电场中那些能量问题的归类探析

云南 蒋金团

带电粒子在静电场中的运动是高考必考题型，带电粒子在电场中的三线问题、电场中的能量转化、电场中的加速与偏转等内容是高考命题的热点。本文从能量的角度，对电场中的功能关系问题进行归类探析。

一、非匀强电场中的功能关系

1.电势高低的判断

角度方法电场线方向沿电场线方向电势逐渐降低场源电荷的正负取无穷远处电势为零,正电荷周围电势为正值,负电荷周围电势为负值;靠近正电荷处电势高,靠近负电荷处电势低电场力做功根据UAB=WABq=φA-φB,将WAB、q的正负号代入,由UAB的正负判断φA、φB的高低电势能的大小正电荷在电势能大的位置电势高,负电荷在电势能大的位置电势低

2.电势能大小的判断

方法内容公式法将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep=qφ,正Ep的绝对值越大,电势能越大;负Ep的绝对值越大,电势能越小电势法正电荷在电势高的位置电势能大负电荷在电势低的位置电势能大做功法电场力做正功,电势能减小电场力做负功,电势能增大能量守恒法在电场中,若只有电场力做功时,电荷的动能和电势能相互转化,动能增大,电势能减小,反之,动能减小,电势能增大

【例1】如图1所示，一带电粒子仅在电场力的作用下做曲线运动，虚线表示其运动轨迹，实线表示电场线，下列说法正确的是

( )

A.粒子带正电

B.粒子在B点受到的电场力大于在C点受到的电场力

C.粒子在B点时电势能最大

D.粒子从A点运动到C点的过程中动能先增大后减小

图1

【选项分析】带电粒子的运动轨迹向左下弯曲，则带电粒子所受的电场力沿电场线切线向左下方，带电粒子带负电，A选项错误；电场线的疏密程度表示电场强度大小，由图1可知B点的电场强度大于C点的场强，所以粒子在B点受到的电场力大于在C点受到的电场力，B选项正确；由沿着电场线方向电势逐渐降低，可知B点的电势最低，再根据负电荷在电势低的位置电势能大可知，粒子在B点时电势能最大，C选项正确；已知带电粒子仅受电场力，由能量守恒定律可知，动能和电势能之和保持不变，粒子在B点时电势能最大，动能最小，因此，粒子从A点运动到C点的过程中动能先减小后增大，D选项错误。

【归纳总结】电场线与运动轨迹的综合问题，可按如下的步骤解答：(1)根据合力总是指向轨迹的凹侧判断出电场力的方向，本题中的轨迹向左下弯曲，所以电场力的方向沿电场线切线指向左下方；(2)根据电场强度方向和电场力方向是否相同判断粒子的带电性质，若方向相同则粒子带正电，若方向相反则粒子带负电，口诀为“正同负反”，本题中电场线的方向指向右上方，而电场力的方向指向左下方，电场力的方向与电场强度的方向相反，所以粒子带负电；(3)在电场线与轨迹线的交点处，通过作切线的方式画出电场力的方向和速度的方向，根据两个方向间的夹角判断出电场力做功情况，若夹角为锐角则电场力做正功，若夹角为钝角则电场力做负功，本题中假设带电粒子从A点运动到C点，运动轨迹在A点的切线指向右上方(即A点速度方向指向右上方)，而A点电场力方向沿电场线在A点的切线指向左下方，此时电场力方向与速度方向之间的夹角为钝角，电场力做负功，同理可知，在B点电场力方向垂直速度方向，在C点电场力方向与速度方向成锐角，电场力做正功；(4)根据电场力做功情况判断出电势能的变化情况，若电场力做正功则电势能减小，若电场力做负功则电势能增加。对于本题而言，带电粒子从A点运动到B点再运动到C点时，电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，即B点电势能最大；(5)根据动能定理或能量守恒定律判断出动能的变化情况，若合力做正功则动能增加，若合力做负功则动能减小。对于本题而言，带电粒子仅受电场力，动能与电势能之和保持不变，带电粒子从A点运动到B点再运动到C点时，电势能先增大后减小，则动能先减小后增大，即B点动能最小。

【例2】一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正向运动，其电势能Ep随位移x变化的关系如图2所示，其中0～x2段是关于直线x=x1对称的抛物线，x2～x3段是直线，下列说法正确的是

( )

图2

A.粒子经过x1处时，其受到的电场力为零

B.粒子在0～x2段做匀变速运动

C.在0、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ3<φ2=φ0<φ1

D.在x2～x3段，粒子的加速度保持不变

二、点电荷电场中的功能关系

【例3】(2019年全国卷Ⅲ第21题)如图3所示，在正方体的两个顶点上分别固定电荷量为q和-q(q>0)的点电荷，关于正方体另外两个顶点a、b处的电场强度和电势，下列说法正确的是

( )

图3

A.a点的电势大于b点的电势

B.a、b两点的电场强度大小相等，方向相同

C.a、b两点的电场强度大小相等，方向不同

D.将负电荷从a点移到b点，电势能增加

【选项分析】如图4所示，取无穷远处为电势零点，b点更加靠近正电荷，φb为正值，a点更加靠近负电荷，φa为负值，A选项错误；

图4

( )

图5

B.b、d两点电势和电场强度都相同

C.四个点中c点电势最高

D.将一个试探电荷+q沿圆周由a点移至c点，+q的电势能减小

三、匀强电场中的功能关系

1.带电粒子在匀强电场中做匀加速直线运动时，通常用动能定理寻找相应的功能关系；

2.带电粒子在匀强电场中偏转时，通常用“运动合成与分解”的方法结合动能定理分析带电粒子的运动情况和能量转化情况。

【例5】(2018年全国卷Ⅱ第21题)如图6所示，a、b、c、d、M、N是匀强电场中的六个点，匀强电场方向与此六点所在的平面平行，M、N分别为ac连线和bd连线的中点。将一电荷量为q的带正电的粒子从a点移动到b点，其电势能减小W1；将该粒子从c点移动到d点，其电势能减小W2。已知c、d之间的距离为L，下列说法正确的是

( )

A.匀强电场的场强方向一定与ab连线平行

D.若W1=W2，则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差

图6

【例6】(2020年全国卷Ⅰ第25题)如图7所示，以O为圆心、半径为R的圆形区域内存在匀强电场，匀强电场的方向与圆形区域所在平面平行，现将质量为m，电荷量为q的正粒子从圆周上的A点以不同的速率射入电场，入射速度方向均与电场方向垂直，已知粒子的入射速度为零时，粒子将从圆周上的C点以速率v0穿出匀强电场，弦AC与直径AB间的夹角θ=60°，粒子仅受电场力作用。求：

图7

(1)电场强度的大小；

(2)为使粒子穿过电场后的动能增加量最大，该粒子进入电场时的速率为多大？

(3)为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv0，该粒子进入电场时的速率为多大？

图8

【点评】(1)要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子的受力与运动的关系及功能关系两条途径进行分析与研究。对于本题，当带电粒子从A点由静止释放时，粒子在恒定电场力作用下做匀加速直线运动，因为此时粒子从C点射出，这说明AC连线为此时的运动轨迹，同时说明电场力的方向从A点指向C点，对于匀变速直线运动问题，只要用动能定理或牛顿第二定律结合运动学公式便可求解。当带电粒子从A点以一定的初速度垂直电场射入时，带电粒子在电场中做类平抛运动，此时采用正交分解法处理，把类平抛运动分解成沿着初速度方向的匀速直线运动和沿着电场力方向的匀加速直线运动，分别列出每个分运动的速度公式、位移公式和加速度公式(用牛顿第二定律求加速度)，最后再结合几何关系便能求出相应的未知量；(2)第二问中的临界条件可以采用三角形定则来寻找，粒子的末位置为圆上的某点B，把初位置A和末位置B连起得到合位移，把合位移正交分解成沿着电场力的分位移和垂直电场力的分位移，再把垂直电场力的分位移沿着电场力方向平移，该分位移和圆相切时，电场力做功最大。