一道高考试题的启示

朱建

数学核心素养是一个高度抽象的思维产物.数学核心素养的培养不能脱离具体的数学知识与方法，需要在数学知识的学习过程中，数学思想方法的掌握过程中，通过逐步积累、领悟、内省形成.也就是说，学生数学核心素养的培养和提升离不开教师的合理引导.教师“教什么”“怎么教”，很大程度上影响着学生将具备怎样的数学素养.近几年高考数学试题的特点是新颖灵活，基本没有偏题怪题，具有选拔性，深入研究可有效提升学生的数学核心素养.比如2013年高考数学理科全国卷Ш第21题，满分12分，学生得分情况：全省0.01%的学生得了12分;0.01%的学生得了11分;0.02%的学生得了10分;第（1）问5分，得5分的学生为23.67%;最低分0分;平均分2.53分.

原题呈现：已知函数f（x）=ex-ln（x+m），

（1）设x=0是f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性;

（2）当m≤2时，证明f（x）>0.

第（1）问，由极值点求出m的值为1，进而研究函数f（x）=ex-ln（x+1）的单调性，大多数学生在思维上没太大问题，只是部分学生在求导计算的时候出了问题.第（2）问是本题，也是整张试卷的一个难点，得分率不高，但仍有部分学生在紧张而激烈的竞争中使用恰当的方法给出了正确的解答.现在，我们跟着这些学生的思路回顾一下当时的场景，希望他们的思维过程可以给我们的教学一些启发.

解法一：

m≤2，x∈（-m，+∞）时，ln（x+m）≤ln（x+2），

故只需证明当m=2时，f（x）>0.

当m=2时，函数f ′（x）=ex-在（-2，+∞）单调递增.

又f ′（-1）<0，f ′（0）>0，

故f ′（x）=0在（-2，+∞）有唯一实根x，

且x∈（-1，0），当x∈（-2，x）时，f ′（x）<0;

当x∈（x，+∞）时，f ′（x）>0，

从而当x=x时，f（x）取得最小值.

由f ′（x）=0得ex0=，ln（x+2）=-x，

故f（x）≥f（x）=+x=>0.

综上，当m≤2时，f（x）>0.

这种解法的巧妙之处是利用不等式的性质，采用放缩法证明ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2）>0即可.想到了这一点问题就得以解决了，但是如何想到只需证明m=2呢？

证明ex-ln（x+m）>0即ex>ln（x+m），学生便会想起画图，利用图形的直观性来解决问题.学生容易画出y=ex的图象，而y=ln（x+m）是由y=lnx向左或者向右平移得到的.

当m≤0时，y=ln（x+m）由y=lnx向右平移|m|个单位得到，从图中可以看出y=lnx向右平移都满足y>y，而当m>0时，y=ln（x+m）由y=lnx向左平移m个单位得到.从下图中可以看出y=lnx在平移过程中，首先是满足y>y的，但有可能出現y=ln（x+m）的图象在y=ex的上方，主要由m的值决定，但m≤2，若m=2成立，则y>y必然成立，所以想到了证明：ex-ln（x+2）>0.

解题反思：回顾解法一，主要综合利用数形结合的思想、放缩法、函数导数的相关知识，将问题解决.从中可以看出新课标的试题已不是简单的知识应用，更多的是考查数学核心素养.试题以某个知识点为载体呈现，既考查了知识点，又对学生数学核心素养进行考查.思想方法是数学学习的灵魂，其实也是最高境界，又是数学的真谛.知识点、运算只是能力考查的一个躯壳.这与新课标提出的理念“对某个知识点的学习是螺旋式上升，逐步达到考查的要求”是相符的.我们的教学也应该尊重科学，尊重课标，尊重考高，有的放矢，少走弯路，不能仅凭经验来教学.高分再也不是狂练题可以得到的，教师必须在教授各块知识时，提高到思想方法的层面，站在一定的理论高度上，以不变应试题的万变，用思想方法来指导解题.

解法二：

f（x）=ex-ln（x+m）定义域为（-m，+∞），

f ′（x）=ex-，

f ′（x）在（-m，+∞）单调递增.

当x→-m时，f ′（x）<0;

当x→+∞时，f ′（x）>0且f ′（x）在（-m，+∞）连续，

故存在x使得f ′（x）=0，则e-=0.

当x∈（m，x）时，f ′（x）<0，

当x∈（x，+∞）时，f ′（x）>0，

从而当x=x时，f（x）取得最小值.

由f ′（x）=0得e=，ln（x+m）=-x，

f（x）=f（x）=e-ln（x+m）

=-lne

=+x

=+（x+m）-m.

∵x+m>0，

∴f（x）≥2-m，当且仅当=x+m时等号成立;x+m=±1而x+m>0.

∴x+m=1.

此时e-ln（x+m）=2-m，

e=2-m，

e=x+1当x=0时成立，此时m=1.

而m≤2，f（x）≥2-m≥0，此时等号成立m=2，

不能同时满足两个地方等号成立，

∴f（x）>0，

综上，当m≤2时，f（x）>0.

解题反思：第二种解法与第一种相比较，追求的是通性通法，不追求技巧，只要计算能力达到要求都能解决问题.按照许多人思考问题的过程，逐步解决问题，在解决问题的过程中不断发现问题，最后利用函数的性质、不等式的知识将问题解决.从求解的过程可以看出：知识点的交汇处是出题的着眼点，也是考查的重点.如何将几个看似不相关的问题联系在一起，需要学生有较好的迁移能力.这也就要求教师在平时的教学中不能死板，不可模式化地教授数学知识.教师要注重培养学生的数学应用意识，力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学建模意识，提高实践能力.

解法三：

当m≤2时，f（x）的定义域x∈（-m，+∞）.

令g（x）=ex-（x+1），

h（x）=ln（x+m）-（x+1），

g ′（x）=ex-1.

令g′（x）=0，则x=0

∴g（x）在（-m，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增.

∴g（x）=g（0）=0，

∴g（x）≥0即ex≥（x+1）当x=0时等号成立.

h′（x）=-1=，

令h′（x）=0则x=1-m.

∴h（x）在（-m，1-m）单调递增，在（1-m，+∞）单调递减.

∴h（x）=h（1-m）=m-2≤0.

当m=2时等号成立，此时x=1-m=-1.

∴h（x）<0即ln（x+m）≤（x+1）.

∴ex≥ln（x+m）而两个式子等号成立的条件不一样，故不能取等号.

∴ex>ln（x+m）

综上，当m≤2时，f（x）>0.

解题反思：第三种解法巧妙地选择第三个函数作为中间量，让难以比较大小的两个函数都与第三个函数进行比较，进而得到我们要的结论.其实第三种方法与第一种方法如出一辙，第一种方法是进行数值的放缩，而第三种方法是函数的放缩.试题表面上考的是函数，其实函数所涉及的知识并不是很难，主要是考查不等式的证明及数学的思想方法.

从三种解法中可以看出，此题要求学生不仅要有过硬的计算能力，还要掌握良好的思想方法.学知识不能靠死记硬背，不能拘泥于形式，要打破常规，重组知识，关注知识点的交汇.不同学科的知识、同学科不同块的知识之间，需要我们用思想方法将他们串联起来.我们应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人們在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这些过程是数学思维能力的具体体现，也是数学核心素养的具体表现，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模型进行思考和作出判断.新课改之下，学生要取得优异的成绩，靠题海战术已经不能达到目的，必须具备良好的学科核心素养.教师的教学也应该尊重科学，尊重课标，尊重考高，有的放矢，少走弯路，不能只凭经验.

基于数学核心素养的数学教学，要求教师要更新观念，培养并提升核心素养，不能依赖模仿、记忆，更需要理解、感悟，需要主动、自觉，将以学生为本的理念与教学实际有机结合.

◇责任编辑 邱 艳◇