基于无模型自适应控制算法的机械臂轨迹跟踪控制

张 磊 ，孙会来

(1. 天津工业大学机械工程学院 天津300387；2. 天津市交通运输综合行政执法总队 天津 300304)

1 无模型自适应控制算法(MFAC)

工业机器人目前正经历着历史发展的黄金时期，无论是工业机应用还是前沿技术研究都处于进步与发展过程中，工业机器人在汽车制造、电子产业、金属加工、生活日化用品等行业已经得到广泛应用。

中国电子学会整理了国际机器人联合会(IFR)的数据，如图1所示，2014年以来工业机器人市场正以8.3%的速度增长，自2018年以来中国、日本、美国和德国等主要国家占比超3/4，而我国是亚洲最大的销售市场，未来几年将继续保持高速增长。

在机械手科研领域中离不开机械手仿真与编程技术的研究，其一方面可对机械手控制算法进行验证，另一方面能够在机械手优化设计上提供一个稳定的平台。对于机械手控制系统的研究离不开动力学模型的分析和运动学模型的分析，动力学模型输出为各轴的力矩τ，重点在于控制每个轴驱动力。运动学模型输出为各个轴的位移角度θ，重点在于调控每个轴运动的角度。从上述分析可知，在机械臂研究领域，一定是运动学模型和动力学模型相互配合的，在控制方面使用运动学模型配合动力学模型完成相应研究工作。目前大多机械手的控制器设计都是基于动力学模型进行设计与研究的，而现实的控制中往往存在诸多的不确定性，首先不存在完美的数学模型，其次系统扰动不可控较难建模，最后测量传感器也存在误差。基于上述原因，本文使用无模型自适应控制算法(MFAC)作用到机械臂的被控对象中，进行相关的控制研究工作[1]。无模型自适应控制(Model Free Adaptive Control)是一种基于数据驱动的非线性系统控制算法[2]，是一种利用在线数据信息的控制策略，该策略针对离散化的非线性系统使用了一种新的线性化方法。该方法是一种不基于被控对象模型信息的控制器，只利用在线数据信息将每个点进行线性化处理，得到相应伪偏导数(PPD)、伪梯度(PG)、伪雅可比矩阵(PJM)，最后利用准则函数获得控制量u (k)。通过轨迹跟踪效果分析可知，该控制器控制效果比传统的PID控制器更具有抗扰性和抗抖震等优势。

2 机械手模型的建立

运动学模型的目的在于利用笛卡尔空间的坐标系[3]，建立位姿和各关节之间的角度关系，由于运动学模型无法在控制方面起到核心作用，只是对各个轴的角度进行统一设计，将角度位置指令传递给各个运动轴。而控制系统主要目的是调节各个轴的驱动力矩，从而能够获得理想的轨迹跟踪[4]，所以更关注动力学模型的建立。一个典型的二自由度的机械手如图2所示，本文以二自由度的机械手为被控对象，进行控制器设计与分析，为后续多自由度机械臂轨迹规划问题奠定基础。

考虑一个多关节机器人，其动态性能可由二阶非线性微分方程描述：

其中：q∈Rn表示关节角位移量；M (q ) ∈Rn×n表示机械臂的惯性矩阵；C (q ,q˙ )q˙∈Rn表示离心力和哥氏力；G(q)∈Rn表示重力项；表示摩擦力矩；τ∈Rn表示控制力矩；τd∈Rn表示外加扰动。

针对被控对象1式，选用单关节机械手系统和双关节机械手系统，其数学模型如下。

单力臂机械手数学模型：

其中：dτ为摩擦模型。摩擦模型为库仑摩擦和粘性摩擦模型，即：

其中：1k和k2为正的常数。

双关节机械手动力学模型：

其中：

试验组的包装质量、消毒质量、收回及时度、供给及时度等护理质量评分与对照组进行比较，对照组均低于试验组，差异有统计学意义（P＜0.05）。见表1。

上述依据机械臂动力学模型列写出单力臂和双关节机械手的动力学模型，是机械臂控制系统的研究基础。

3 无模型自适应控制器

MFAC系统数据的处理与人工智能机器学习控制算法具有很大区别，不需要利用大量数据对模型进行训练，通过不断改进神经网络层间的权值关系优化自身策略，实时在线数据进行动态线性化的处理，并且具有不需要被控对象模型信息的特点。无模型自适应控制器继承了线性系统中自适应控制器的研究成果，在每时每刻对非线性系统进行动态线性化，其对于系统未知模型和不确定的扰动项具有良好的鲁棒性能，极大增强了控制系统对干扰或参数变化等的鲁棒性(rubustness)。无模型自适应控制包括非线性系统的动态线性化、参数估计、控制律3部分。非线性系统的动态线性化方法有紧格式(CFDL)、偏格式(PFDL)、全格式(FFDL)3种，对应衍生出基于3种线性化的无模型自适应控制方法[5]。

3.1 SISO非线性系统的CFDL-MFAC控制算法

考虑如下的离散时间SISO非线性系统：

其中：ny，un分别表示系统输出y(k)和系统输入u(k)的未知阶数，f(…)表示非线性函数。对于SISO系统：

假设 1，系统式(5)对有界的可控输入信号存在有界的期望输出y*(k+1)；

假设 2，f(…)关于控制输入u(k)的偏导数是连续的；

假设3，系统(5)是广义Lipschitz的，即对任意k当 Δ（u k）≠0时，满 足其 中，且b＞0。

定理 1：对非线性系统(5)，满足以上三点假设，当 Δ（u k）≠0时，存在伪偏导数量φ(k)，可将系统(3-1)描述为如下的紧格式动态线性化模型：

SISO无模型自适应控制方法的控制率可描述如下：

上列式中：μ，λ是权重因子。η，ρ是步长序列，且η∈(0，1)，ρ∈(0，1)。

3.2 MIMO非线性系统的CFDL-MFAC控制算法

其中：u (k ) ∈ Rm,y (k )∈Rm分别表示k时刻系统的输入和输出；ny、nu分别是两个未知的正整数；是 未 知 的非线性向量值函数。

且对于任意时刻的k，Φ(k)是有界的。

MIMO无模型自适应控制方法的控制率可描述如下：

4 机械臂轨迹跟踪仿真

本文通过对单力臂和双关节机械手控制系统的MATLAB仿真实验验证，以实现机械臂高精度轨迹跟踪控制的目的[6]。机械臂控制原理如图3所示。

为了更好地进行仿真验证，本文针对同一被控对象分别采用PID控制器和MFAC控制器进行仿真控制效果对比。

4.1 PID控制系统的仿真设计

PID控制借助其容易理解、控制简单、理论背景比较完善等优点，是一种基于误差消除误差的控制策略[6]，当误差产生后再利用控制量消除偏差。PID控制只需要进行简单的数学计算后将积分、比例、微分的结果进行加权求和得到相应的控制效果。PID控制原理框图如图4所示。

PID控制算法的双轴机械臂正弦跟踪Simulink仿真如图5所示，将上述(4)式双关节机械臂被控对象用S-function表示出来，其双关节机械臂参数为：

示波器观测轴1和轴2的输出与期望之间的关系，轴1、轴2分别相对应轨迹跟踪输出，如图6、图7所示，仿真环境：采样时间为100 s，控制器参数目标位置指令均采用

4.2 无模型自适应控制算法控制系统仿真设计

采用紧格式线性化无模型自适应控制算法就上述式(2)单力臂机械手系统进行仿真[7]，其被控对象参数为控制器参数为ρ= 0.56，λ=0.02，η=1。基于无模型自适应控制的单关节机械臂Simulink仿真框图如图8所示，轨迹跟踪输出如图9所示。

采用紧格式线性无模型自适应控制算法对上述式(4)双关节机械手进行仿真，如图10所示。相关机械臂参数已描述，此处不再赘述。其控制器参数两个轴的轨迹跟踪输出分别如图11和图12所示。

利用仿真实验对比分析，通过图6、图7发现PID控制二自由度机械臂在关节空间运动时，存在抖震现象，未能精确地跟踪期望轨迹[8]；而通过图9、图11和图12可以看出无模型自适应控制器对于单关节和双关机机械手均能有很好的跟踪性能。表明该控制器能有效提高轨迹跟踪的精度，运行轨迹平稳，消除系统抖震，收敛更快，鲁棒性较强，控制品质相比于传统PID有较为明显的改善[9]。

5 总 结

本文在研究过程中基于拉格朗日方法分别针对单轴和双轴机械手系统建立其动力学模型，并分别介绍了基于紧格式的单输入、单输出和多输入、多输出的无模型自适应控制方法。在MATLAB/Simulink中分别进行了无模型自适应控制器和PID控制器的轨迹跟踪仿真工作，从控制效果可以看出，无模型自适应控制器能够使轨迹运行平稳，效果优于传统PID控制，说明该控制策略对于控制机械臂轨迹跟踪问题具有良好的效果。■