基于系统辨识与变步长标定的调高器复合控制*

李展超，贺云波

(广东工业大学机电工程学院，广州 510006)

0 引言

激光切割机在加工金属板材时，由于激光在聚焦点的能量是最大的，为了获得高质量的切口同时使得耗能最小，割嘴到被割工件表面的高度必须保持基本一致[1]，而电容调高器能将电容值转换成位置信息间接进行位置闭环，能有效解决定高随动的需求，因此得到了广泛应用和大量研究[2-4]。王海[5]介绍了包含电容传感器在内的三种主流非接触式测距技术，阐述了电容传感器测距应用于激光切割的可行性及优点，并进一步研究了电容调高系统的软硬件组成；张晓辉[6]在搭建了电容调高系统后，使用均匀步长标定法进行标定并采用传统的PID控制，实现了100 μm的定位精度。刘昂[7]则采用了曲线拟合的方式对标定数据进行逼近，同时结合变论域思想和模糊控制理论对电容调高系统进行闭环控制，证明了该算法的可行性。可见，电容调高系统的定高随动精度受到多方面的限制。其中，采用哪一种标定方法将电容值与位置信息关联起来，将会影响到反馈编码器值的插值精度直至闭环控制质量，而控制器参数的选定也会对系统的响应速度和定位精度产生影响。

本研究提出了变步长的标定方法，对工作行程的标定点分配进行优化，最大程度增强标定曲线的单调性，提高反馈编码器值的插值精度；在控制器参数方面，则结合系统辨识和零极点配置方法，对系统进行模型构建，并利用计算机对PID参数进行寻优，与前馈控制一同构成复合控制，实现了调高器的高精度定位及随动。

1 电容调高器控制系统

如图1所示，电容调高器控制系统主要由电容传感探头、检测电路、端子板、调高控制器、驱动器和直线电机运动平台构成。调高控制器的工作原理如下：先由电容传感探头获取到当前的电容频率信号，该信号通过检测电路并经由端子板传输到调高控制器里；然后，经调高器查表插值得到对应的探头位置信息，并以此作为反馈信号进行位置闭环控制，由端子板输出模拟量给驱动器；接着，由于驱动器内部实现了速度闭环和电流闭环，接收到模拟量后，驱动器直接输出电流信号驱动直线电机运动平台，带动电容传感器探头运动，形成闭环控制。

图1 电容调高器控制系统结构图

电容传感探头的电容感应环与代切割金属板间形成两平板间电容，电容C大小与两者间的距离d有关，其关系公式如下：

(1)

其中，ε为介电常数，S为感应环与金属板间的正对面积，可以发现，电容与板间距离成反比例关系，且随着距离增大，电容大小变化幅度越小，单位距离可以利用的参考电容越有限，这在很大程度上决定了电容调高器的工作行程范围。除此，由于产品特性的限制，电容传感器探头所获取的电容信号是一个在一定范围内不断跳变的值[8]，因此，相比编码器位置闭环，利用电容进行位置闭环的控制方式更加关心反馈信号的质量。下面从标定法和控制器设计两个角度切入，对提高电容调高器的控制效果进行综合讨论。

2 电容-探头高度标定

2.1 均匀步长标定法

利用探头获取到的电容值做闭环控制，是实现激光切割定高随动非常好的解决方案，而在这之前，需要通过标定来将电容信号与探头的高度信息对应起来，这组对应关系就叫做标定表，而将标定表上的点连接起来所得到的曲线就称为标定曲线。一般来说，标定点越多，越能正确反映电容信号与探头高度的对应关系，并且调高器闭环精度也会越高。但是，如图2所示，由于在某一定点的电容信号本身是在一定范围内跳变的，因此，如果两标定点的距离过小，是可能存在距离d较大的那点电容测量结果反而比较大的情况，这样标定下来就会出现标定曲线单调性不纯的现象，严重影响反馈信号的质量。

图2 探头在0.5 mm高度所获取电容信号

传统的标定方法是采用均匀步长，探头每前进一个固定步长就记录下一组对应关系，这样的标定方法简单方便。然而，如果标定步长过大，则标定点数不够多，闭环精度不高；而步长过小的话，又容易在电容值变化幅度较小的行程后半段出现标定曲线单调性不纯的现象。因此，均匀步长标定出来的效果往往不是最优的，其难以在标定密度和标定曲线单调性两者间找到平衡点。

2.2 变步长标定法

由式(1)可知，随着板间距离d的增大，电容C曲线斜率越小，即单位距离的电容值分辨率将越小。利用电容和探头位置的这种关系特性，设法在电容值分辨率较高的行程插入更多的标定点，而在电容分辨率较低的行程减少标定点，以充分利用每一段行程电容分辨率的同时严格保持标定曲线单调性为宗旨，形成一种梯度下降式的变步长标定方法。由该方法得到的标定曲线，将严格按照单调递减的趋势变化，且标定点的密度将达到较为理想的状态，充分满足标定表的两项指标。

3 基于系统辨识的复合控制

3.1 系统辨识

PID控制在工业界得到极其广泛的应用，一般情况下，凭经验对参数进行调整就能基本满足性能要求。然而，在精密制造行业，由于其对定位精度要求更高，一般达到微米级别，此时，在控制器设计过程中就不能忽略摩擦力、时滞以及各种外界干扰对系统产生的影响了[9]，传统的经验调整法将难以获得满意效果。而系统辨识作为一种可以根据系统的输入输出来确定系统数学模型的方法，能够有效降低和抵消这些因素对系统的影响，为PID控制参数调整提供较为准确的模型参考。系统辨识有多种实现方式，本研究采用了Sweepsine扫频信号，以频率逐步增大的正弦信号作为输入，对包含调高器和驱动器在内的整个系统进行开环扫频，其中，扫频信号的幅值和频率分布如表1所示。

表1 扫频信号

在扫频过程中，系统的输入信号为运控卡的DAC输出，上下限为±32 767，输出信号为直线电机运动平台的编码器值。通过正弦扫频得到的输入输出数据表征的是系统的时域响应，通过快速傅里叶变换方法(FFT)可获得对应的频域响应，其频率特性曲线即伯德图如图3所示。

图3 调高器系统伯德图

结合零极点配置原理和最小二乘法，对频率特性曲线进行拟合，如图4所示，可以发现，当取4个极点和2个零点的时候，曲线拟合度最高，达到94.45%，其对应的传递函数如下：

(2)

虽然此时高频段的拟合度不高，但由于系统主要工作在中低频段，故这种拟合程度是可以接受的。在文献[9]中，作者对包含驱动器和直线电机在内的系统进行了机理建模，最终得到了一个四阶系统。由此可知，“调高器+驱动器”的机理模型也是一个四阶系统，可以判定，经由该系统辨识方法识别到的数学模型与真实情况是比较吻合的，可以作为控制器设计的基础。

图4 系统幅频特性曲线及其拟合曲线

3.2 复合控制研究

通过系统辨识得到系统模型的传递函数后，利用MATLAB的Simulink工具箱搭建调高器位置闭环控制系统仿真模型如图5所示。其中，用Saturation模块对位置环PID控制器输出即DAC进行边界约束，数值范围为±2000。利用PID控制器模块的tune功能，在确保控制器输出量不超限的情况下，尽量提高系统的响应速度和鲁棒性，结果得到一组PID参数，分别是Kp=35.074，Ki=1 060.209，Kd=0.145，完成PID参数寻优。

图5 调高器位置闭环控制仿真模型

由于PID控制属于反馈控制，实际输出总是落后于规划输入，且规划输入变化越快，实际输出越是跟随不上，存在明显的滞后现象。在高速高加速的应用场合中，单纯PID反馈控制将不可避免地产生较大的跟随误差，此时，引入前馈与反馈构成复合控制，将有效弥补单纯PID反馈控制的不足[10]。

如图6所示，已知系统的传递函数为G(s)，位置环控制器传函为Gc(s)，前馈传函为Gf(s)，反馈回路增益H(s)=1，系统输入输出分别为R(s)和Y(s),推导得位置跟随误差

(3)

(4)

联立式(2)和式(4)，可求得速度前馈系数vff=0.014 899 8，加速度前馈系数aff=0.000 070 7。

图6 前馈控制结构图

4 调高器高度控制实验

4.1 变步长标定结果

调高器的随动高度一般为0.5～20 mm，在30 mm的行程内对调高器进行标定即可满足一般随动高度的要求。采用变步长的方法，根据电容值随板间距离的变化规律将30 mm的行程划分为5段，并在每段都插入相应数量的标定点，以充分利用每一段行程电容分辨率。标定点分布如表2所示。

表2 变步长标定点分布情况

如图7所示，由变步长标定法得到的标定曲线近似为一条反比例曲线，且光滑柔顺。对标定曲线相邻两点作差可得电容随探头高度增加的变化率曲线，可见曲线Y值尽可能地靠近X轴且总小于零，电容随着探头高度增加绝对递减，由此插值出来的位置反馈值也将是唯一的。标定结果表明，相比均匀步长标定法，变步长标定法更能平衡标定密度和标定曲线单调性两个指标，极大地提高反馈信号的插值精度。

图7 标定曲线及其单调性

4.2 调高器定高随动结果

变步长标定完成后，采用上一节的复合控制方案，将计算得到的PID参数和前馈参数写入控制器，在不同的高度下对调高器的定位精度进行测试，结果如图8所示。可以发现，10 mm内能实现±80 μm以上的定位精度，而在0～1 mm的高度定位精度更是达到了±5 μm以上。

图8 调高器在不同高度下的定位精度

接着，以激光切割最常用的定位高度0.5 mm为例，对调高器的动态跟随性能进行实验。让调高器以0.02 m/s的速度和0.5g的加速度从0.05 mm跑到0.5 mm的高度，记录下运动时间和对应的光栅位置信息，结果如图9所示。可以看出，系统超调量为2.4%，过渡时间为70 ms，稳态误差为1.5 μm，基本满足调高器在0.5 mm处的性能要求。

图9 0.5 mm处的动态跟随曲线

5 结束语

为了提高调高器基于电容信号的位置闭环控制质量，本研究首先针对均匀步长标定无法兼顾标定密度

和标定曲线单调性的缺点，提出了变步长的标定方法，大大提高了标定曲线质量和反馈信号的插值精度；其次，提出了基于系统辨识的复合控制方案，利用系统辨识对PID控制器参数和前馈系数进行寻优，使得系统兼具快速性和高稳态精度。实验结果证明，两者结合起来可以实现调高器的高精度定位和动态跟随，为调高器今后的研究提供了重要参考依据。

由于调高器电容值容易受到环境的影响而产生噪声，故电容值一直是跳变的，如果可以将噪声降至最小，将会进一步提高反馈信号的质量。在下一阶段，本研究将着眼于电容反馈信号的去噪声处理，进一步提高调高器的闭环控制质量，实现调高器的高精度定位和稳定性。