立足科学思维 注重数学思想——2020年全国高考理综卷Ⅰ第18题的一题多解

陕西 成均武 党维军

2020年全国高考理综卷Ⅰ第18题，考查带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动的临界极值问题。此类问题是高考的热点，也是考查学生科学思维及核心素养的重点题型。本文立足科学思维，根据带电粒子受洛伦兹力的特点，建立圆周运动模型，根据物理规律，科学推理转化极值问题，运用数学方法，科学论证极值条件。注重数理思想，运用分类讨论思想分析临界极值状态，通过几何图解法、函数极值法和焦点三角形法计算极值及其存在的条件。另外，通过尺规作图、特殊值法和排除法得出正确答案，形成了多种解题方法，充分体现应用数学思想方法解决物理问题的重要性。

一、真题呈现

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图1

二、审题与分析

图2

三、最大圆心角的3种数学解法

解法1：几何图解法

图3

图4

【思路点拨】分析题意作图后，应考虑当粒子出射点在何处时，轨迹弧所对的圆心角有最大值。因直线cabd上方的轨迹弧恒为半圆，故半圆形区域内的轨迹弧所对的圆心角有最大值即可。最大值的确定需要运用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半、圆的切线及直角三角形相关几何知识。几何图解法是本题最简捷的一种解题方法，但是需要学生具有较好的平面几何素养。

解法2：函数极值法

图5

根据几何关系有PO=R，PO′=r，O′O=2R-r，由余弦定理可知

【思路点拨】作图分析题意后，不难发现磁场中轨迹弧的圆心角α随着轨迹半径r的变化而变化，根据余弦定理建立函数关系，整理函数表达式后再求函数极值。一般的临界极值问题都可以运用函数思想方法，确定自变量和因变量，建立函数关系解出函数表达式，运用数学方法分析取极值的条件，确定函数极值。运用函数思想方法求极值是比较严谨的一种方法，但是运算量较大、耗时较多，考试中可优先考虑其他方法，此方法可作为最后的保底方法。

解法3：焦点三角形法

如图6所示，△O′PO中，OP长度恒为R，O′O=2R-r，PO′=r，轨迹圆心O′到P点和O点的距离之和恒为2R。根据椭圆的第一定义：平面上到两定点距离之和等于常数的点的集合。所以，圆心O′始终在以P和O为焦点、长轴为2R的椭圆上，因点P不是定点会使椭圆位置变化，但其形状不变，不影响对α角的判断。

图6

图7

四、尺规作图排除法

图8

图9

【思路点拨】选择题审题不仅要阅读题干，观察配图，更要分析选项。分析选项有时能对解题带来提示，例如本题每个选项都对应一个角度，看似问最长的运动时间，实则求轨迹弧最大圆心角。D选项是四个备选答案中角度最大的一个，可先使用尺规作图法排除，A和B选项可用作图量角或特殊值法排除。规范作图的能力是学习物理必备的基本功，审题与解题时，规范地作图会有事半功倍的效果，临场考试中规范的尺规作图、角度测量与合理推断也可作为一种解题方法。

五、备考建议

带电粒子在有界匀强磁场中做圆周运动的临界极值问题，一直是考查科学思维的热点题型，对建立运动模型、科学推理、科学论证、几何作图、数理思想等能力素养有较高的要求。复习备考中要立足科学思维、注重数理结合思想，追求一题多解才能跳出题海。面对极值问题，运用物理规律科学推理转化问题是解题的重要环节；培养规范的尺规作图能力，储备常用的几何定理，判断几何关系、解决极值问题才能得心应手；临场考试中选择题审题时不忘分析选项，运用特殊值法、排除法等往往能快速得到正确答案。