《小数除法》单元分析及关键课例设计说明

文｜裴云姣 姜雪华

《小数除法》是北师大版五年级上册第一单元的内容，这一单元内容繁、杂、难，知识点众多。

一、有什么

首先，我们认真研读《数学课程标准（2011年版）》、教师用书及教材，力图较为准确地勾勒出单元教学目标及教材体系框架结构，分析本单元在教材知识体系及学生素养培养活动中所处的地位与作用。

其次，我们仔细对比北师大版与人教版单元课例结构。北师大版除数是整数的小数除法分3 个课时展开教学，例1 重在理解基本算理、算法；例2 解决被除数有余数和需要添0 继续除的问题；例4、例5 解决商首位、中间不够除，需添0 的问题。除数是小数的除法分为2 个课时，例6 是被除数和除数小数部分位数相同的除法，例7 呈现被除数和除数小数部分位数不同的问题。后续的其他关键课例重点学习：用四舍五入法取商的近似数；用计算器来探索除数大于1、小于1 和接近1 时被除数与商的大小关系；认识循环小数及四则混合运算和两个专项练习。同时我们对比了人教版教材的单元目录，发现从例1 到例5 大致与北师大版教材编排相符，只是在个别课时及例子关注点上与北师大版教材略有不同：比如北师大版的解决问题注重两步混合运算的实际应用，人教版的解决问题注重用“去尾法、进一法”取近似值，而北师大版则是将这个知识点分散在一些练习之中。

二、缺什么

首先从知识的逻辑结构上来看。北师大版教材将《小数除法》安排在五年级上册第一单元展开教学，该单元内容独立，而人教版教材在第一单元学习了《小数乘法》之后，再过渡到第三单元的《小数除法》，内容更具关联性，逻辑结构也更为合理。

其次从学生的认知结构上来看。学生对余数的意识较强，但是讲不清算理，说明在知识的学习过程中会做题但是不明其“所以然”。同时，无论是北师大版还是人教版，都是借助“长度”或“分钱”的方式单纯地理解小数部分“除”的道理和方法，这无形中割裂了小数部分“除”与整数部分“除”的内在联系，直接影响学生对小数除法本质的深入理解。

三、补什么

从教学内容来看，近似数、循环小数等其他关键课例独立性较强，不作调整。考虑到学生的已有经验及学生的认知结构，我们思考了以下几个问题：

首先考虑是否可以从整数除法引入，感受商是小数产生的必要性？

实际上，除数是整数的小数除法的真正生长点是有余数的除法，也就是在分物、测量等过程中如果有剩余，在整数范围内是用“余数”来表示，而要想得到更精确的结果，就需要用小数（或分数）来表示。这样，自然就产生了小数，其实这也是小数除法的源头。由此看来，整数除法不仅是除数是整数的小数除法的逻辑基础，也是其真正的教学起点。

其次考虑除数是整数的除法能否整合成2 课时展开教学？

对于例1“11.5÷5”学生已经有了怎样的认知基础呢？我们发现结合情境，学生基本能理解算理，主要的困惑点在于竖式中的余数，“15 个0.1”为什么写“15”，而不是写“1.5”。

基于以上思考，在整体遵循教材逻辑结构的同时，对例题的“逻辑顺序”进行了微调，对内容进行了适当的整合与拓展，形成了本单元整合框架。

将被除数有余数需添0 继续除与被除数无余数这两节课整合成一个课时展开教学，感受小数除法的必要性，使之不独立、不孤立。后续两个例题的教学则体现其重要性：包括除法竖式的规范，沟通算理算法，强调除法的位值等。这样更利于对比沟通整数除法与小数除法之间的区别与联系，让除数是整数除法的学习更具结构化。根据问题需要，更改了例题情境、数据，让情境更具有现实意义，让数据更具整体性。同时增加了小数除法巧算这一拓展内容，进一步理解小数除法的算理、算法。

四、教什么？

基于以上分析，我们确定了第一课时作为关键课例，创设连续情境，以“26÷4”回顾以往知识基础，以“29.5÷5”作为重点巩固，以“36.9÷6”进行运用拓展的情境串教学。

环节一：回顾旧知，生长新知

1.根据信息，提出数学问题。

预设1：某商店每本书多少元？

师：怎样列式？口算甲商店每本书的价格。

2.从整除到带余除法，提出质疑引思考。

师：后来甲商店的价格有所变化，（板书擦去24元，出现26 元）请再算一算。

预设2：结果是每本6 元余下2 元。

师：看来比6 元（多），比7 元又（少），余下的2 元还能继续分吗？怎么分？独立尝试，完成后可以和同桌交流一下你的想法。

3.反馈交流（展示部分学生作品）。

师：这个继续往下分的过程在竖式中怎样表示？

师：同学们在遇到余下2 元不够除时，都想到了把2 元转化成20 角继续往下分的办法，在竖式中又该怎样表示呢？

【设计意图：从整数除法引入，能自然唤醒旧知，不至于让小数除法来得太突兀，再从整除到带余除法，因为有了继续往下分的需要，也就顺理成章地产生了小数的需要，体会其必要性。】

环节二：自主探究，沟通算理

1.开放多元，大任务驱动。

活动要求：可以接着继续研究甲商店中的问题，或者选择其他两个商店中的问题，并思考，通过这道题的研究，能为另外两道题的解决提供哪些可借鉴的经验？（展示学生作品）

（1）横式VS 竖式。

师：仔细观察，说说你看懂了什么，有什么疑问？

预设1：①和③是列式计算的，②和④是用竖式计算的。

预设2：①和②很相似，它们都把29.5 元进行两次均分，先分25 元，再将剩下的4.5 元转化成45角继续分。

师：在竖式中找一找这两次均分的过程，连一连。

师：你是怎么看出竖式中的45 表示的是45 角的？

小结：原来一个小小的小数点起到了分界的作用，小数点的左边表示元，右边表示角，所以这个45就表示45 角。

（2）正例VS 错例。

师：方法②和方法④很相似，认为这里需要点上小数点的举手，认为不需要的举手，那就让我们来场辩论赛吧，说说各自的理由。

小结：有了被除数中的小数点，竖式中的45 不写小数点同样能表示45 角，不写更简洁。

【设计意图：以大任务为驱动，以大问题为导向，开展自主探究，借助课堂生成的资源展开教学，通过横式与竖式的“连”，正例与错例的“辩”，帮助学生进一步明晰算理，掌握算法。】

环节三：模型建构，沟通算理

1.具体VS 抽象。

师：29.5÷5 还能解决生活中的哪些问题呢？

预设1：把29.5 米长的绳子，平均分成5 份，每份长5.9 米。

师：此时，小数点前面的5 表示的是（米），小数点后面的这个9 表示的是（分米）。

师：继续思考，如果小数点前面的5 表示5 个1，那么这个9 表示（9 个0.1），因为小数点左边第一位是（个位），右边第一位就是（十分位），那么这里的45就表示（45 个0.1）。

【设计意图：币值和长度是学生学习和理解小数除法意义的“脚手架”，在前测中发现，在具体的情境中，学生会更容易想到“继续分”，学生在借助情境讲述“29.5÷5”的“故事”中慢慢抽象到计数单位的描述，对于学生来说这种抽象的过程是至关重要的。】

环节四：多重对比，法明理通

师：哪些同学探究了另外两个问题？请你向大家介绍自己的想法，其他同学边听边思考，他们在解决问题的过程中与你研究的这道题有哪些相同的地方？

1.被除数无余VS 添0 再除。

预设1：我选择的是26÷4 这道题，这个2 后面添个0，表示20 角，然后在商这里（6 的后面）点上小数点，这个5 就表示5 个1 角了，所以结果是6.5 元。

师：为什么要在商6 的后面添上小数点？

预设2：36.9÷6=6.15（元），把整数部分的36 先除以6，商是6，9 个0.1 平均分成6 份，商1，余3，添0继续除，结果就是6.15 元。

师：从这位同学的表达中，你听出了有几次均分的过程，在竖式中指一指、说一说。

预设3：第一次分整数部分36 个1；第二次分9个0.1 商在十分位，余3 个0.1，转化成30 个0.01 继续分；第三次分30 个0.01，商在百分位。

（教师再次引导学生关注小数点的意义，引起共鸣：小数点大作用）

2.相同VS 不同。

师：观察这些除数是整数的小数除法，它们之间有什么相同点和不同点？

预设1：关注小数点的问题，理解其意义，再次沟通整数除法与小数除法之间的关系。

预设2：关注余数的问题，沟通“降级再分”的算理。

师：通过今天的学习，我们发现余下的数不够分时，可以“降级再分”，也就是转化成更小的计数单位继续往下除。

【设计意图：对比是数学学习的重要手段，本环节通过被除数无余与有余的对比及三种类型同与不同的对比，紧紧围绕“小数点”和“降级再分”这两个要素展开交流，在多重对比中明晰算理，理通则法明。】