章节起始抓主线,串联知识引素养——三角函数起始课(任意角)的教学案例和思考

江苏

章节的起始课承载了该章节知识点的脉络,不仅仅是简单的新概念导入.教师应该去了解编写者的用意,在章节起始课中挖掘更多的内容,精心设计起始课,让起始课更加合理、充实.起始章节的导入语背后蕴藏着许多的数学思想、数学文化,是培养学生数学核心素养的极佳素材.通过对这些文字的解读,更能够让学生清楚地认识到学习这部分内容的必要性,通过知识概念的引入,也能更好地解释身边的数学现象.

新教材中将三角函数的章节前置,放在了指数函数、对数函数之后,明显是为了让学生更好地学习函数的性质.从一般函数到具体的函数,逐渐加深对函数的理解,更加有效、深刻地提升对函数的学习.而三角函数作为有别于之前的指数、对数、幂函数,其最大特点是周期变化规律.在新教材第五章开篇语中,课本就已经点明了主题，“三角函数是用于刻画周期变化规律的一类特殊函数”,让学生脑海中先呈现出三角函数所要研究的重点性质.

周期变化中最简单的运动是圆周运动.而任意角和弧度制这一节的开篇语就使用圆周运动作为切入点,让学生发现其周期变化的本质是由圆上点经旋转所产生的,进一步转化成角度旋转,引发圆上点P的位置发生变化.在旋转过程中又发现角度的旋转超出了初中的认知,所以需要进一步扩大角的范围,进而引入本节课的课题——任意角.

在初步了解了新教材编排及导入语、开篇语的用意后,笔者认真准备了一节任意角的新授课,现将该课的教学过程、设计意图及教学后的思考做如下总结,与读者分享,希望得到指正！

1.教学目标指定

1.1学情分析

学生在初中已学过角的概念,但是仅仅停留在静态图形的认知上.原有对角度的认知已经不能完全解释生活中所遇到的实际现象,角的扩充成为了迫切需要解决的问题.当然学生对任意角的概念还是比较陌生的,需要通过动态演示,让其感悟动态旋转形成角.

1.2教学目标(重点、难点)

从生活中的实际场景出发,感受角的扩充的必要性,理解数学在实际生活中的价值,体会现实生活中处处充满数学.

教学重点:将0°到360°范围的角度扩充到任意角.

教学难点:任意角概念的形成与建构,如何表示终边相同角的集合.

1.3教学策略的选择

从现实生活出发,结合实际问题(例如体操和跳水运动中的转体、齿轮的转动、时钟指针的旋转等),引发学生对现有角认知的冲突,从而引出角度范围的推广问题.为了将任意角统一规范的表示出来,再次引入象限角,并研究终边相同角的特征,建立“背景(实际问题)——定义(知识建构)——量化(相等角,角的加减)——表示(象限角,终边相同角)——性质(完善概念)”的研究路径.过程中鼓励学生独立思考,大胆探索,增强交流合作与数学表达能力.

2.教学过程

2.1整体把握三角函数的本质(周期性)

在《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》中,三角函数被安排在“主题二函数”中,把“函数的概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、函数应用”视为一个整体.其中三角函数是一类典型的周期函数,周期性也是有别于其他初等函数的重要性质.课堂开篇点明主题有助于学生整体理解三角函数的概念、性质和应用等内容.所有周期变化运动中最简单的周期运动是圆周运动,将圆周运动放在本节课内容的前面,也是为了帮助学生建立简单的周期概念,为后阶段的学习内容埋下伏笔.

2.2复习回顾,唤起学生对角的认知

问题:初中的角度是如何定义的?我们已经学过了哪些角?它们的范围分别是多少?

设计意图:先回顾已有的角的概念,为后阶段现实问题中的角度引发认知冲突以及为任意角的推广做好了铺垫,体现了学习认知的规律.

2.3借助生活情景,初步体验旋转角

情景1:观看视频,在跳水运动中,中国运动员腾空旋转的慢动作,向前翻腾两周半、向后翻腾一周半.

情景2:观察两个相互咬合的机械齿轮旋转的动态视频.

情景3:利用钟表校准时间,若时钟快了一小时10分钟或慢了两小时,该如何调整?

学生分组讨论,探讨上述情景中涉及的角度,并与之前所学的角度进行比较.

设计意图:情景中都隐藏着角的概念,但又与学生原有的认知有冲突,如何从情景中提出问题,这也是新课程理念下学生需要具备的素养，即用数学的眼光去观察世界.当遇到的问题与原有知识体系发生矛盾时,也能激发学生探求新知识的欲望.

2.4交流探究,建构任意角的概念

教师继续追问,从上述实例中不难发现原有知识体系中的角度的范围太小,不能完全解释生活中所遇到的“角”,所以应该对原有角的概念重新定义,将角的范围扩大.但如何重新定义角才能使它更全面、更科学呢?下面学生进行分组探究,最后师生共同得出如下总结:

(1)初中原有角的概念是静态的,共起点的两条射线所围成的图形,这样的静态图形无法解释超过360°的角,应当从旋转的角度去重新定义角度的概念,以解决角度范围的问题；

(2)旋转的大小确定了,但是在原有的问题情景中都涉及了旋转方向,(结合正负数的类比)确立的旋转方向决定角度的正负.

教师最终指导学生用严谨、科学的数学语言进行任意角概念的刻画.

设计意图:学生通过情景容易总结出通过旋转角扩充角的大小,同时借助顺时针和逆时针旋转区分角的正负,从而真正地对任意角进行自主定义,这样生成概念的过程也能引导学生真正做到“用数学的语言表达世界”.

2.5统一规范,引入象限角、轴线角

教师让学生画出450°的角,并展示学生所画的图形,指出问题(由于角度的大小超过了360°，所以要标注旋转的圈数,同时由于是正角,其旋转方向为逆时针),在展示的过程中引导学生观察,同样的角度,为何得到的图象各异?引导学生发现问题的本质——始边位置的不同,进而引出象限角及轴线角.

设计意图:在未规定起始位置时,同样大小及旋转方向,所得的角并未达到统一规范,使学生对角的认知再次跳出原有大小、方向的框架,尝试统一、规范的在直角坐标系内去表示角.

2.6引发思考,归类终边相同角

设计意图:通过所画的象限角,让学生自主感悟终边相同角应当具备的条件,同时也呼应本节课开篇内容,再次强调角度所具有的周而复始(周期性)的特质,为后续知识的学习打好基础.教学过程中，教师培养学生逐步学会发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、提炼总结的能力,激发学生“用数学的思维去解释世界”.

2.7归纳提炼、总结运用

课末师生共同回顾本节课所学习的内容及过程,归纳总结所学的知识:任意角(正角、负角、零角)、象限角(始边、终边所在位置)、与终边相同角的集合.过程中涉及由静态的图形到动态旋转生成任意角,类比实数的正负推广正负角,统一规范的定义了象限角、轴线角,从终边相同角的“形”去总结其“数”的结构.

教学中遵循知识的认知过程,让学生经历“研究问题的背景——定义生成——性质特征归类总结——思考应用”的研究主线来学习新概念“任意角”,在学习过程中也不断地灌输着周期性这一理念,帮助学生构建起周期函数这一概念,为后面的学习做好铺垫.

3.章节起始课教学的若干思考

章节起始课中,教师不仅要导入新概念教学环节,更重要的是整体把握本章节所要研究的问题轮廓,让学生架构起该章节内容的知识体系,将原有的知识内容与新知识进行融合,让学生感悟新概念产生的必要性,同化新概念.使抽象的形象化、形象的具体化、复杂的简明化,建立新概念与原有知识的联系,促进知识的正向迁移；并用有效的方法降低学生在新概念理解上的难度,使学生能对概念系统化、概括化.在此过程中教师也应当注意以下几个方面.

3.1加强对数学概念的总体分析

数学概念是每节新课的重点内容,如何引出概念是教师课堂上要重点关注的.数学概念是数学情景中对问题的衍生,是学生所遇问题的一次新的探索.开篇语中往往会将本节课、本章节的知识点进行高度概括,教师应该从高角度去分析这些概念,帮助学生搭好知识体系的框架.当然在具体解读各个数学知识点概念的时候,教师必须抓住概念中的关键词句进行解剖分析,揭示每一个词、句、符号、式子的内在含义,使学生深刻理解概念的本质属性.

数学概念的用语、用词一般都非常严密、精炼,具有高度的概括性,概括总结新知识时,教师可以先让学生用熟悉的语言表述,然后再规范严谨地去帮学生修正，提炼出精准的概念表述,长期训练也会大大增强学生的数学语言表达能力,真正将学生所要具备的核心素养落到实处.

3.2注意概念的对比和直观化

高中数学的概念形成有时也是对初中概念的衍生,当初中的知识与现有的现象发生矛盾的时候,务必要将原有的知识进行扩充才能更准确的解释生活中的现象.这样的对比也能更好地促进学生的学习热情.

数学中有许多概念是平行相关的,如果能将它们有机地联系在一起进行类比,就可以得到由此及彼、温故而知新的效果.有些数学概念之间联系紧密、差别较小、形式相似,容易被学生混淆.对这些概念,要让学生比较它们的内涵和外延,在比较中加以鉴别,澄清模糊.数学教材一般都是从正面阐述概念,这容易使学生形成思维定式,妨碍对概念的深刻理解.因此,教师应注意引导学生从正反两方面去认识概念.比如,可以利用若干反例,让学生从反面去认识概念的内涵和外延.

如在复数概念的教学中,可以通过设计相应问题串的形式让学生加深对复数的理解:①复数作为“数”与实数的区别；②复数具有二元数的特性,是否可以和点的坐标、向量相关内容进行串联；③复数与坐标点及向量有联系,那复数又会有哪些运算性质.通过这些问题串的设计,学生自然会将复数的概念与原有知识体系中的实数、解析几何、向量等内容联系形成新的知识网络.

3.3帮助学生形成知识体系

数学概念教学过程中,不仅仅只是单一知识点的学习,教师要帮助学生去揭示新概念与旧知识间的联系.通过以旧带新加深对知识内容的理解,过程中促进学生综合应用能力的提升,很多时候学生在处理综合问题时感到困难重重,就是因为不能串联知识,不能把握问题的本质内容.面对本节课所要教授的概念,教师可以引导学生通过图表、思维导图等方式构建知识网络，厘清它们的区别与联系,让学生既从横向又在纵向上加深对新概念的理解.整个章节起始课中，教师的主要任务是优化单元教学的局部设计,同时厘清知识点间的关系.学生的任务则是把摄取和理解的概念印入头脑中,以便在需要时能及时地提取出来加以运用,最终达到构建起良好的整体认知结构的目的.

4.结束语

章节起始课不仅是知识的开端,它还有着承上启下的作用,教师应该以它为抓手更好地渗透数学思想和数学素养.通过深度解读这部分内容引导学生对知识的深加工,挖掘问题的本质,引发对知识的深度思考,增强其自身的思维能力,从简单的知识学习走向思维能力的发展.