数学在跨学科教学中的运用——以思政学科供求曲线的移动为例

甘肃

跨学科教学是以问题为中心的教学模式.跨学科教学中的“问题”，不是单一学科的问题，而是涉及多门学科的复杂问题.跨学科教学一般立足于某一学科，综合运用其他相关学科的知识和方法来分析和解决问题.马克思说过，“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步.”在自然科学中运用数学，大家并不陌生.例如，物理中对导数和三角函数的运用，物理中的加速度实际上就是数学中的导数.但数学在社会科学中的运用，却并不为人所重视.实际上，在现代社会科学中，数学也有大量的运用.本文立足于思政学科，运用量化分析、降维和一次函数图象平移等数学知识分析供求曲线移动问题.

1.教学目标

(1)复习思政学科中的“弹性”概念，并能区分清楚弹性与数学中的“斜率”；

(2)运用弹性分析税负转嫁问题；

(3)通过跨学科教学，培养学生以问题为中心，综合运用跨学科的知识和方法分析和解决问题的素养.

2.教学过程

2.1情景导入

董旺森、赵勇两位老师在《中学政治教学参考》(上旬)2015年第12期发表的题为《高考命题应科学严谨》(以下简称“董文”)一文认为，2015年四川高考文综政治第1题A选项与图1信息不符，“卷烟惹了‘祸’，本题不能选择A”.

2015年四川高考文综政治第1题如下:

假设其他条件不变，下列与图1所反映的信息相符的是

()

图1

A.卷烟税率上调，导致卷烟价格和购买量的变动

B.原油价格下跌，导致汽油价格和需求量的变动

C.银行利率下调，导致棉花价格和种植量的变动

D.汽油价格上涨，导致天然气价格和销量的变动

2.2问题生成

(1)此题是不是选A？

(2)如果选A，“董文”瑕疵何在？

2.3知识准备

(1)与思政学科相关的知识

人教版《思想政治1·经济生活》第一单元第二课“多变的价格”中有弹性和供求曲线等知识，学生已经学习和掌握.弹性与数学中斜率的关系，学生也进行过专题学习.

(2)与数学学科相关的知识

一次函数图象平移的知识，学生在初中数学中就已经学习和掌握了.量化分析和降维，作为一种数学方法，甚至是数学思想，学生运用较少，但难度不大.

2.4教学探究

A选项与图1信息完全相符.关于这个事实，一般的初级版《财政学》和《税收学》教材都有详细的分析和严密的论证，但这种分析和论证超越了高中学生的知识基础和接受能力，不宜直接搬上课堂.因此，本课分为“卷烟税变动的局部均衡分析”和“卷烟税变动的数学分析”两部分.“卷烟税变动的局部均衡分析”对《财政学》和《税收学》中的分析和论证框架做了最大限度的简化解读，主要从理论上论述这一问题，并以此为基础从理论上揭示“董文”的疏漏.“卷烟税变动的数学分析”则建立在数学的基础之上，以学生听得懂的方式指出“董文”的瑕疵，并对这一问题进行通俗化解读.

探究1:卷烟税变动的局部均衡分析

(1)税收变动与市场均衡

下面借助图形，采用局部均衡的分析方法探讨税收变动对市场均衡的影响.局部均衡分析是以单个市场为研究对象，假定该市场与其他市场不存在关联影响，认为该市场的商品需求和供给仅取决于自身的价格.局部均衡是相对于一般均衡而言的，一般均衡分析则以相互联系的所有市场组成的市场体系为研究对象，认为每一商品的需求和供给既取决于自身的价格，也受到其他商品价格的影响.例如，黄香蕉苹果的需求不仅取决于自身的价格，也受到替代品红富士苹果价格的影响.

图中，横轴表示数量，纵轴表示价格，S表示供给曲线，D表示需求曲线.征税前，市场均衡点为E*，均衡价格为P*，均衡数量为Q*.市场的均衡价格和均衡数量取决于需求和供给的相互作用，当需求或供给发生变化时，市场的均衡价格和均衡数量随之发生变化.一般来说，如果在生产和批发环节征税，则税收通过影响商品生产的边际成本即供给曲线移动，从而导致市场均衡状态发生变化.如果在零售环节征税，则税收通过影响商品消费的边际效用即需求曲线移动，从而导致市场均衡状态改变.在我国，卷烟税在生产和批发环节征收，故卷烟税率上调是通过影响供给最终对市场均衡的变化发生作用的.假设对销售者征收从量税，税额为T.由于征税，销售者边际成本提高，从而市场供给减少，即供给曲线S向上移动至ST，移动距离为T，导致形成新的市场均衡，均衡点为ET，均衡价格为PT，均衡数量为QT.税负总额为从量税T与税后均衡数量QT的乘积，即T·QT，就是图中矩形PTP′AET的面积.销售者从销售每单位商品的所得总价PT中扣除从量税T后的税后净价为P′，而征税前，销售者销售每单位商品的所得收入为P*，因此，销售者承担的税负为(P*-P′)·QT，即为图中矩形P*P′AB的面积，剩余税负通过转嫁由消费者负担，即为图中矩形PTP*BET的面积.

由此可得，2015年四川高考文综政治第1题中的图1能够准确反映卷烟税率上调所产生的经济影响，因此，该题选A无误.

(2)价格弹性与税负转嫁

税负转嫁是指纳税人通过各种方式将所交税款的部分或全部转移给他人负担的现象.税负转嫁主要通过商品价格的变化来实现，转嫁的多寡取决于商品的供求价格弹性.需求价格弹性衡量的是需求量对价格变动的反应程度，它表示当一种商品的价格变化百分之一时与所引起的该商品的需求量变化的百分比比值.供给价格弹性反映的是供给量对价格变动的敏感程度，它表示当一种商品的价格变化百分之一时与所引起的该商品的供给量变化的百分比比值.一般而言，税收易于向弹性小的一方转移.具体地说，如果供给方是纳税人，需求价格弹性大于供给价格弹性时，税负转嫁困难，供给方自己承担的税负就大；需求价格弹性小于供给价格弹性时，税负转嫁容易，购买者承担的税负就多.例如，当黄香蕉苹果的价格上升时，消费就会减少对其的需求量，转而增加对替代品红富士苹果的购买量.因为往往某种商品的可替代品越多，其需求价格弹性就越大，这意味着在遇到税收扰动的价格变化时，消费者能够处于比较主动和有利的地位，可以通过增加购买低税替代品，减少消费高税商品，从而减轻甚至避免税负转嫁.对于供给价格弹性，比如时间和产品生产周期就是很重要的影响因素.企业根据商品价格的变化调整产量需要一定的时间，短期内缩减产量往往比较困难，相应供给价格弹性就小；长期来看，调整生产规模甚至转产都有可能，供给价格弹性就大.另外，随着价格的变化，产品的生产周期越短，产量调整就越及时，供给价格弹性就大；产品的生产周期越久，产量调整就越困难，供给弹性就小.当然，就特定商品而言，其供求价格弹性的具体大小要通过实证研究测算.

《高考命题应科学严谨》一文在第二部分分析中，认为“卷烟税率上调，企业把国家税收转嫁到消费者身上.”其暗含的前提是，卷烟供给价格弹性几乎为∞，即供给曲线接近平行于横轴；或者卷烟需求价格弹性趋向于0，即需求曲线相当垂直于横轴，这意味着人们对香烟的需求是刚性的，即无论价格如何变化，需求量恒定不变，那么税率上调就难以起到控烟的作用.然而，文章认为卷烟价格对卷烟需求量并非没有影响，即卷烟的需求价格弹性不为0.第二部分论述道:“卷烟税率上调，从而导致卷烟价格提高，消费者购买量(需求量)减少.”第三部分进一步强调:“卷烟税率上调后，卷烟零售价格上涨，需求量减少.”因此，只能是供给价格弹性为∞.但是，第三部分却提出“卷烟税率上调后，卷烟零售价格会上涨，但对卷烟生产企业基本没有影响，即供给量不会发生大的变化.”这又意味着卷烟供给价格弹性趋近于0，即供给曲线几乎垂直于横轴.论证逻辑前后矛盾.

综上所述，《高考命题应科学严谨》一文判定A项不能入选应属冤假错案，理当平反.

探究2.卷烟税变动的数学分析

(1)量化分析

“董文”第二部分认为“卷烟税率上调，企业把国家税收转嫁到消费者身上.”企业是否能把税负全部转嫁给消费者，企业自己完全不承担税负？

“董文”第三部分认为“卷烟税率上调后，卷烟零售价格会上涨，但对卷烟生产企业基本没有影响，即供给量不会发生大的变化.”卷烟税上调到底对卷烟生产企业有没有影响，供给量到底会不会发生大的变化？

下面通过举例来回答这两个问题.

假设消费者每天的香烟预算消费支出为40元，香烟价格为20元/包，则消费者每天消费2包烟.征税30元/包后，企业欲通过上调价格转嫁全部税负，价格上涨至50元/包，显然，香烟价格超过了消费者的预算消费支出，消费者无力购买，企业利润无法实现.于是企业自行承担税负10元，剩余20元税负通过上调价格转嫁给消费者，价格上涨至40元/包，此时，消费者每天只能消费1包烟.假设企业的生产成本为10元/包，则征税前的利润为20×2-10×2=20元，征税后的利润为40×1-10×1-30=0元.可见，征税前后，企业的利润不同.

通过这个例子，可以回答上面提出的两个问题.企业很难完全把税负全部转嫁给消费者，而自己一点税负都不承担.同时，由于税率变化会影响企业的利润，所以供给量势必也会发生一些变化.

(2)降维分析和平移分析

《财政学》和《税收学》教材的理论分析是建立在一定的专业基础之上的，已超越了高中学生的认知阶段，并不适宜直接搬上课堂.因此本课运用数学知识进行了适当的技术处理.

对于二元函数Z=f(X,Y)，要研究自变量变化对因变量的影响，先固定一个自变量，再研究另一个自变量变化对因变量的影响.即研究X变动对Z的影响，就将Y固定，视为常数.研究Y变动对Z的影响，就将X固定，视为常数.二元函数的图示变化效果要在空间坐标系中观察.以上做法的实质是将二元函数化为一元函数，利用一元函数的方法研究自变量变动对因变量的影响.例如，假设二元函数的表达式为Z=f(X,Y)=aX+Y，固定Y，即将Y视为常数b，则二元函数可以化为Z=f(X,Y)=aX+Y=aX+b=f(X)，同时，空间坐标系的三维图示演示转化为平面坐标系的二维图示演示，效果更为直观.

把香烟的供给S视为价格P和税率T的二元函数，即S=f(P,T)，要研究T变动对S的影响，先固定P，如上图所示，假设P固定在P0，T=T0对应供给量S0，随着税率T由T0提高至T1，供给量减少，即小于S0，故供给曲线左移至S1S0.综上所述，卷烟税率提高，供给量减少，供给曲线左移.

3.教学反思