2020年昆明市初中数学学业水平考试试题分析与评价

王学先 吴禹杰

一、试卷的总体情况

2020年昆明市初中数学学业水平考试试题功能性明确，坚持能力立意的命题原则，试题注重对学生数学“核心素养”的考查，渗透数学文化，强调通性通法，重视数学知识的灵活应用，体现了数学的科学价值和理性价值.题目设计朴实巧妙，重点关注数学知识的应用，涉及了学生生活中许多热点问题，在全面考查课程标准规定的义务教育阶段的数学核心内容、核心知识的基础上，注重对基础知识、基本能力和基本思想方法的考查，关注对数学活动过程和活动经验的考查，加强了探究性问题的设计与应用，重视思想方法的体现和综合能力的运用.

2020年昆明市初中数学学业水平考试试题与往年相比，区别在创新幅度大，如第6题考查数字规律;第9题考查计算器的使用及实数大小的估计;第14题考查推理与操作;第19题考查函数图象与实际问题;第20题考查尺规作图;第21题引入了数学文化与实际问题;第23题是以折叠为背景的几何综合探究问题，主要考查了利用矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理的性质，综合考查了学生的数学素养.整套试题体现“把握基础、稳中求变、变中有新、关注应用、突出能力”的命题特点，有利于高级中学选拔优秀人才，有利于引导中学数学教学.

二、试卷的内容分布情况

昆明市初中数学学业水平考试试题内容比例

如上表，试题覆盖面广，考查到数与代数、图形与几何、统计与概率三个领域的内容分值分别是53分、49分和18分，占比约为44%、41%和15%.这与整个初中阶段数学知识在三个领域的课时比例吻合度极高，如解答题中没有对实数运算、平移旋转轴对称作图题进行独立设题考查;引入了数学文化试题并与数学知识考查结合紧密（第5题）;对二次函数的考查要求也相对较低（第22题）;解直角三角形知識注重对学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的考查（第21题）;压轴题以教材中的数学活动为素材，以四边形为背景，体现了很强的探究性（第23题）.

三、试题评价与分析

1.考查能力的要求

知识技能：能熟练掌握基础知识，能准确、清晰地把握各个知识点之间的联系，注重知识之间的灵活应用（如第14、23题）.

数学思考：能运用相关数学知识、对具体问题中的关系、变化规律有积极的思考，并及时给出相关解决方法和策略，对相应问题进行探究，给出合理的解释（如第20、23题）.

问题解决：会运用已有的知识经验，解决新情境中的数学问题（如第19、21题）.

情感态度：对于来自生活的、科技及社会领域中的简单实际问题，能灵活运用基本的数学模型，熟练使用有关方法解决相关问题.同时，在阅读材料中了解我国国情，增强爱国意识和民族自豪感（如第9、19、21题）.

2.知识覆盖率：87%左右

（1）数与代数：考点70个左右

涉及考点数量：64个.其中未涉及的考点有6个：①运用有理数解决简单问题;②无理数、实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系;③乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的推导;④乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2的几何背景;⑤一次函数与二元一次方程的关系;⑥二次函数的实际应用.

（2）图形与几何：考点105个左右

涉及考点数量：89个.其中未涉及的考点有16个：①两点之间线段最短;②角的单位换算;③过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线;④平行于同一条直线的两条直线平行;⑤三角形的稳定性;⑥四边形的不稳定性;⑦等圆、等弧;⑧圆锥的侧面积和全面积;⑨反证法;⑩认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形; [1][1]平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等; [1][2]认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用; [1][3]黄金分割; [1][4]直棱柱、圆锥的侧面展开图; [1][5]基本几何体与其三视图、展开图在现实生活中的应用; [1][6]建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.

（3）统计与概率：考点20个左右

涉及考点数量：16个.其中未涉及的考点有4个：①扇形统计图;②平均数的意义;③通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势;④知道通过大量的重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值.

（4）综合与实践：考点5个左右

3.核心知识点覆盖率：92.7%左右

《云南省初中学业水平标准与考试说明》的层次有四个知识技能要求，分别是了解、理解、掌握、运用;过程性要求有三个分别是：经历、体验、探索.其中知识技能要求理解、掌握的知识点总计110个，考查到的为102个，占比92.7%左右（分布如下图），未涉及的考点有以下几个：①二次函数的实际应用;②过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线;③直角三角形的判定;④圆锥的侧面积和全面积;⑤利用基本作图方法作三角形;⑥扇形统计图;⑦建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置;⑧两点之间线段最短.

4.难易程度、区分度、梯度的设计

试题难度按照《云南省初中学业水平标准与考试说明》要求进行设置.

5.亮点解读

（1）源于教材，回归生活

试卷中的第23题由《数学》人教版八年级下册第64页数学活动中的活动1改编而来.通过折纸的过程，引发学生思考，并研究折痕所在的位置不同，寻求新的探究方向，从而得到一些源于教材，却升华教材的活动体验.

试卷中的第5题由《数学》人教版九年级上册第108页综合运用第5题改编而来.通过求一个正六边形螺帽拧动后扳手尾部所走过的路径长，充分考查了圆与正多边形的知识（基础知识），旋转的作图（基本技能）、旋转路径对学生空间想象力的培养（基本思想），以及生活中扳手的正确使用方法（基本活动经验）.

（2）重动手，善用数学工具

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确指出要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，注重实效.如第9题考查学生用计算器计算特殊三角函数值，引导学生正确使用计算器;第20题看似简单，但认真做下来学生却发现其涵盖知识点丰富，注重考查动手能力，还考查了尺规作图、几何演绎推理、一题多解、运算能力等.

（3）阅读新闻热点，构建数学模型，增强民族自豪感

试卷中第21题讲述了中国登山队用中国科技定义世界新高度——时隔60年再次测量珠峰高度的新闻.通过对测量方法的介绍，给出实际生活中的例子，从中抽取数学模型，并用阅读得到的信息，进行加工处理，从而得到正确解答.这个解答的过程不但有助于培养学生初步形成模型思想，还能进一步激发学生的学习兴趣和民族自豪感，提高学生的应用意识.

（4）网格作图似有限，探究创新真无限

试卷中第14题要求学生在一个有限的6×6网格中作相似三角形.三角形较特殊，为等腰三角形.这道题，首先看似有限地考查了学生的画图能力，可细看会发现，较容易画出的图形只有4个，实则6个，看似简约却不简单.教师应该反思，剩下的2个图形在哪里？应该怎么画？原理是什么？把网格扩大，还会有几个？是否可以把等腰三角形换成等边三角形、直角三角形……我们应该如何引导学生去做此类题？这些问题都是值得教师深入探究的.

四、教学建议和教学策略探索

云南省初中学业水平考试命题要求设置易、中、难题目分值比例为7∶2∶1.也就是说初中学业水平考试数学学科有分值为70%的题目是基础题，20%的题目是中等题，10%的题目是较难题.在数学课堂教学中，教师要面向全体学生，踏实做好基础知识的教学工作，切实抓好基本概念、基本性质、基本技能和基本思想方法的教学工作.在这里笔者特别提出如下建议.

（一）重视基础知识、基本技能的教学

“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”目标的载体.学生应全面掌握数学知识点.在2021年起取消学业水平考试说明后，中考数学更要全面考核学生对数学基础知识和基本技能的理解和掌握程度，所以建议教师教学时要注重概念教学，注意数学与生活的联系，运用数学分析解决生活中的问题，特别是引导学生多关注生活中的数学问题，注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联，重视夯实学生的基础知识和基本技能.在基本技能的教学中，教师不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理.同时，也建议学生要做好笔记累积，定时回头复习，不留知识缺陷.

（二）落实课程标准的能力要求，强化数学问题过程方法的教学

从今年昆明市初中学业水平考试试题来看，有些题目特别注重对学生探究能力的考查，对学生“作图、读图、用图”的能力有更高的要求.教师在重视对学生基础知识、基本技能和常用的数学思想方法培养的同时，要更加关注对学生一般能力和数学能力的培养.从命题的趋势看，试题不仅考查了观察、分析、归纳、类比，以及算法算理、推理证明等能力，还强化考查了学生的创新意识和创新能力.因此，教师要重视对数学知识形成过程的教学，尤其要注重对学生探索性思维能力和创新意识的培养，提高知识迁移能力、综合运用能力，积累数学活动经验.在中考数学命题中，区分度大的题目往往综合性较强，需要考生在充分掌握各类基础知识的前提下，灵活运用多个知识点和多种方法解决数学问题.教学中，教师要引导学生自主学习，注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生、发展过程，体验各种数学活动过程的结果，注重学生动手能力的培养.所以，教师在教学过程中要强化数学问题过程方法的教学.

（三）尊重学生的学习风格，让数学核心素养落地

教学中，教师应努力给学生创造多元、开放，适合探索、思考和表现自己的机会和空间，所设计的问题应关注学生各自的数学认知心理特征，关注学生已有的数学经验，尊重各种不同的解答问题的方法，尊重学生的意见和表达方式，鼓励学生的创新欲望.在此基础上，以学科核心素养为统领，核心内容为载体，思想方法为主线，能力培养为目的，将核心素养落实在学科教学中是关键，也是一项长期而艰巨的任务.发现问题、提出问题、分析问题和解决问题是培养学生核心素养的关键.教师需要“提出好问题”和“提好每个问题”，通过问题引导教学落实学生的核心素养，以教学设计为切入点，以单元（板块）为整体，从学科核心内容出发，用能突出学科核心素养的几个大问题（或活动、材料等）贯穿整个单元（板块）的教学，形成总体呈上坡态势的“大问题串”.教师再针对每个大问题，用若干个小问题逐步启发学生思考，形成总体呈下坡态势的“小问题串”，以保持思考力水平不下降，让学生经历数学学习的过程，找到数学学习的方法，悟到数学的思想，并使其内化成一种数学的智慧.

（四）教学策略探索

例1 （2020年·昆明市·15）计算：12021-+（π-3.14）0-（-）-1.

分析：本題综合了1的奇数次幂、立方根、零指数、负整数指数，以及有理数的运算方面的知识.教材中尽管没有出现过这样的题目原型（将该题目分解几个小部分后，在教材中就可以找到原型），但在以前的学业水平考试试卷和考试说明中此类题目随处可见.在备考复习时，教师可以将知识分成求绝对值、乘方运算、求算术平方根、负整数指数幂的运算等部分专题训练学生，尤其要让学困生做到过关.教师要做到面批面改，及时辅导.同时，教师也可以充分借助小组互助的形式，让一些学习好的学生辅导学习较差的学生，让学生建立错题本，及时纠正错误.教师要重点讲解学生犯的典型错误，讲解后要及时检测学生的学习效果，这需要教师能够针对性出题，以达到学生准确快速计算的效果，增强学生的成功体验.这需要教师构建以学定教，以学生为主体，以教师为主导，以训练为主线的高效课堂.

例2 （2020年·昆明市·16）如图，AC是∠BAE的平分线，点D是线段AC上的一点，∠C=∠E，AB=AD.

求证：BC=DE.

分析：教师在复习“三角形全等的性质和判定”时，可以用“一题一课”的方式进行教学设计，利用一个背景将这部分知识贯穿其中，设计一题多解、多解一题、开放问题、变式问题等，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的实质中探求“变”的规律.深刻地讲透一道题，可以教学生学会从多角度思考问题，灵活地找到问题的突破口，由一题横纵联系各章节的知识与方法，完善知识方法体系，达到“知一题会一类”的效果，使知识生成合理自然，达到找准核心，回归本质，形成逻辑链的目标.如本题可用“AAS”或“ASA”证明.教师可以通过变换条件将本题设计为利用“SAS”“SSS”，以及“HL”进行证明的试题，还可以利用平移、旋转等变换，将试题求解结论跟图形的位置、数量建立联系，从而综合复习三角形的相关知识，形成知识间的横纵联系.

五、需要进一步商榷的问题

1.同类题型设计不尽合理，如选择题中第8、10、13题，每个题四个选项均代表了不同的知识点，属于多结论问题，增加了学生的思考时间，出现用时过长的状况.

2.个别选择题选项设置不合理，第14题是操作探索题，能找出6种情况实属不易，但有一个选项为“7种”，让找对结果的优秀学生不放心所做的结果，继续思考，不敢轻易作答.此题选项设置不利于优秀学生的选拔，从考试结果看也体现效度太差.

3.整卷试卷运算量较大，如第12、14、21、22、23题，出现一部分考生没完成答卷的情况.

◇责任编辑 邱 艳◇