钢管桁架梁拱组合体系桥成桥索力优化

程 涛,丁南宏,廖伟华

(1.兰州交通大学 土木工程学院, 甘肃 兰州 730070;2.上海市政工程设计研究总院(集团)有限公司, 上海 200092)

0 引言

近年来,简支梁拱组合体系桥[1-2]由于其优美的造型、良好的受力性能已成为国内外中小跨径桥梁中十分受欢迎的桥型之一[3].梁拱组合桥的设计过程通常以合理的成桥状态为目标,即成桥时主梁、拱肋线形平顺优美,内力分布均匀合理[4].因此在确定结构体系以及恒载分布的前提下,如何确定一组最为符合设计目标的成桥索力显得尤为重要.

对于索力优化,学者们做了较多的研究,肖汝成[5-6]等在很早就实现了将影响矩阵法引入斜拉桥索力优化的程序化计算.熊学玉[7]等运用最小余能原理建立了通过更换吊杆来改善系杆拱桥的内力与线型的理论与方法.卢家森[8]基于Midas中的未知荷载系数法,确定了多桅杆斜拉结构的初步索力值,并给出了考虑荷载长、短期效应及拉索动力性能的设计公式,通过进一步优化计算最终确定了合理的索力值.王祥国[9]等将影响矩阵法引入系杆拱桥,建立了以优化前后吊杆成桥索力差值向量二范数平方的最小值为目标函数的优化模型,减少了施工阶段的吊杆张拉次数,达到了良好的效果.以上研究较好的对成桥索力进行了优化,但由于桥梁结构与优化策略的独特性、优化方法的局限性、施工工序的创新性,使得对于最优的成桥索力的确定并未有统一的标准,所以每一种优化方法都有其一定的适用范围.本文以一下承式单索面钢管桁架梁拱组合体系桥为背景,基于有约束的最小能量法,以主梁及拱肋的应变能为目标函数,建立适用于该桥结构体系特点的约束条件,通过建立优化模型得到优化后的成桥吊杆力,并与设计值进行对比,探讨该方法对于桁架式梁拱组合体系桥索力优化的适用性.

1 优化模型建立

对于指定受力状态的优化方法以及无约束优化法而言,如若不添加任何约束条件,其优化后的结果并不一定满足所期望的结构受力状态,仍需进行整体以及局部调整.故而对于最终成桥索力的确定,可以基于数学优化方法将索力优化问题转化为一数学模型进行求解[10].

1.1 优化目标函数

最优问题就是求解目标函数的极值问题[11].对于目标函数的选择,应以所选桥型的结构特点为依据.本文所选桥型为典型的刚性主梁柔性拱桥[13],其主梁自重通过设置预拱度来平衡,拱肋承受二期恒荷载,所以主梁的弯矩、轴力对结构应变能的贡献起主导作用,拱肋的内力则起控制作用.鉴于此,则以拱肋与主梁的弯曲、拉压应变能之和为目标函数,其表达式可写为

(1)

假定主梁、拱肋单元为等截面,材料弹性模量、截面面积、惯性矩均沿单元长度不变,各单元的弯矩以及轴力延单元长度线性变化,则第i个单元的内力表示为

(2)

式中:MLi、MRi分别为第i个单元左端、右端的弯矩;NLi、NRi分别为单元左右两端的轴力;E为单元弹性模量;I为截面惯性矩.

式(2)代入式(1)中,目标函数可表示为

(3)

截面内力用矩阵的形式可以表示为

{ML}={ML0}+[MLA]{T} {MR}={MR0}+[MRA]{T},

{NL}={NL0}+[NLA]{T},

{NR}={NR0}+[NRA]{T},

(4)

式中:{ML0}、{MR0}、{NL0}、{NR0}分别为结构在恒载作用下单元左右两端的弯矩以及轴力列阵;{MLA}、{MRA}、{NLA}、{NRA}分别为单位吊杆力作用下单元两端的弯矩、轴力影响矩阵;{ML}、{MR}、{NL}、{NR}则为成桥时单元两端的内力列阵.将(4)式代入(3)式,做一定的变换有

U={T}T[G]{T}+{F}{T}+D,

(5)

式中:

[G]=[MLA]T[B][MLA]+[MLA]T[B][MRA]+

[MRA]T[B][MRA]+[NLA]T[C][NLA]+

[NLA]T[B][NRA]+[NRA]T[C][NRA],

(6)

[F]=2{ML0}T[B][MLA]+{ML0}T[B][MRA]+

2{NL0}T[C][NLA]+{NL0}T[C][NRA]+

{NR0}T[C][NLA]+2{NR0}T[C][NRA],

(7)

D={ML0}T[B][ML0]+{ML0}T[B][MR0]+ {MR0}T[B][MR0]+{NL0}T[B][ML0]+

{NL0}T[C][NR0]+{NR0}T[B][NR0].

(8)

式(5)为做了一定变换后的目标函数,{T}为索力调整值列阵,也称施调向量.从以上3个表达式中可以看出:D为常数项,反应结构恒载作用下的应变能;{F}为T的一次项系数列阵;[G]为T的二次项系数矩阵;2者的实质为施调向量影响下结构的应变能矩阵;[B]、[C]为对角阵,可以近似的理解为各单元柔度的加权矩阵,其对角元素分别为

1.2 约束条件

为了确保成桥后主梁、拱肋的线形平顺、各关心截面的内力分布合理、吊杆索力均匀,故采用变量的不等式约束方法限制各个变量的取值范围,具体约束形式如下:

(9)

1.3 优化模型

钢管桁架梁拱组合体系桥的优化模型可以表达为

minf(T)={T}T[G]{T}+{F}{T}+D,

(10)

式中:f(T)为优化目标函数,该优化模型与数学中二次规划法的数学模型极为相似.通俗的说,有约束的最小能量法是数学中的最优化问题在实际工程的一种应用,索力最优化问题也可看作求解施调向量{T}在可行域中的极值[12].求解有约束的二次规划模型的方法大致可以概括为2类:直接法和间接法[4].直接法以最小二乘法、可行方向法等为代表,是直接在区域内搜索或沿着负梯度方向等可行方向搜索求解.间接法以惩罚函数法、有效约束集法为代表,核心思想是将约束优化问题转化为无约束优化问题进行求解.

本文通过编制Matlab语言程序优化成桥吊杆力:首先从有限元模型中提取恒载以及单位吊杆力作用下的基础矩阵、加权矩阵[B]、[C],系数矩阵[F]、[G] 、吊杆张拉力列阵{T}以及编入成桥时各单元的内力、位移限值列阵,构建形如式(9)的约束函数,在写入优化目标函数的基础上,利用Matlab优化工具箱中的quadprog函数定义单目标优化功能块,为解决梁拱组合体系桥成桥索力的优化问题提供了便利.以上二次规划算法弥补了无约束优化法的缺陷,可以针对桥梁的受力特性以及设计师理想中的成桥状态确立目标函数、制定约束条件、选择优化算法,有较强的适用性及可操作性.

2 工程实例

2.1 工程背景

华干路大桥主桥结构采用跨径为85 m的下承式单索面钢管桁架梁拱组合体系结构.拱肋矢高14.0 m,矢跨比1/5,拱顶桁架高度为2.4 m,吊杆间距为5 m.桥梁纵向设置双向纵坡,两侧坡度均为0.98%,桥头位置设置刚柔过渡搭板.主桥桥型立面布置示意如图1所示.

图1 桥梁立面布置(单位: mm)

该桥钢主梁为闭口截面箱梁,整体断面由顶板、底板、腹板、横梁、横肋和加劲肋组成,断面横向分为2×12.75 m宽行车区和5 m宽拱肋系杆区.行车区箱梁顶底板厚度为16 mm,腹板厚度为16～20 mm,拱肋系杆区箱梁顶底板加厚为25 mm,腹板厚度加厚为30 mm.

主桥拱肋为钢管桁架形式,共设置上下两层拱肋,上下拱肋之间通过竖向腹杆连接成整体,横向设置单片桁架.拱肋计算跨径70 m,拱轴线矢高14 m,矢跨比1/5, 拱肋全高2.4 m.钢拱肋断面采用3肢钢管桁架倒三角截面,截面高2.4 m,宽2.4 m.拱肋上层钢管之间设置斜撑增强横向抗倾覆稳定性.拱脚为变截面箱型截面,壁厚30 mm,间隔1.5 m设置横隔板,隔板上开人孔.拱肋钢管深入拱脚,通过钢管与拱箱之间的通长加劲肋将力传递到拱脚钢板上.拱脚根部渐变为箱型截面,拱箱两侧腹板与主梁拱肋区腹板对接,拱箱另外两道腹板深入主梁内部,通过与主梁设置的横梁进行内力的传递.

2.2 有限元模型

全桥运用有限元分析软件Midas Civil进行数值模拟,主梁截面为单箱7室钢箱梁截面,拱脚采用线性变截面模拟,柔性吊杆取其实际长度,吊杆与拱肋、主梁的连接为刚性连接,顺桥向拱脚处一端设置固定支座,另一端设置滑动支座,整体结构为无推力体系.全桥建模参数见表1.

表1 全桥主要建模参数

全桥节点共213个,单元共262个,其中拱肋单元数191个,吊杆单元22个.拱肋、主梁、拱脚均采用梁单元模拟,柔性吊杆采用只受拉桁架单元模拟,全桥空间模型如图2所示.

图2 钢管桁架梁拱组合体系桥有限元模型

2.2 优化结果

提取出内力影响矩阵后,运用Matlab编制的程序优化成桥索力,由于该桥刚性主梁柔性拱结构特征,故而将主梁作为分析的重点.恒载作用下,吊杆索力对比如图3所示.

图3 优化前后吊杆索力对比图

从图3中可以看出：优化后的索力与设计索力较为接近,但仔细观察后会发现索力的分布趋势并不相同.结构以6号吊杆(DG6)为中心左右对称,取半结构观察,优化后的索力从短吊杆到跨中长吊杆索力呈现先减小后增大再减小的趋势,在4号吊杆即接近1/4跨处吊杆力达到最大,而设计索力的分布趋势为先减小后增大,跨中处吊杆力达到峰值.优化前后1/4跨处的2组吊杆索力调整幅度相对较大,说明该处的两组吊杆(DG3、DG4)对结构受力影响较为显著,在整个优化体系中起控制作用.结合该桥先两边后中间的张拉顺序来看,设计索力的分布趋势与实际情况并不相符.

图4 扣除自重影响后的主梁弯矩

图5 扣除自重影响后的主梁挠度

图6 拱肋挠度

考虑到该桥先主梁卸载,后施工拱肋及吊杆的施工流程,扣除主梁自重影响后的主梁弯矩、挠度曲线如图4～5所示.总的来说优化后的设计索力增大了95 kN.但从图6可以看出:拱肋几乎没有因为吊杆张拉力的增大而产生向下的挠度,相反,在靠近拱脚的地方,优化索力作用下的拱肋挠度小于设计值.

由图4可知:吊杆索力优化后,主梁各部分的弯矩值均有减小,从距离支座位置20～60 m之间也即拱肋、吊杆的主要作用区段,弯矩减小较为明显,平均每延米减小700 kN·m,跨中位置减小最多,由原来设计值19 647.25 kN·m减小为17 877.6 kN·m,降低了1 769 kN·m.从图5可以看出:优化后主梁挠度有所降低,拱肋作用区间主梁上抬了0.5 cm,且优化后的主梁挠度曲线特征明显,线条光滑.

3 结论

1) 运用有约束的最小能量法,通过建立目标函数、约束条件、优化模型以及编制Matlab优化程序,对一下承式单索面钢管桁架梁拱组合桥的索力进行优化,得到了一组既符合设计目的,又优于设计索力且使结构弯曲能量最小的成桥索力.

2) 将索力优化问题转化为数学中求解有约束的二次规划模型,同时结合Matlab优化工具箱中的quadprog函数求解控制方程,不仅可以方便问题的解决,而且能够更加灵活、准确地求解该类桥型的吊杆索力,对于实际工程具有指导意义.

3) 程序结合影响矩阵对部分起控制作用的吊杆进行了小幅调整,得到的成桥索力分布趋势更为合理,与设计索力相比,优化索力作用下,降低了拱脚处的挠度,且主梁跨中弯矩降低了1 769 kN·m、挠度减小了0.5 cm,整体效果良好,达到了索力优化的目的.