逐步增加定数截尾下Gompertz 分布的统计分析

李 琼, 武 东

(1. 徽商职业学院 电子信息系,合肥231201;2. 安徽农业大学 理学院,合肥230036)

0 引言

假设产品的寿命服从两参数Gompertz 分布,其分布函数和密度函数分别为:

式中:x通常为寿命, 不能为负值;θ ＞0 为尺度参数;β ∈R为形状参数。当β ＞0 时, 失效率函数λ(x) =θeβx为单调递增;当β ＜0 时,失效率函数λ(x)单调递减。

Gompertz 分布在可靠性与生存分析等领域有着广泛的应用, 周会会[1]研究了Gompertz 分布尺度参数的最优置信区间。Wu 等[2]研究了首次失效样本情形下Gompertz 分布的参数估计。Wu 等[3]研究了基于逐步增加定数截尾下Gompertz 分布的最大似然估计,并运用F分布构造了两参数的联合置信区间。Lenart[4]研究了Gompertz 分布的矩以及参数的最大似然估计。Sanku 等[5]研究了Gompertz分布的各种估计方法和统计性质。而关于Gompertz分布的推广主要有: 三参数指数型Gompertz 分布、逆Gompertz 分布、Alpha 幂Gompertz 分布、Unit-Gompertz 分布等[6-9]。关于Gompertz 分布在可靠性统计方面的研究, Ismial[10]研究了在定时截尾下Gompertz 分布场合部分加速寿命试验的最优设计。Saracoˇglu 等[11]研究了Gompertz 分布产品应力强度模型的最大似然估计和区间估计。王蓉华等[12]研究了TFR 模型Gompertz 分布场合多步步进应力加速寿命试验的最大似然估计。Essam[13]研究了逐步增加定数截尾情况下广义Gompertz 分布的某些寿命参数的估计。截至目前, 尚未有文献研究基于逐步增加定数截尾样本Gompertz 分布参数的逆矩估计,鉴于此,本文研究了逐步增加定数截尾样本下Gompertz 分布场合的逆矩估计,并提出一种参数联合置信区间的新方法,最后通过Monte Carlo 模拟和实例说明得出算法的有效性。

1 参数估计

假设有n个产品进行寿命试验,在第1 个失效时刻X1,从尚未失效的n-1 产品中随机选择R1个产品移离试验,在第2 个失效时刻X2,从尚未失效的n-2-R1个产品中随机选择R2个产品移离试验,如此直到第m个失效时刻Xm,所有尚未失效的个产品均移离试验,称为逐步增加定数截尾试验,得到的随机样本称为逐步增加定数截尾样本,当R1=R2=···=Rm-1= 0,Rm=n-m时退化为定数截尾寿命试验。

对于预先给定的移离部件数 (R1=r1,··· ,Rm-1=rm-1), 令X1＜X2＜··· ＜Xm表示来自两参数Gompertz 分布的逐步增加定数截尾样本。作以下变量变换:

式中:Y1＜Y2＜··· ＜Ym为来自标准指数分布的逐步增加定数截尾样本;i为失效时刻的次数。考虑下列变换:

Thomas 等[14]证明了Z1,Z2,··· ,Zm为独立同分布于标准指数分布。ri为第i次移离的部件数。

引理1[15]设Z1,Z2,··· ,Zm为来自标准指数分布的简单随机样本,令

引理2假设同上,记

则:

(1)h(β)服从自由度为2m-2 的χ2分布。

(2)h(β)在区间(-∞,∞)是关于β的严格增函数。

证明:

(2)由式(6)及引理1 知:

式中: eβ(Xi+1-Xi),··· ,eβ(Xm-Xi)为关于β的增函数; eβ(X1-Xi),··· ,eβ(Xi-1-Xi)为关于β的减函数。因此h(β) 在区间(-∞,∞) 为关于β的严格增函数。

(3) 类似于文献[16]中方程根的唯一性讨论,由上述h(β) 表达式容易得出从而由零点定理知对任意t ∈R,方程h(β)=t在(-∞,∞)有唯一根。

定理设X1＜X2＜··· ＜Xm是一个来自Gompertz 分布的逐步增加定数截尾样本,则:

(1)形状参数β的置信水平为(1-α)100%的置信区间为

(2)θ,β的置信水平为(1-α)100%的联合置信域由下面不等式确定:

证明因为h(β)是枢轴量且服从χ2(2m-2),由引理2 可得

式中,P为事件发生的概率。

因h(β) 和均为枢轴量且相互独立, 且于是

从而得证。

由上述讨论, 利用王炳兴[17]的逆矩估计方法可以推出Gompertz 分布参数的逆矩估计。由引理1知-2iln(Ti/Ti+1)(i= 1,2,··· ,m-1) 为准样本,因此β参数的逆矩估计ˆβ为

由引理2 知,式(10)存在唯一解。

同样地,Z1,Z2,··· ,Zm为来自标准指数分布的准样本,因此θ参数的逆矩估计由下式确定:

2 Monte Carlo 模拟

以上讨论了逐步增加定数截尾下Gompertz 分布的点估计和区间估计,按以下Monte Carlo 方法可得Gompertz 分布场合逐步增加定数截尾样本的随机数,具体步骤[18]如下:

(1)从标准指数分布产生m个相互独立的随机数Z1,Z2,··· ,Zm;

(2)令

式中:i= 1,2,··· ,m;Y1,Y2,··· ,Ym为逐步增加定数截尾下标准指数分布样本;n为试验的产品总个数;R1,R2,··· ,Rm-1为依次从试验中移离的产品个数。

(3)最后,令

式中:X1,X2,··· ,Xm为来自Gompertz 分布的逐步增加定数截尾样本。

为了考察逆矩估计的精度,取Gompertz 分布参数θ= 1.5,β= 3, 从该分布产生m个逐步增加定数截尾样本x1,x2,··· ,xm。每种试验方案产生100组模拟样本并且计算逆矩估计的相对偏差与均方误差,具体试验安排与估计结果如表1 所示。

表1 为逐步增加定数截尾下Gompertz 分布的试验方案和估计结果,由估计的相对偏差(RBias)和相对均方误差(RMSE)可以看出,逆矩估计的精度较高,说明该估计有效。

表1 逐步增加定数截尾下Gompertz 分布的试验方案与估计结果Tab.1 Test scheme and estimate results of Gompertz distribution under progressive type II censoring

3 实例研究

例1利用Wu 等[3]给出的无瘤时间的逐步增加定数截尾样本证实本文所提方法, 令n= 30,m= 16, 具体试验方案与观测数据如表2 所示。

表2 基于无瘤时间的逐步增加定数截尾样本Tab.2 Progressive type II censored sample based on the tumor-free data

利用式(10)、(11) 分别得到参数θ和β的逆矩估计分别为= 0.0511 和= 0.00023。为了得到的95% 置信区间, 需要2 个分位数:(30) = 46.9792 和(30) = 16.7908。利用定理得到β的95%置信区间为(0.0459,0.1458),该结果跟文献[3]比较接近,说明了方法的可行性。

进一步, 为获得θ和β的95% 联合置信区间,需要分位数:(30) = 27.2180,(30) =31.5615,(32) = 29.1448 和(32) =33.6343,θ和β的95%联合置信区间由下列不等式确定: