情境为载体 方法作引领 问题为导向——以带电粒子在有界磁场中临界与极值的数理分析为例

湖北 胡卫雄 余任远

研究带电粒子在洛伦兹力作用下的圆周运动时，经常会遇到粒子通过有界磁场区域的运动情形。往往由于初始速度不同、所处磁场的磁感应强度大小不定、运动圆轨迹发生变化、边界的约束等产生“恰好”“最大”“至少”等临界与极值问题。本文针对试题创设的情境载体，以对该问题进行数理分析的两种途径作为方法引领，以构建临界与极值四类问题模型作为导向，在问题的解决中促进学生形成磁场观念、运动与相互作用观念，提升学生模型构建能力，培养科学思维素养。

一、数理分析的两种方法

在进行具体分析之前，先从题给情境中的关键词找突破口，抓住题干中“恰好”“最大”“至少”等信息，将带电粒子在有界磁场中的运动情境转化为临界与极值问题情境。针对具体的问题，利用下面两种路径，挖掘情境中隐藏的临界与极值条件。

1.应用“临界、极值轨迹+几何关系”确定临界与极值条件。根据带电粒子轨迹变化特点，利用动态的“缩放圆”“旋转圆”“平移圆”，画出临界极值条件下的轨迹，挖掘问题情境下的几何关系，确定临界极值条件，结合圆周运动的相关物理规律，联立求解。

2.应用“一般轨迹+几何关系”确立相关物理量之间的函数关系，利用数学方法判别临界与极值条件。结合圆周运动的相关物理规律，联立求解。

无论是临界极值轨迹，还是一般情形下的运动轨迹，要重视分析时的尺规作图，规范而准确地作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观。

二、临界与极值情形下的四类问题

1.带电粒子恰好不穿出磁场区域的临界问题

当带电粒子通过有界磁场区域时，如果带电粒子的初始速度不同、所处磁场的磁感应强度大小不定，运动圆轨迹发生变化，由于边界的约束从而产生“恰好”不穿出磁场区域的临界情形，此类问题一般需要推理出带电粒子恰好不穿出磁场区域的临界条件(在磁场中的运动轨迹与边界相切)，画出临界条件下的运动轨迹图，应用“临界轨迹+几何关系”，确定临界条件，结合带电粒子在洛伦兹力作用下圆周运动的物理规律列方程联立求解。

【例1】地磁场可以有效抵御宇宙射线的侵入，保护地球。赤道剖面外地磁场可简化为包围地球厚度为d的匀强磁场，方向垂直该剖面，如图1所示。只要速度方向在该剖面内的射线粒子不能到达地面，则其他粒子不可能到达地面。宇宙射线中对地球危害最大的带电粒子是β粒子，设β粒子的质量为m，电荷量为e，最大速度为v，地球半径为R，匀强磁场的磁感应强度为B，不计大气对β粒子运动的影响。要使在赤道平面内从任意方向射来的β粒子均不能到达地面，则磁场厚度d应满足什么条件？

图1

图2

【点评】本题设置的情景是环形匀强磁场区域，电子的入射速度大小、方向和入射点不确定，β粒子在有界磁场中的运动轨迹不确定。以此情景为载体，考查对刚好不穿出磁场区域(不能到达地面)临界问题的分析。以图2所示向下的速度方向为例(作为圆形磁场区域，也代表任意方向)，可以通过画出动态的“缩放圆”(半径大小在变化)和“平移圆”(入射点在变化)进行分析，这两种方法重点在于利用缩放和平移动态轨迹圆，找出临界条件下(与地面相切)的“临界轨迹”，分析临界条件下的几何关系，结合带电粒子在磁场中做圆周运动的动力学规律便可求解。

2.带电粒子在有界磁场中运动时间的极值问题

当带电粒子通过有界磁场区域时，如果带电粒子的初始速度不同，轨迹圆半径不同、运动圆轨迹在变化，由于边界的约束，各粒子在磁场中运动的时间长短不一，从而产生带电粒子在有界磁场中运动时间的极值问题。如果磁场的磁感应强度恒定，带电粒子的荷质比相同，则各粒子在磁场中运动的周期相同，可根据圆心角判断时间的极值：带电粒子运动过程中转过的圆心角越大，时间越长。此类问题一般需要推理出带电粒子在有界磁场中运动时间的极值条件(圆心角最大)，画出极值条件下的运动轨迹图，应用“极值轨迹+几何关系”，结合物理规律求解。也可应用“一般轨迹+几何关系”，得到相关物理量之间的函数关系，通过数学方法求极值条件，再结合物理规律求解。

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图3

图4

方法二：采用“一般轨迹+几何关系”，利用数学函数关系求极值，解决该问题。假设粒子运动轨迹如图5所示,圆心在O点，ab半圆的圆心在O′，OO′=2R-r,Oe=r,O′e=R。

图5

【点评】本题设置为较复杂的磁场边界情景，既有直线边界，又有圆形边界，匀强磁场的磁感应强度恒定，一束粒子的电荷量、质量、速度方向相同，速度大小不同。对于从ac、bd区域射出的粒子而言，是直线边界情形；对于从ab圆弧区域射出的粒子而言，是圆形边界情形，考查对运动时间极值问题的分析。对从ac、bd区域射出的粒子，即半径r≤0.5R和r≥1.5R时，他们的轨迹组成一组半径逐渐增大的“缩放圆”，粒子在磁场中的轨迹为半圆，运动时间等于半个周期。对于从ab圆弧区域射出的粒子，0.5R≤r≤1.5R，则可以灵活地选择其中的一种方法求解。

3.带电粒子穿出磁场时打在磁场边界区域范围

当带电粒子通过有界磁场区域时，如果带电粒子的初始速度不同或者磁感应强度大小不定，则各粒子在磁场中运动的轨迹不同，由于边界(或极板/荧光屏)的约束，一部分粒子打在边界(或极板/荧光屏)上，从而产生粒子穿出磁场时打在磁场边界区域范围的极值问题。此类问题一般需要推理出带电粒子穿出磁场时打在磁场边界上距离最远的极值条件(轨迹与边界相切或打在边界时轨迹对应的弦长最长)，画出极值条件下的运动轨迹图，应用“极值轨迹+几何关系”，结合物理规律求解。也可选取一般情形，画出“一般轨迹+几何关系”，列出相关物理量之间的函数关系，通过数学方法求极值。

【例3】如图6所示，S处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板MN垂直于纸面，在纸面内的长度L=9.1 cm，中点O与S间的距离d=4.55 cm，MN与SO直线的夹角为θ，平板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B=2.0×10-4T，电子质量m=9.1×10-31kg，电荷量e=-1.6×10-19C，不计电子重力，电子源发射速度v=1.6×106m/s的一个电子，该电子打在平板上可能位置的区域长度为l，则

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图6

A.θ=90°时，l=9.1 cm B.θ=60°时，l=9.1 cm

C.θ=45°时，l=4.55 cm D.θ=30°时，l=4.55 cm

图7

方法一：分别画出四种对应情况下的极值轨迹图，结合几何关系求解极值条件。

θ=90°时，击中板的范围如图8甲所示，电子轨道正好与MN相切于M点，l=2R=9.1 cm，A选项正确；

θ=60°时，击中板的范围如图8乙所示，临界情况电子轨道恰好与MN相切，但切点在OM之间，l<2R=9.1 cm，B选项错误；

θ=30°时，如图8丙所示，显然临界情况电子轨道与MN相切，切点正好与O点重合，l=R=4.55 cm，D选项正确；

当θ=45°时，击中板的范围如图8丁所示，显然临界情况电子轨道与MN相切于切点，在OM之间，l>R(R=4.55 cm)，故D选项正确，C选项错误。

甲

图9

【点评】本题设置的情境为直线边界的磁场，相同的一束带电粒子，速度大小相同，速度方向不同，但入射点的位置在发生变化，对应四个选项中，SO与MN的夹角各不相同。考查四种情形下打在极板上的区域范围极值问题。方法一需要画出四种情形下的“极值轨迹+几何关系”，确定极值条件，分析极值，过程较多；方法二只需要分析一般轨迹，挖掘几何关系，建立相关量之间的函数关系，但方法二对几何关系的分析和三角函数知识要求更高，具体问题中还需要根据实际情况选择合适的解决方法。

4.有界磁场区域中面积的极值问题

相同带电粒子从圆形有界磁场边界上某点以相同的速度大小、不同的速度方向射入磁场,且圆形磁场的半径与粒子做圆运动轨迹半径相等时,则粒子出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行,称之为磁发散。如图10甲所示，相同带电粒子平行射入圆形有界磁场,如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等,则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出,并且出射点的切线与入射速度方向平行,称之为磁聚焦，如图10乙所示。当一束相同粒子进入一未知边界的有界磁场区域，出现磁发散和磁聚焦情形，要求有界磁场区域面积的极小值，则需要应用磁发散和磁聚焦原理研究粒子的运动的轨迹边界即临界极值轨迹，得到磁场的一部分边界的几何特点，还需要研究一般粒子的运动轨迹，即一般轨迹。分析几何关系，通过数学知识求其出射点坐标所满足的关系方程，即可得到磁场的边界方程。

甲

【例4】如图11所示，在xOy平面内有许多电子(每个电子质量为m，电荷量为e)，从坐标原点O不断地以相同大小的速度v0沿不同的方向射入第一象限。现加上一个垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都平行于x轴正方向运动，试求出符合该条件磁场的最小面积(不考虑电子之间的相互作用)。

图11

图12

【点评】这类问题一般设置为圆形有界磁场区域，属于磁发散和磁聚焦现象的应用情境。根据带电粒子在有界圆形磁场中运动的特点，研究有界磁场的边界。确定有界磁场的边界一般有两种途径：(1)通过分析粒子的动态圆轨迹，确定一些特殊粒子的临界极值轨迹，得出边界的一部分，如本题中磁场区域上边界的确定。(2)研究一般粒子的运动轨迹特点，确立相关物理量的几何关系，利用数学知识，求出其出射点坐标所满足的关系方程，即得到磁场的边界方程，如本题中磁场区域下边界的确定就是利用这种方法。

综上所述，带电粒子在有界磁场的临界极值问题，在创设丰富的直线边界、圆形边界、复合边界的各种情境下，可构建临界极值问题类型，应用“临界极值轨迹+几何关系”或“一般轨迹+几何关系”两种方法，挖掘隐含条件、分析临界状态、确定极值条件、明了几何关系、结合数学知识、运用物理规律联立求解。在新高考新课程背景下，以上述问题为例，需要积极构建各类问题模型，总结归纳各类问题模型的解决方法，培养将丰富的真实情境转化为物理问题情境能力与应用科学思维和物理方法解决问题的综合能力。