问题2555的另证、推广及拓展

陕西省岐山县蔡家坡高级中学(722405) 公宽让

1 问题2555 的另证

题目设正实数a,b,c满足abc≥1,证明:

这是《数学通报》2020年7月号问题中的不等式问题2555,作者在第8 期的证明中多次应用均值不等式,构思奇妙,但不易推广.下面用切比雪夫不等式和均值不等式对问题2555 给出另证.

证明a,b,c ＞0,且abc≥1,不妨设a≥b≥c ＞0,由切比雪夫不等式和均值不等式,

令= 7, 得r=＜7.即同理,求和, 得(∑表示对a,b,c循环求和),故

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

所以a2+b2+c2≥即=1,故

不等式(2)与不等式(3)相减,即得不等式(1)成立.

2 问题2555 的推广

2.1 问题2555 按项数推广

定理1 已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且为对ai(i=1,2,...,n)循环求和,则

2.2 问题2555 按项数和指数推广

定理2已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且,k ∈N+,∑为对ai(i=1,2,...,n)循环求和,则

为了方便下面的证明,先给出一个引理.

引理已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且则

证明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+), 且不妨设a1≥a2≥...≥an ＞0,由切比雪夫不等式和均值不等式,

所以,不等式(*)成立.

下面证明定理1、定理2.

证明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+) 且≥1,k ∈N+, 不妨设a1≥a2≥...≥an ＞0, 由切比雪夫不等式和均值不等式,

令r+=7k,得r=＜7k.即同理

求和,得

故

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

求和,得

由不等式(*),得

故

不等式(6)与不等式(7)相减,即得不等式(5)成立.当k=1时,不等式(4)成立.

3 问题2555 的拓展

3.1 问题2555 的拓展

定理3已知正实数a,b,c满足abc≥1,4q ＞p ＞q ＞0,则

3.2 问题2555 拓展的推广

定理4已知ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥3,n ∈N+),且≥1,(n+1)q ＞p ＞q ＞0,∑为对ai(i=1,2,...,n)循环求和,则

证明ai ＞0(i= 1,2,...,n,n≥ 3,n ∈N+), 且≥1, 不妨设a1≥a2≥...≥an ＞0, 由切比雪夫不等式和均值不等式,

同理,

求和,得

即

再由切比雪夫不等式和均值不等式,

求和,得

又q ＞q-＞0,由不等式(*),得

故

不等式(10) 与不等式(11) 相减, 即得不等式(9) 成立.当n=3 时,不等式(8)成立.