例谈一类含双变量x1,x2的不等式求解问题

安徽

含双变量x1,x2的不等式求解问题一直是高考数学的重要考点之一,并且经常以压轴题的形式出现.试题设计经常与函数、不等式结合起来进行考查,同时注重对转化与构造、函数与方程、数形结合等重要的数学思想与方法的考查,试题整体难度较大,从而造成学生思维混乱,难以进行深入推理与计算.因此,本文针对这类含双变量x1,x2的不等式求解问题,将结合实例进行分析,寻求此类问题的解题策略,并提供一些高考数学的备考建议,以便同行交流与探讨.

一、考点类型分析

1.对称转化,借助单调

评注:由g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]化为g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)是一种数学对称美的体现,遇到类似的条件句朝着对称的方向转化.这样一来,对于任意的x1>x2>0,总有g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x2)成立,就变成了φ(x1)>φ(x2),这就转化为函数φ(x)=g(x)+λf(x)在(0,+∞)上单调递增,最终转化为导数问题.

例2.已知函数f(x)=-lnx-2x2+1,证明对于任意x1,x2∈(0,+∞),不等式|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|恒成立.

评注:含有|f(x1)-f(x2)|的式子解题关键是去掉绝对值符号,可以利用单调性去掉绝对值符号.即对于单调增函数f(x),若x1g(x1)在[a,b]上恒成立⟺g(x)在[a,b]上单调递增,所以g′(x)≥0在[a,b]恒成立.对于含有二元变量x1,x2的函数,可以使变量x1,x2分别位于不等号两边,呈现出不等式左右两边结构一样的对称关系式,便于构造函数模型解决问题.

2.整体换元,构造函数

(2)证明:x1x2>e2.

(2)f′(x)=lnx-ax,x1,x2是f(x)的两个极值点,可知x1,x2分别是方程lnx-ax=0的两个根,即lnx1=ax1,lnx2=ax2,设x1>x2,

相加得lnx1+lnx2=a(x1+x2)①,

相减得lnx1-lnx2=a(x1-x2)②,

故所证不等式x1x2>e2成立.

3.关注极值,借助偏移

例5.已知函数f(x)=(x-2)ex+3(x-1)2有两个零点,设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.

解析:由题意知f′(x)=(x-1)ex+6(x-1)=(x-1)·(ex+6).令f′(x)>0,则x>1,令f′(x)<0,则x<1,所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,因此函数的唯一的极值点是x=1.构造函数F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+3(x-1)2-(-x)e2-x-3(1-x)2=(x-2)ex+xe2-x.

所以,F(x)=f(x)-f(2-x)在R上单调递增.因为F(1)=f(1)-f(2-1)=0,所以当x>1时,f(x)>f(2-x),不妨设x1<1f(2-x2).所以,f(x1)=f(x2)>f(2-x2),即f(x1)>f(2-x2).因为x2>1,则2-x2<1,且x1<1,又因为f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以x1<2-x2,即x1+x2<2.

4.等价转化,构造模型

例6.函数f(x)=(x-3)ex,对于任意x1,x2∈[1,3]有f(x1)-f(x2)≤a,则实数a的最小值为________.

解析:令f′(x)=0,解得x=2,因为f(1)=-2e,f(2)=-e2,f(3)=0,所以f(x)min=-e2,f(x)max=0.又因为对于任意x1,x2∈[1,3],有f(x1)-f(x2)≤a,所以f(x)max-f(x)min≤a.因为f(x)max-f(x)min=e2,所以a≥e2,故实数a的最小值为e2.

评注:|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min⟺f(x)min-f(x)max≤f(x1)-f(x2)≤f(x)max-f(x)min.对于任意x1,x2∈D,f(x1)-f(x2)≤a⟺f(x)max-f(x)min≤a;f(x1)-f(x2)≥a⟺f(x)min-f(x)max≥a.

5.依据结构,等价转化

评注:对于任意的x1,x2,不等式|f(x2)-f(x1)|≤m恒成立的意义就是函数f(x)在区间内任意两个函数值相差都不超过m,即f(x)max-f(x)min≤m；而存在x1,x2能满足不等式|f(x2)-f(x1)|≥m的意义是函数f(x)在区间内,至少存在两个函数值相差超过m,即f(x)max-f(x)min≥m.

6.任意存在,注意区别

例8.已知e为自然对数的底数,f(x)=xlnx+a,g(x)=x2ex.

评注:若对于任意x1∈D1总存在x2∈D2使得f(x1)=g(x2),实质上就是两个函数值域的包含关系,故此类问题利用值域可解;当涉及x2的具体个数时,就不是单纯依靠函数值域就能解决的.如若任意x1∈D1总存在唯一的x2∈D2使得f(x1)=g(x2),函数g(x)在区间[-1,1]内取一个与f(x1)相等的函数值,对应的自变量的值x2是唯一的.从图形上看,函数g(x)在区间[-1,1]上必须是单调的,且y=f(x1)与函数g(x)图象有且仅有一个交点.

二、复习备考建议

1.立足数学解题通性、通法教学,构建数学题组训练

高考数学试题对于函数的基本概念、性质、原理、法则等的考查由来已久,特别是近几年新高考制度的不断改革创新,也使得高考数学题更加注重学生核心素养的目标达成以及数学学科的关键能力考查.绝对值不等式,对数平均数不等式,常用对数不等式等都有历史的传承,尽管高考数学试题的情境不断变化,但是考点却相对固定,解题的通性通法基本上都是将双变量问题转化为单变量问题,至于解题策略,教师应教给学生常见的构造法,转化法,换元法等等,无论哪种方法,最终目的都是实现将双变量(或多变量)问题进行减元、降次,从而逐步接近目标结构式,最终解决数学问题.在这一过程中,学生的解题思路打开了,思维也得到真正提升,从而大幅提高学生的逻辑思维水平.

教师在平时的课堂教学中,可以设置形近质异的试题组合,对学生进行巩固训练,培养学生的思维辨析能力,还可以通过设置变式题组训练,对学生进行思维发散与聚合巩固训练,真正实现学生思维的有效迁移.

2.开展主题式、微专题式复习教学,形成知识框架体系

主题式复习教学就是系统地整合数学知识、方法和技能,总体上梳理数学问题的特征,解题“套路化”,找出思维误区、知识盲点,真正实现教学条理化、顺序化、结构化.微专题式复习教学就是通过微专题,对数学某一概念、某一方法、某一考点类型、某一知识点进行系统地深度教学,让学生真正从概念表层、方法、思路单一、固化走到深度感悟数学本质和规律的数学复习教学形式.教师在课堂上,通过学生思维的联想与类比,聚合与发散等,引领学生真正从一看就懂,一做就错,转向问题脉络清晰、透彻,解题思路融会贯通,变式练习达成有效的最终目标,实现学生思维的整体提升与整合,构建学生的自我知识框架体系.

导数不等式问题,本身就是高考数学的难点之一,特别是双变量导数不等式问题,部分学生认为是“老题陈酒”,早已过时,于是不再关注.正是由于历史遗留的知识盲点和思维“痛点”没有真正解决和“根治”,在后期专题复习中,考生“高原综合征”的现象时有发生.例如,2020年新高考Ⅰ卷(供山东省使用)第21题导数不等式中恒成立问题,2018年全国卷Ⅰ理科第21题导数不等式中双变量问题都是典型的症状表现,由于很多学生考前过度刷题,不求甚解,造成临考思维混乱,解法机械套用,无法实现真正解决问题,最后考场败下阵来.