浅谈等价无穷小替换的教学

曾 勇

(重庆工商大学 重庆 400067)

高等数学（微积分）课程的核心包括微分学、积分学、级数等内容。这些内容都是在“极限”这一重要概念的基础上建立起来的，所以“极限”在高等数学教学中起着至关重要的作用。本科阶段高等数学极限部分的教学内容主要由极限的概念和极限的计算两部分组成。在教学过程中，它们各有侧重。结合教学经验，本文主要探讨极限计算中等价无穷小替换的教学。

一、等价无穷小的概念

二、常见的等价无穷小

为了更好地掌握等价无穷小的概念和应用，教学过程中应引导学生熟记常见的等价无穷小。例如，当时，我们有如下常见等价无穷小[1]：

三、等价无穷小的变式

上述等价无穷小是最基本的等价无穷小，在实际应用中，往往需要对上述等价无穷小作适当的变形。以x～sinx，x→0为例，粗糙地讲，它是说一个无穷小x2和它本身的正弦sinx2等价。由此，我们可以得出：x→0时，无穷小x2和它的正弦sinx2等价；x→1时，无穷小x-1和它的正弦sin(x-1)等价。

四、等价无穷小替换定理

我们有如下等价无穷小替换定理：

解：注意到当x→1时，

lnx=ln(1+x-1)～x-1，arcsin(x-1)～x-1，

虽然一般而言，我们不能替换加减法中的某些因子，但对一些特殊情况，我们仍有如下结论：

五、结束语

等价无穷小替换是极限计算中的重要方法。通过具体例题的讲解有助于学生厘清该方法应用中的各个要点，对正确使用该方法有重要作用。