板块模型问题的基本分类与解析

湖北 张万平

高中物理中，滑块和木板叠放组成相互作用的系统简称为板块模型。板块模型属于多个物体的多个过程问题，是高三复习的重点模型，也是高考命题的热点。运用动力学法、动量法、功能法是解决板块模型问题常用的三种方法。为讨论方便，设定以下各种类型中滑块的质量为m，木板的质量为M；滑块与木板之间的动摩擦因数为μ1，木板与地面之间的动摩擦因数为μ2。本文按照初始速度情况和受力情况，将板块模型分为四种基本类型，通过对四种基本类型分类讨论，总结了一些解决思路和方法，供学生参考。

一、无外力F作用

(1)仅滑块有初速度v0

如图1，滑块以水平速度v0冲上长木板以后，讨论如下：

图1

图2

图3

(2)仅木板有初速度v0

图4

如图4，木板速度为v0时在其右端轻放一个滑块后，讨论如下：

图5

图6

值得注意的是图6中，滑块相对木板先向后滑动至t1时刻，后相对木板向前滑动，若在t1时刻滑块恰好滑到木板左端没有掉下，此时木板长度有最小值。

【例1】如图7所示，一木板在水平地面上运动，在t=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度—时间图像如图8。已知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦，物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度g=10 m/s2，求：

图7

图8

(1)物块与木板间的动摩擦因数μ1及木板与地面间的动摩擦因数μ2；

(2)从0.5 s到停止，物块与木板的加速度分别多大；

(3)从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对木板的位移大小。

【解析】(1)从t=0时开始，木板与物块之间的摩擦力使物块加速，木板与物块间及木板与地面间的摩擦力使木板减速，此过程一直持续到物块和木板具有共同速度为止。

由图8可知，在t1=0.5 s时，物块和木板的速度相同。设t=0到t=0.5 s时间间隔内，物块和木板的加速度大小分别为a1和a2，则：

设物体和木板的质量均为m，根据牛顿第二定律得

μ1mg=ma1，(μ1+2μ2)mg=ma2

联立解得μ1=0.20，μ2=0.30

(2)在t1时刻后，地面对木板的摩擦力阻碍木板运动，物块与木板之间的摩擦力改变方向。

图9

(3)从t=0时刻到物块与木板均停止运动时，物块与木板运动的v-t图像如图9。

物块相对于木板的位移的大小为Δx=x2-x1

解得Δx=1.125 m

【点评】本题首先要掌握v-t图像的物理意义，由斜率求出物体的加速度；其次要根据牛顿第二定律判断速度相等后两者是否相对静止，这是易错点，可以假设相对静止推出矛盾从而作出两者发生相对滑动情况的判断；物块相对于木板的位移大小可以用运动学的公式求出，也可以用图9中两个阴影三角形的面积之差来求得。

图10

图11

【例2】(2018年海南卷第8题)(改编)如图12所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m=4 kg的小物块B以v0=2 m/s的水平速度滑上原来静止的长木板A的左端，由于A、B间存在摩擦，之后A、B速度随时间变化情况如图13所示，g=10 m/s2下列说法正确的是

( )

图12

图13

A.长木板A获得的动能为2 J

B.系统损失的机械能为为2 J

C.长木板A的最小长度为2 m

D.A、B间的动摩擦因数为0.1

【点评】本题注意结合图像挖掘题目中的隐含条件，这是解题的关键。因地面光滑系统所受合外力为零，故可以考虑动量守恒定律。本题中长木板A的最小长度是指长木板A与小物块B达到共同速度时，小物块B刚好到达长木板A右端时的长度。

二、有外力F作用

(1)外力F作用在长木板上

图14

若力F较小，木板相对地面刚要匀速运动时，对整体分析有

F1=μ2(M+m)g

若两者恰好一起向右做匀加速运动，对整体

F2-μ2(M+m)g=(M+m)a

对木块单独分析有μ1mg=ma，则

F2=(μ1+μ2)(M+m)g

讨论：①当0

②当F1

图15

说明：若地面光滑，则μ2=0，F1=0，对应的a-F图像只需将图15中图像向左平移至起点交于原点处。

【例3】如图16所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m小滑块。长木板受到随时间t变化的水平拉力F作用，用传感器测出长木板的加速度a与水平拉力F的关系如图17所示，取g=10 m/s2，则

( )

图16

图17

A.小滑块与长木板之间的动摩擦因数为0.1

B.当水平拉力F=7 N时，长木板的加速度大小为3 m/s2

C.当水平拉力F增大时，小滑块的加速度一定增大

D.小滑块的质量m=2 kg

【点评】本题的关键在于通过图像判断拉力F在不同范围时滑块和木板的状态，当拉力F=6 N，加速度a=2 m/s2时，长木板和小滑块运动达到临界状态；当06 N时，对长木板和小滑块分别分析。

(2)外力F作用在滑块上

图18

讨论①当μ1mg≤μ2(M+m)g时，木板静止

②当μ1mg>μ2(M+m)g时，若两者恰好一起匀加速，则

对系统分析有F0-μ2(M+m)g=(M+m)a0

对木板分析有μ1mg-μ2(M+m)g=Ma0

分类讨论：

①当F≤μ2(M+m)g，两者均静止

图19

图20

说明：若地面光滑，则μ2=0，μ1mg>μ2(M+m)g=0，对应的a-F图像只需将图20中图像向左平移至起点交于原点处。

【例4】如图21所示，在水平地面上有一质量为m1=1 kg 的足够长的木板，其上叠放一质量为m2=2 kg的木块，木块与木板之间的动摩擦因数μ1=0.3，木板与地面间的动摩擦因数为μ2=0.1，设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，现给木块施加随时间t增大的水平拉力F=3t，取重力加速度g=10 m/s2。

图21

图22

(1)求木块与木板保持相对静止的时间t1；

(2)t=10 s时两物体的加速度各是多少；

(3)在图22中画出木块的加速度随时间变化的图像.(水平拉力F的方向为正方向，只要求画图，不要求写出理由及计算过程)

【解析】(1)Ff1=μ1m2g=6 N，Ff2=μ2(m1+m2)g=3 N，Ff1>Ff2

当F<3 N，0

当木块和木板恰好不发生相对滑动一起做匀加速直线运动时

对m1分析有Ffmax-μ2(m1+m2)g=m1a

其中Ffmax=μ1m2g

解得a=3 m/s2

对m1和m2整体有F1-μ2(m1+m2)g=(m1+m2)a

解得F1=12 N

由F1=3t1得t1=4 s

(2)t=10 s时，木块与木板已发生相对运动，则

对m1分析有μ1m2g-μ2(m1+m2)g=m1a1

解得a1=3 m/s2

对m2分析有F-μ1m2g=m2a2

F=3t=30 N

解得a2=12 m/s2

(3)由(1)(2)分析可知，图像过(1，0)，(4，3)，(10，12)，将各点用折线连接，如图23所示。

图23

【点评】本题要注意区分“两者都静止”与“两者相对静止”的不同含义，对这点学生容易混淆，当地面对木板摩擦力小于滑块对木板的摩擦力时，外力小于地面对木板的摩擦力，两者都静止；当滑块受到的静摩擦力小于等于最大静摩擦力时两者相对静止；当滑块受到的摩擦力刚达到最大，外力F增大时，两者便发生相对滑动。

在高中总复习阶段，木板滑块模型问题贯穿牛顿运动定律、动量和能量等章节的复习，在求解此类问题时我们一定要搞清楚上下接触面的粗糙程度以及两者的初始情况和受力情况。其中有两点需要特别值得注意：一是摩擦力种类及方向是根据相对运动或相对运动趋势的方向来判断的；二是当滑块与木板共速时，需判断两者是否发生相对滑动。在求解木板滑块模型问题时可以借助图像直观地展现多个对象在各个阶段的运动情况，从而使问题的求解简便化。