体验中洞察临界问题的本质 实践中领会处理临界问题的方法

湖南 王经天 陈 康

临界问题贯穿整个高中物理，且临界问题没有统一的解法，老师苦恼，学生痛苦，总感觉临界问题无论做多少不同类型题还是会有新的临界题型出现。究其根本，临界之苦，苦在未洞察临界问题的本质。本文从洞察临界问题的本质入手，找到处理临界问题的方法，消除学生对临界问题的困惑。

一、洞察临界问题的本质一——位置的临界

1.过程体验领悟本质

【例1】(2015年全国卷Ⅰ第18题)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图1所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是

( )

图1

【解析】寻找临界位置：

乒乓球发射后运动的竖直位移相同，即运动时间相同，速度的临界值对应水平位移的临界位置。如图2所示，当发球机发射的乒乓球沿中线方向水平发射且恰好过球网时，乒乓球所对应的速度为乒乓球落到球网右侧台面上的最小速度vmin，此时M点即为乒乓球能过网的临界位置。

图2

如图3所示，当发球机发射的乒乓球沿ON方向水平发射且恰好击中N点时，乒乓球所对应的速度为乒乓球落到球网右侧台面上的最大速度vmax，此时N点即为乒乓球不出右侧台面的临界位置。

图3

求解临界速度：

2.形成结论构建模型

在限定质点所能达到的区域时，质点所能达到的区域和不能达到的区域的交界位置，即为“位置的临界”。

3.自主探究形成能力

图4

【解析】寻找临界位置：

原本打到P点的离子在加速电压改变后打到QN区域，对应的Q和N两点为临界位置。

求解临界电压：

对打到P点的离子分析可知

改变加速电压后对打到Q点的离子分析可知

改变加速电压后对打到N点的离子分析可知

r2=L⑨

二、洞察临界问题的本质二——力的临界

(一)力的临界之“静摩擦力”的临界

1.过程体验领悟本质

【例2】如图5所示，竖直细杆上套有一个质量为1 kg的小圆环，小圆环左侧系有一劲度系数为k=500 N/m的轻质弹簧，已知弹簧与竖直方向的夹角为θ=53°(sin53°=0.8，cos53°=0.6)，小圆环与细杆间的动摩擦因数为μ=0.75，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧一直处于弹性限度内，g取10 m/s2。

图5

(1)当弹簧的伸长量为多少时，小圆环和细杆间刚好无摩擦力；

(2)当弹簧的伸长量至少为多少时，小圆环才不会沿细杆下滑；

(3)试判断小圆环在弹簧的作用下是否可能沿细杆上滑。

【解析】明显可判此题为“静摩擦力”的临界

寻找静摩擦力的临界值：

临界值三 当弹簧对小圆环的弹力的竖直分量等于圆环的重力和最大静摩擦力之和，即kxcos53°=mg+μkxsin53°时，小圆环才会沿细杆上滑，而kxcos53°=μkxsin53°，所以kxcos53°=mg+μkxsin53°不可能成立，所以小圆环不可能沿细杆上滑。

2.形成结论构建模型

静摩擦力为被动力，物体受到的其他力会影响静摩擦力的大小和方向，静摩擦力的临界有可能是静摩擦力刚好为零，也可能是静摩擦力刚好达到最大静摩擦力。

3.自主探究形成能力

【自主探究2】如图6所示，水平转台上的小物体A和B通过轻弹簧连接，并随转台一起匀速转动，其质量分别为m、2m，A、B与转台的动摩擦因数均为μ，A、B离转台中心的距离分别为1.5r、r，已知弹簧的原长为1.5r，劲度系数为k，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是

( )

图6

【解析】寻找静摩擦力的临界状态：

静摩擦力刚好为零

静摩擦力刚好达最大静摩擦力

综上分析可得，BD选项正确。

【点评】此题是静摩擦力的临界，既考查了静摩擦力为零的临界状态，又考查了静摩擦力为最大值的临界状态，洞察临界问题的本质，求出对应的临界值，是解决临界问题的关键。

(二)力的临界之“支持力和压力”的临界

1.过程体验领悟本质

【例3】如图7所示，在光滑水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到水平向右的恒力FB=2 N，A受到的水平向右的变力FA=(9-2t) N，t的单位是s。从t=0开始计时，则

( )

B.t>4 s后，B物体做匀加速直线运动

C.t=4.5 s时，A物体的速度为零

D.t>4.5 s后，A、B的加速度方向相反

图7

【解析】寻找“支持力和压力”的临界状态：

对于A、B整体，根据牛顿第二定律有FA+FB=(mA+mB)a

设A、B间的作用力为F，则对于B，据牛顿第二定律可得F+FB=mBa

当t=4 s时F=0，A、B两物体开始分离，此时即为“支持力和压力”的临界状态

2.形成结论构建模型

两个接触且相互挤压的物体间有相互作用的支持力和压力，随着物体受力变化，在两物体即将发生分离的瞬间，两物体间的支持力和压力为零，此时即为“支持力和压力”临界。

3.自主探究形成能力

【自主探究3】如图8所示，空间有一垂直纸面向外的磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场，一质量为M=0.2 kg且足够长的绝缘木板静止在光滑水平面上，在木板右端无初速度地放上一质量为m=0.1 kg、电荷量q=+0.2 C的滑块，滑块和绝缘木板之间的动摩擦因数为μ=0.5，滑块受到的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。t=0时，对滑块施加水平向左、大小为0.6 N的恒力F，重力加速度g=10 m/s2。则

( )

图8

A.木板和滑块一直做加速度为2 m/s2的匀加速运动

B.滑块先做匀加速直线运动，再做加速度增大的变加速直线运动，最后做速度为10 m/s的匀速直线运动

C.木板先向左做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，再做加速度减小的变加速直线运动，最后做匀速直线运动

D.t=1 s时，滑块和木板开始发生相对滑动

【解析】寻找临界状态

临界状态一：静摩擦力的临界

在木板和滑块即将发生相对滑动的瞬间

对木板和滑块整体，根据牛顿第二定律有F=(M+m)a

解得a=2 m/s2①

对滑块，根据牛顿第二定律有F-μ(mg-qv1B)=ma

解得v1=2 m/s ②

临界状态二：“支持力和压力”的临界

当木板和滑块速度增加到v1=2 m/s后，滑块和木板发生相对滑动，随着滑块的速度增加，滑块和木板之间的弹力逐渐减小，滑动摩擦力也减小，滑块的加速度逐渐增大，木板的加速度逐渐减小，当滑块所受的洛伦兹力等于重力时，即mg=qv2B时，滑块和木板之间的弹力消失，木板在光滑地面上做匀速直线运动，此时滑块速度v2=10 m/s。当滑块速度达到v2=10 m/s，滑块脱离木板上表面做变加速曲线运动。C选项正确，B选项错误。

(三)力的临界之“拉力”的临界

1.过程体验领悟本质

【例4】如图9所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA=OB=AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是

( )

图9

【解析】寻找拉力的临界值：

临界值一OB绳拉力的最小值与AB绳拉力的最大值

2.形成结论构建模型

轻绳或轻杆拉着某个物体运动时，随着运动状态的变化，轻绳或轻杆对物体的拉力发生变化，当轻绳或轻杆的拉力刚好为零或达到最大值，此时即为“拉力”的临界。

3.自主探究形成能力

【自主探究4】如图10所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN-v2图像如图11所示。下列说法正确的是

( )

图10

图11

C.v2=c时，杆对小球弹力方向向上

D.若c=2b，杆对小球弹力大小为2a

【解析】寻找拉力的临界状态

【点评】本题既是“力”的临界，也是“速度”的临界，还是“位置”的临界。

三、洞察临界问题的本质三——“速度或加速度”的临界

1.过程体验领悟本质

(1)经多长时间AB整体相对地面开始滑动；

(2)经多长时间AB间发生相对滑动。

图12

【解析】寻找临界状态：

②B对A的最大静摩擦力FfBAmax=2μmg

2.形成结论构建模型

在变化外力的作用下，两物体以变化的相同的速度(加速度)运动，当变化的外力变化到某一个值，两物体间就会发生相对滑动，发生相对滑动瞬间的速度就是“临界”速度，发生相对滑动瞬间的加速度就是“临界”加速度。

3.自主探究形成能力

【自主探究5】如图13所示，三物体A、B、C均静止，轻绳两端分别与A、C两物体相连接且伸直，mA=3 kg，mB=2 kg，mC=1 kg，物体A、B、C间的动摩擦因数均为μ=0.1，地面光滑，轻绳与滑轮间的摩擦可忽略不计。若用力将B物体从AC间拉动出，则作用在B物体上水平向左的拉力F至少应大于(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10 m/s2)

( )

A.3 N B.5 N C.8 N D.9 N

图13

【解析】要将B物体从AC间拉动出，B既要相对A发生相对滑动，又要相对C发生相对滑动，A和C的加速度大小相等。

寻找临界状态：

临界问题的核心是洞察临界问题的本质。通过分析问题判断涉及的临界问题具体是“位置”的临界、“力”的临界还是“速度或加速度”的临界。如果是“位置”的临界，往往需要找到临界位置，画出经过临界位置的运动示意图，借助运动学规律求解；如果是“力”的临界，往往要找到力的最大值、最小值或为零的临界状态，借助力的平衡知识建立平衡方程进行求解或借助牛顿第二定律建立方程进行求解；如果是“速度或加速度”的临界，往往需要根据牛顿第二定律和运动学公式建立方程进行求解。在实际应用中“力”的临界和“速度或加速度”的临界有可能结合在一起，从不同的角度去看属于不同类型的临界，但对解决临界问题的方法并没有影响，依然是洞察临界问题的本质，抓住临界状态建立方程。