经由数学思想，走向核心素养

沈爱平

[摘  要] 数学研究的对象是数与形，数与形不是孤立的. 具体到初中数学学科教学中，在核心素养的视角下认识数形结合，最好的方法就是通过教学案例的研究，认识到数形结合思想渗透的过程中核心素养是如何落地的. 数学思想与数学学科核心素养的组成要素并不是彼此独立的，而是互相高度关联的.

[关键词] 初中数学;数形结合;数学思想;核心素养

培育学生的核心素养，首先要理解什么是核心素养. 根据《中国学生发展核心素养》的定义，核心素养是指学生应具备的能够适应社会发展与终身发展的必备品格与关键能力. 在此定义的基础上，核心素养还有相应的框架，在此不再赘述. 将核心素养与数学学科结合起来，诞生了数学学科核心素养，当前已经正式颁布的是高中阶段的数学学科核心素养，根据这一界定来理解初中数学教学，也是有一定现实意义的. 这是因为初中数学教学是高中数学教学的基础，在初中数学教学中落实数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算与数据分析，既是一个培育学生数学学科核心素养的过程，又是一个培育学生数学学科核心素养的奠基.

那么在初中数学教学中，怎样才能走向核心素养呢？回答这个问题，实际上也就是回答核心素养的落地途径. 而探究核心素养的落地途径，又不能脱离数学学科最基本的特征，这种特征是通过数学思想体现出来的. 对于数学学科而言，最基本的思想可能就是数形结合思想了. 一直以来，数形结合思想在初中数学教学中占有重要地位，其不仅可以为学生提供高效的解题方法，也能提高学生的逻辑思维能力. 数形结合思想具有的这种功能，实际上可以为数学学科核心素养的培育奠定基础. 经由数形结合这一数学思想，教学应当是可以走向核心素养的. 下面就这个话题，谈谈笔者的探究心路.

作为数学思想的数形结合

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果. 这是一种非常学术的表达，通俗一点说，即数学思想就是数学学科所特有的，能够反映数学学科特质，能够为生活体悟与问题解决提供数学视角与思路的思想. 众所周知，数学是以现实世界中的空间形式与数量关系为研究对象的学科，简单地说，数学是研究数、形及其关系的一门学科. 因此数形结合思想是研究数学的一个基本思想. 深刻理解这一思想，有利于提高学生的数学素养，有利于发展分析问题、解决问题的能力.

作为数学思想的数形结合，蕴含着基本的逻辑关系：数学的研究对象是数与形，数与形不是孤立的，尽管在学生的学习过程中，很长一段时间里都是专门学习“数”或者专门学习“形”（历史上将数学分为代数和几何，就是这一思路的重要表征），但不可否认的是，研究数与形之间的联系，才能够充分地反映数学学科的特征以及数学学习的基本要求.

在初中数学知识体系中，数与形的联系有的是显性的，有的是隐性的. 在实践教学过程中，教师往往有着不同的选择，有些选择符合初中数学学习的特点，比如教学函数时，教师会自然地从解析式、图像等角度去研究函数的性质，这就是数形结合思想的自然体现. 而有的教师在教学中将数形截然分开，不能够显示出数学的本质特征，比如教学平面直角坐标系，往往只是将教学的重心放在“形”上，跟学生强调画平面直角坐标系的基本要求，于是学生习得的就是如何去画一个平面直角坐标系. 而事实上，平面直角坐标系的本质是研究数对关系的产物，引导初中学生学习平面直角坐标系，不能忽视这一特点，或者说不能只注意这一特点，这样才能让学生更好地理解数学本质，也只有如此，数学学科核心素养的落地才是有充分保障的.

作为核心素养的数形结合

那么在核心素养的视角下理解数形结合，又应当是怎样的呢？这里不妨将研究的视野在时间上拉长. 回顾课程改革，可以发现新课程改革在倡导学生自主探究性学习时，就已经强调要把数形结合落实在自主探究性学习中，强调要以课堂教学为突破口，逐步培养学生形成数形结合的思维方式. 这里是从思维的角度去强调数形结合价值的. 思维是世界上最美的花朵，思维能力支撑着学生的数学学习，很显然思维能力就是关键能力之一，是核心素养的重要组成部分. 具体到初中数学学科中，在核心素养的视角下认识数形结合，最好的方法就是通过教学案例的研究，认识到数形结合思想渗透的过程中核心素养是如何落地的.

如前面提及的平面直角坐标系的教学，其教学环节常常包括三个：

环节1：创设情境，研究有序數对.

在平面几何中，直角坐标系是最基本的研究载体（其实也是一个数学模型），作为面向初中学生的教学要使其知其然且知其所以然. 而“所以然”就是必须让学生认识到平面直角坐标系，实际上是为了研究有序数对. 得出有序数对概念可以基于学生的生活经验，无论是在教室里还是在电影院里寻找座位，都涉及有序数对. 教师可以列举这些例子，让学生通过分析与综合认识到有序数对在生活中的普遍运用. 当学生进入情境之后，教师可以提出一个问题：如果要你向别人介绍有序数对，你会如何介绍呢？

情境与问题总是联系在一起的，基于情境提出的问题，可以让学生将问题解决的过程与情境中的素材更好地结合在一起. 事实证明，学生回答问题时，总是不由自主地会通过画图的方式去解释，这也就打开了数形结合的空间.

环节2：建立坐标，描述有序数对.

学生回答上述问题时，认知发展的过程有两个层次：一是将教室或者电影院的座位通过“写实”思路画出来，这个层次反映的是学生的形象思维，但不能反映数学的抽象特质，因此教学还必须进入下一个层次;二是通过数学抽象把位置转换为对点的描述，进而由“横”“竖”两个维度来确定位置. 这一点初中学生是做得到的（部分做不到的学生可以在小组合作学习的过程中获得认知的发展），而有了这一基础，实际上平面直角坐标系也就有了雏形. 此处教师不必急着画平面直角坐标系给学生看，首先应当让学生认识到，通过这种横竖结合的方法可以确定一个有序数对，而这正是平面直角坐标系的本质所在，也是数形结合思想的精髓所在.

环节3：立足思想，生成核心素养.

在学生成功地建立起平面直角坐标系之后，教师一定要引导学生认识到这是一个体现“形”与“数（对）”的关系的产物，客观上也就是数形结合思想的产物. 在学生有了这一认识（不一定是显性认识，也可以是默会认识）之后，作为数学思想的数形结合，也就很自然地将数学抽象、数学建模等数学学科核心素养的要素渗透到学生的学习过程中.

核心素养视角下理解数学教学

综合分析上述课例，再思考核心素养如何落地，可以发现只要在一个教学过程中有效地渗透数学思想，那么数学学科核心素养落地总是有保证的. 很多时候，这都不是一个需要刻意追求的过程，因为在教学设计中研究数学思想，会自然地将数学学科核心素养的相关要素吸纳进来，也就是说数学思想与数学学科核心素养的组成要素并不是彼此独立的，实际上两者是互相高度关联的. 在传统的教学视野里，数学思想受到了高度重视，因此借助于数学思想去实现数学学科核心素养的培育，是一个在传承的基础上进行创新的过程. 当然，必须认识到数学思想与数学学科核心素养存在着区别，前者重“神”而后者重“形”，前者须感悟而后者须体验. 因此对于初中学生而言，尤其是对于初中数学教学而言，以核心素养为抓手，必以之作为教学目标来引领数学学科的教学，其实对于一线教师而言，更具可操作性.

由此回过头来再从数形结合角度认识初中数学教学，不仅要认识到数学是一门研究空间形式与数量关系的学科，其能够培养学生的逻辑思维能力，主要途径就是提高学生的数形结合思想的应用能力;还要认识到在渗透数形结合思想的过程中，要对数学学科核心素养的组成要素进行研究，以将数学思想的活力附着在数学学科核心素养的“形”上. 实践也表明，考虑到学生对数学思想与核心素养的熟悉关系，经由数学思想而走向核心素养是可行的.