边界条件对箱梁剪力滞效应的影响

段燕娥,张元海

(兰州交通大学 土木工程学院,兰州 730070)

0 引言

箱梁具有诸多优点而被广泛应用于桥梁设计中,对其弯曲力学性能研究的文献已有很多[1-2],并且很多学者都致力于对其剪力滞效应的研究.剪力滞效应是由于翼缘板的面内剪切变形引起的应力非均匀分布现象[3-4].分析剪力滞效应的方法主要有能量变分法和有限元法.选取合适的剪滞翘曲位移函数是能量变分法中极其重要的环节,其中Reissner[5]假设剪滞翘曲位移函数的形式为二次抛物线.张元海[6]从剪力滞受力特点出发,推导出了合理翘曲位移函数的具体表达形式.肖军[7]通过对剪力滞控制微分方程通解特点的分析,构造出剪力滞解析方程.近年来,对剪滞翘曲位移函数研究的文献已有很多,但尚未得到统一[8-11].为使轴向平衡条件得到满足,倪元增[12]提出了对剪滞翘曲位移函数进行修正的方法.蔺鹏臻[13]从剪力流的分布规律出发,在箱梁各板件的翘曲位移函数中引入修正系数,并考虑了翘曲正应力在箱梁横截面上不合成轴力和弯矩.关于剪力滞翘曲位移函数的修正方式的问题,各个学者的观点也各有差异[14-16].若将箱梁的广义位移选取为最大剪切转角差[17-18]时,此广义位移虽精度高但不具有明确的物理意义.诸多学者[19-20]将箱梁的广义位移选取为新型广义位移,即剪力滞效应引起的附加挠度,此广义位移物理意义明确,便于工程人员应用.但其中边界条件对剪力滞效应的影响的文献却少之又少.

本文将箱梁的广义位移选取为新型广义位移,应用能量变分法建立剪力滞效应分析理论，导出剪力滞系数和附加挠度的解析解,由此来揭示跨中集中荷载作用下边界条件对剪力滞效应的影响.

1 剪力滞翘曲变形状态分析

图1为竖向分布荷载p(z)作用下的受力简图.横截面上任一位置的纵向翘曲位移uω(x,y,z)的表达式为

uω(x,y,z)=-ω(x,y)f′(z),

(1)

式中:f(z)为剪力滞效应产生的附加挠度;-f′(z)为附加挠曲转角;ω(x,y)为翘曲位移函数,即

ω(x,y)=y-ηωζ(x,y),

(2)

式中:η为修正系数;ωζ(x,y)为剪力滞翘曲位移函数.

(a) 坐标系及荷载

(b) 横截图图1 箱梁截面简图

从图1中可以看出,b1为顶板宽度的1/2;b2为底板宽度的1/2;b3为悬臂板宽度;ys、yx分别为x轴至顶板、底板中面的距离.

本文选取如下形式的剪力滞翘曲位移函数:

(3)

在式(3)中,d是为了使箱梁横截面上的正应力满足轴向平衡的条件.

横截面上任一点的剪力滞翘曲应力可表达为

σω=-Eωf′′，

(4)

式中:E为弹性模量.

由剪力滞翘曲应力σω在面内不合成轴力和弯矩可知

(5)

(6)

将式(4)分别代入式(5～6),得

(7)

(8)

为了表述方便,将箱梁横截面面积、顶板截面面积、悬臂板截面面积和底板截面面积分别用A、At、Ac以及Ab表示.将式(3)代入式(7),可得

(9)

横截面上任一位置的广义力矩Mω定义为

Mω=-EIωf″

(10)

Iω=η2Iζ-Ix,

(11)

剪力滞翘曲应力σω的表达式为

(12)

箱梁截面任一点处的剪力滞系数λ可表达为

(13)

2 控制微分方程及边界条件

箱梁总势能的一阶变分为

(14)

式中:Aζ为剪力滞翘曲面积;G为剪切模量.

令δΠ=0,则剪力滞的控制微分方程可改写为

(15)

式中:k可称为Reissner参数.

(16)

方程(15)的通解为

f=C1+C2z+C3shkz+C4chkz.

(17)

(18)

(19)

(20)

Qω=Qω0.

(21)

由箱梁左右两端的边界条件来解出式(18)～(21)中的4个初参数.当箱梁跨内不作用任何荷载时可用式(18)～(21)来求解,若作用集中荷载时,则式(18)变为

(22)

求解上述4个初参数时的边界条件为:

1) 对于固定端:f=0,f′=0;

2) 对于简支端:f=0,f′′=0;

3) 对于自由端:f′′=0,f′′′-k2f′=0.

3 附加挠度及剪力滞系数的求解

如图2所示,当集中荷载P作用在简支梁跨中位置时,由f0=0,Mω0=0,可将式(22)变为

(23)

图2 两端简支箱梁示意图

(24)

(25)

(26)

如图3所示,当集中荷载P作用在左端简支右端固定箱梁跨中位置时,由f0=0,Mω0=0,可将式(22)变为式(23).

图3 左端简支右端固定箱梁示意图

当z≤l/2时

(27)

(28)

(29)

当z>l/2时

(30)

Mω=

(31)

(32)

(33)

图4 两端固定箱梁示意图

初参数Mω0和Qω0由箱梁右端的边界条件解出(即z=l时,f=f′=0),最后可得两端固定箱梁左半跨的附加挠度、广义力矩及剪力滞系数的计算公式(式中z≤l/2)如下:

(34)

(35)

(36)

式中:Γ=-klchkl-kr+krchkl-shkr+chklshkr+klchkr+shkl-shklchkr;Λ=klshkl-krshkl-shklshkr+1-chkr-chkl+chklchkr.

4 算例分析

选取计算跨度为40 m的砼箱梁,截面尺寸见图5,材料弹性模量为3.4×104MPa,跨中作用竖向集中荷载P=500 kN.

图5 箱梁模型(单位:m)

为了便于表达,本文用“SS箱梁”表示简支箱梁,用“SF箱梁”表示左端简支右端固定箱梁,用“FF箱梁”表示两端固定箱梁.按本文方法计算得到不同边界条件下跨中截面计算点的剪力滞系数λ.利用Ansys软件对该箱梁模型进行有限元数值分析,模型采用shell63单元,共划分32 153个节点、32 000个单元.为了减小应力集中影响,故将荷载施加在两腹板节点处,计算得到相应点的剪力滞系数,各个关键点的编号见图5,分析结果见表1.

表1 关键点处的λ比较

由表1可得,本文解与Ansys解总体上吻合,进而验证了本文方法的正确性.

由表1的本文解可以看出,SS箱梁在任一关键点处的剪力滞系数最大,FF箱梁在任一关键点处的剪力滞系数最小,SF箱梁介于二者之间.关键点2处和5处的剪力滞系数在3种边界条件下都大于1,为正剪力滞.

为了进一步验证本文方法的正确性,以上述箱梁模型为例,保持截面尺寸、荷载及跨度不变,只变化边界条件,根据本文推导出的公式,求出箱梁跨中截面在不同边界条件下的剪力滞系数λ值和附加挠度f值.绘制出跨中截面λ沿横向分布的曲线和f沿纵向分布的曲线,见图6～7,并将截面计算点的λ分别列于表2～3.

附加挠度由图6可知,3种边界条件下λ的峰值均在关键点2处和5处.SS箱梁的λ沿横向分布的曲线较平缓,FF箱梁的λ沿横向分布的曲线较陡峭,SF箱梁的λ沿横向分布的曲线介于二者之间.从而可知,随着边界约束的增大,剪力滞系数沿横向分布的曲线明显陡峭.

(a) 顶板和悬板

(b) 底板图6 λ沿横向分布曲线

图7 附加挠度f沿纵向分布曲线

由图7可知:3种边界条件下f的峰值均在跨中位置;SS箱梁的f最大,FF箱梁的f最小,SF箱梁的f介于二者之间.从而可知,随着边界约束的增大,附加挠度沿纵向分布的曲线明显平缓.

由表2可知:相比于SS箱梁,SF箱梁和FF箱梁在1处的λ值分别减小了10.93%和18.22%;2处的λ值分别增大了7.23%和12.04%;3处的λ值分别减小了12.00%和19.99%;4处的λ值分别减小了15.08%和25.13%;5处的λ值分别增大了8.02%和13.37%.

表2 关键点处的λ比较

表3 跨中位置f对比

由表3可知,相比于SS箱梁,SF箱梁和FF箱梁跨中截面的f值分别减小了4.27%和8.21%.

5 结论

1) 本文基于新型广义位移,运用能量变分法建立剪力滞效应分析理论,推导出箱梁在3种不同边界条件下的剪力滞系数和附加挠度,由算例分析可得到,本文解与Ansys解总体上吻合,从而说明了本文方法的正确性.

2) 随着边界约束的增大,剪力滞系数沿横向分布的曲线明显陡峭，相比于SS箱梁,SF箱梁和FF箱梁在顶板中点处的剪力滞系数分别减小了10.93%和18.22%.

3) 随着边界约束的增大,附加挠度沿纵向分布的曲线明显平缓,相比于SS箱梁,SF箱梁和FF箱梁跨中截面附加挠度分别减小了4.27%和8.21%.