭圆的标准方程、椭圆的性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、一元二次方程根与系数的关系、绝对值不等式等考点，不但范围较广，而且均是解析几何的重要知识点. 该题涉及的数学思想方法主要有数形结合思想、方程思想、转化与化归思想、坐标法、消元法、待定系数法等，体现了综合性与基础性，实现了对解析几何全面考查与重点考查的结合.

3. 试题难度突出层次，实现了试题的选拔功能

高考的功能在于两个方面：一是考查学生的知识掌握水平，二是为各高校招生提供数据支持. 这决定了高考试题需要具备选拔功能. 因此，试题要突出层次性和区分度. 2021年高考数学北京卷从以下几个方面突出了层次性.

（1）选择题的层次性.

第1题到第5题是基础题，大多数学生有较好的表现;第6题与第7题有一定的综合性，可以区分学困生与中等生;第8题到第10题具有一定的难度，特别是第8题，学生需要较强的阅读能力和数学建模能力，以及体积变换、空间平面化等数学方法，该题优等生的表现较好.

（2）填空题的层次性.

第11题到第13题是基础题;第14题是中档题，考查三角函数的定义，具有较大难度;第15题是拔高题，整体难度较大，由于采取分层赋分（按选对结论个数分别记分，错选记0分），显示出了更好的区分度.

（3）解答题的层次性.

第16题到第21题的题号顺序与难度顺序基本一致，每道题又由2道小题或3道小题组成，每道小题难度不同. 例如，第18题第（1）小题第一问较基础，只需读懂试题即可计算检测次数，第二问是对第一问的深化;第（2）小题具有较高的难度. 第20题在运算的环节上显示出一定的层次性，没有计算判别式或缺少数学运算能力都无法得出结果，较好地区分了不同层次的学生. 第21题的三个设问对于选拔学优生起到了积极的作用.

整套试卷形成了“入口容易、循序渐进、螺旋上升、出口较难”的试题风格，实现了多题把关的局面，让试题的层次性全方位地渗透到各种题型之中，从而取得了较好的区分度，较好地实现了试题的选拔功能.

4. 试题设问突出创新，实现了高考积极引导教学的目标

《标准》要求命题要充分考虑对教学的积极引导作用. 该套试题在设问方面具有一定的创新，对教学起到良好的引导作用. 例如，第9题是逆向设问，已知最小值求参数，重点考查学生的应变能力和运算能力. 第14题是一个开放性问题，答案不唯一，给学生提供了一个构造、选择和实验的空间. 第16题是结构不良型问题，学生通过分析解三角形所需的条件，在所给的三个条件中选出一个，使之能唯一确定三角形，其间需要学生分析条件之间是否矛盾或者利用解三角形的三个条件中至少已知一个边的基本事实（选①缺少边的条件），在此基础上做选择才能唯一确定三角形，设问也较灵活，未直接求三角形的边与角，而是求三角形一边上的中线长. 这样的设问提高了对学生分析问题能力的考查力度. 第17题第（1）小题本质上是证明线线平行，在日常的练习中所遇到的习题均是直接设问，但是在本次高考中不直接设问，而是证明中点，考查了学生的应变能力，是否能理解问题的本质是解决该问题的关键. 第（2）小题是逆向设问，日常学生练习较多的相关题型均是顺向问题，直接求二面角的余弦值，现在采取逆向设问. 第21题是整体上的创新问题，没有固定的解题模式，重点考查了学生的抽象思维能力和推理论证能力，依靠“题海战术”无法应对该题. 通过试题设问的创新给教学发出一个信号：通过大量的题型训练未必能取得好的成绩，只有让学生真正掌握了高中数学主干知识与核心方法，才能在高考中取胜.

5. 试题求解突出通法，实现了对数学学科核心素养的考查

“注重通性、通法，淡化解题技巧”一直是北京卷的优良传统. 该套试题重点考查学生的数学学科核心素养，没有偏、难、怪问题，所涉及的数学知识均是高中数学的主干知识和后续学习必备的基础知识，所涉及的方法都是高中数学方法的核心方法，实现了对数学学科六大核心素养的考查.

综观整套试题，所涉及的主干知识有集合运算、复数运算、解不等式、二次函数、函数单调性、函数的最值与极值、函数图象、函数零点、导数的运算及其应用、曲线的切线方程、充要条件与必要条件、基本立体图形、空间直线与平面平行、二面角计算、等差数列、递增数列、三角恒等变换、解三角形、直线、圆、双曲线、抛物线、椭圆、概率分布、二项式定理、平面向量的运算、创新问题;所涉及的核心数学思想有数形结合、转化与化归、函数与方程、或然与必然、逻辑推理、运动变化等;所涉及的数学方法有待定系数法、配方法、换元法、体积法、放缩法、基本量法、数学实验法、图形法、坐标法、消元法、构造法等. 以这些数学知识和数学思想方法为载体，全方位、多层次考查了数学学科核心素养. 详见下表.

【评析】该思路重点考查数学运算素养，同时考查逻辑推理素养.

解法3：（数学实验法）依次验证选项，将[m]的值代入题干进行验证，淘汰错解，发现正解.

【评析】该思路重点考查了逻辑推理、数学运算和直观想象等素养. 对数学实验法的运用，应该引起足够重视，试卷第5题、第6题、第7题、第10题、第14题、第21题（实验[+]证明）均可以用数学实验法求解. 数学实验是发现数学结论和方法的重要手段. 值得一提的是，用数学实验发现的结论，需要经过严格证明，才能成为真命题.

通过例3可以看出，一道试题可能考查多个数学素养. 不同的求解角度，重点考查的核心素养也可能不同.

二、教学建议

1. 突出应用与实践，帮助学生树立良好的数学价值观

《标准》强调数学与生活及其他学科的联系，提升学生应用数学解决实际问题的能力. 在2021年高考数学北京卷中，有实际生活应用情境的试题有第6题、第8题、第18题，有数学情境的试题有第9题、第10题、第14题、第15题、第16题、第19题、第21题等. 因此，在高中数学教学中，结合数学知识体系的要求，将数学应用与实践贯穿全程，包括实际生活应用情境与数学情境的应用，让学生切身体会到数学是非常有用的科学，是学习其他科学的基础. 教师引导学生参加数学建模活动，使学生体验数学建模的全过程，并结合知识特点，渗透传统文化与现实热点，实现数学与现实的结合，有利于帮助学生树立良好的数学价值观.

2. 突出过程与方法，提升学科素养

学生在日常学习数学基础知识的过程中所掌握的数学思想方法是培养数学能力与数学学科核心素养的基础与关键. 数学思想方法的运用和积累达到一定程度后，形成数学能力，并在学生内在品质的积极影响下，形成数学素养. 因此，要培养学生的数学素养，关键在于让他们学好数学基础知识，掌握基本思想方法. 在日常教学中渗透数学思想方法是高中数学教学中极其重要的环节. 数学思想方法贯穿高中数学教学的全程，在数学知识的形成和数学问题解决的过程中，让学生逐步体会和领悟思想方法的本质，而不是空洞的理論传输. 在讲数学知识和数学方法的过程中，要充分暴露其思维过程，特别是数学实验的过程，让学生在数学实验中感受结论与方法形成的自然背景，可以更有效地领会结论和方法的本质. 例如，试卷第15题，函数零点问题就是用数形结合的思想方法解决的. 在解决过程中，不仅让学生领会到使用数形结合方法的条件，而且让学生领会其本质：由代数式构造图形，由图形抽象数量特征，即由数思形，由形想数，数形结合. 不能片面强调单方面的重要性，只有当两方面形成合力时，才能完美解决问题. 在知识学习与解题过程中可以使学生掌握数学思想方法，所以要在基本活动经验中培养学生的数学能力与数学素养.

3. 突出综合与创新，培养关键能力

在数学概念教学中，教师要将概念的多种形式的教学目标分散在教学的各个阶段中. 例如，在上述例子中，等效形式2放在等差数列通项公式的教学中完成，等效形式3放在等差数列求和的教学中完成，否定形式放在数列复习课中进行. 这些形式的概括要在单元复习课中完成. 总之，在教学的各个阶段中逐步实现数学概念多种形式的教学目标. 综合不局限于知识本身的综合，更重要的是各知识与方法之间的综合，贯穿于新课教学、复习教学、解题教学的全程，形成主线.

创新是培养关键能力的重要途径. 针对该试卷第10题、第15题、第21题的创新特点，求解过程中没有固定模式可以模仿，需要创造能力、抽象能力、分析问题和解决问题能力的综合参与. 这些能力的养成是一个长期的系统工程，不是短期行为，应将培养解决创新问题的能力目标落实在日常教学过程中.

参考文献：

[1]章建跃. 在“落实立德树人根本任务全面深化课程教学改革”中再立新功[J]. 中国数学教育（高中版），2015（1 / 2）：3-5.

[2]唐绍友. 2020年高考数学北京卷的特点及教学建议[J]. 中国数学教育（高中版），2021（1 / 2）：59-64.

[3]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.