数学思维视域下“思维力”的认识与思考——以逐次渐进思想和极限思想为例

肖 鹏 黄星林

（黔南民族幼儿师范高等专科学校基础教育系，贵州 都匀 551300）

一、数学思维

数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照一般的思维规律认识数学规律和本质的理性活动[1]。广义上的数学思维就是指数学活动中的思维；狭义的数学思维主要是由数学问题推动而发展起来的思维，具有抽象化、形式化和多样性等特征。数学思维方法的教育有助于培养学生辩证的思考能力，使学生养成全方位观察思考问题的习惯[2]，从而创造性地提出解决数学问题的思维力。

二、逐次渐进思想与极限思想

（一）逐次渐进思想

逐次渐进方法主要是指在解决具体数学问题中，逐次缩小或扩大研究范围，把实验与推导相结合从而用逼近、验证、淘汰和选择等简化问题，化繁为简、化难为易；从而逐步逼近问题本质，所以逐次渐进方法也叫逐步逼近方法[3]。逐次渐进方法在解决新数学问题时有得天独厚的地位，通常新问题的出现，人们面临的问题主要是缺少方法和缺少理论从而通过摸索式地解决问题，所以她具有利于解决数学问题，有在数学理论发展中起重要作用；从这个角度而言，逐次渐进方法提倡的更多是一种观念、一种思维方式和进取精神。

（二）极限思想

“极限思想”方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是“数学分析”与在“初等数学”的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展[4]。

极限思想也称为极限思维方法或无限思维方法，是一种无法进行具体体验的数学思维，但却在人类认识客观世界的历史进程中发挥着巨大的作用。研究主要从数学方法论的角度对极限思想进行解读，可以说极限思想是数学发展不可或缺的工具，也是人们从数学角度更为深刻地理解客观事物之间宏观或微观的有力武器。极限思维方法的出现对数学自身的成长起到了巨大推动作用，是数学发展史上重要的里程碑，这是数学思维力量的高光时刻，是数学思维中暴力美学的极致。学生在领会“极限”时不仅需要了解数学发展历史，而且也要理解数学思维的变化历程，并反复认知，才能融会贯通[5]。

（三）逐次渐进思想与极限思想的异同点

数学史上从来没有一种思维方法可以绝对独立存在；也没有两种数学思维像逐次渐进方法与极限思想这样极其相似又各自大放异彩。逐次渐进思想与极限思想既相互联系又相互区别；逐次渐进思想是极限思想得以产生的实践基础和方法论，极限思想是逐次渐进思想结晶，二者的异同点梳理如下：

序号 维度 逐次渐进方法 极限思想 相同属性1时间 时间跨度大 时间跨度小2空间 一维性 多维性3方向 循环往复 单向前进4方法 从整体到局部再到整体 无限逼近 恒等转化5变化速率 量的积累 质的飞跃 逐步逼近6抽象程度 抽象程度低 抽象程度高 无限细分7感知程度 可以进行具体感知 无法进行具体体验10 对应案例 频率、割圆术 概率、微积分

序号 维度 逐次渐进方法 极限思想 相同属性8思维倾向 一种观念 一种方法9 内涵和外延 内涵小外延大 内涵大外延小10 对应案例 频率、割圆术 概率、微积分

三、逐次渐进思想与极限思想碰撞的火花

（一）从频率到伯努利大数定律

逐次渐进方法为我们探究新的数学问题提供了全新的理念。例如在研究随机现象的可能性大小时，实际中我们不可能对每一个事件都做大量的试验，所以数学家们才利用逐次渐进的思想从经验上升到理论，根据规律总结出事物的本质属性；于是从频率的稳定性出发给出了表征事件大小的概率的定义[6]，见表1。

表1 频率的稳定性

这就是著名的投掷硬币的实验，由此得出一个概率论中非常重要的设想：“当试验次数N逐渐增大时，频率总是在概率附近波动”。瑞士数学家雅各布（伯努利（Jakob Bernoulli，1654-1705），概率论的先驱之一，在他的著作《猜度术》一书中论证了这一设想，后人称之为伯努利大数定律，如下所示；值得一提的是这本书在他死后8年，即1713年才得以出版。

（二）从“割圆术”到微积分的创立

“割圆术”到微积分是研究中西数学文化大碰撞的重要文化瑰宝；蕴含了深邃的极限思想。三国时代数学家刘徽（约公元225年-公元295年）在著作《九章算术注》称：“割之弥细，所失弥少，割之有割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。正是由于其采用了极限的这种无限逼近的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案，从而为计算圆周率建立了严密的理论和完备的算法。动态的二分演化过程使得刘徽精密而又庞大的计算迅猛加速。

微积分的创立把逐步逼近的思想符号化并加速到抽象的“无穷”；直接引发了数学的第二次危机。因为17世纪无穷小量并没有准确统一的表达形式，数学家靠着非严格论证的数学想象力，使得微积分在运用上取得了广泛成效。随之而来的是微积分如何完备的理论探讨，从牛顿直接思维的模糊性到清晰的理论逻辑化，经历了近两百年。于是极限作为微积分的理论基础孕育而生，而极限又以唯物辩证法的哲学观作为理论基础。微积分是‘数学分析法’的开端，是集合论的基础，使‘实数论’的研究得以更加的深入。总而言之，微积分的创立开辟了数学发展的新纪元，它极大地促进了数学及其他学科的发展，渗透到近现代自然科学的各个领域，深刻地改变了人类的物质生活，大大提升了人类探索世界的能力。

四、小结

从随机试验的频率到概率，从中国的割圆术到微积分；逐次渐进思想和极限思想在其中发挥了巨大的作用，更为重要的是这些理论成果背后的思维力量。对于学生的教育而言，教师在教学过程中要注重思维的培养与正确引导，利用科学、合理的方法全面激活学生的思维意识，也要巧妙“挖坑”让学生“跳”，时学生在探索过程中自主地发挥智力与潜能，激发他们的求知欲，增长他们的创新能力，让学生的思维在知识的海洋中遨游。在不断提炼问题本质过程中，引发学生思维意识和求知欲打开学生思路，体会数学的逻辑之美，培养学生的分析能力和推理能力，从而提升学生的数学思维力。为数学专业学生更好地立足竞争激烈的社会中，锐意进取，突破极限，创造更多社会价值打牢基础。