基于分数阶二阶滑模的PMSM转速控制*

任金霞，王 瑞，杜增正

(江西理工大学电气工程与自动化学院，江西 赣州 341000)

0 引言

永磁同步电动机(PMSM)由于其高效率、低惯性和高扭矩惯量比等高性能特性而在工业应用中得到广泛应用。在许多应用中，PMSM的快速响应和高精度转速控制是一个具有挑战性的领域。PMSM容易受到外部扰动和自身参数变化等不确定性影响，当系统受到扰动时，传统的PI控制难以达到令人满意的控制效果。对于永磁同步电机易受外界环境和自身参数变化影响的问题，采用滑模控制能够取得良好的控制效果。滑模控制对扰动的敏感度较低，响应速度快，因此能够提高控制精度，使系统具有较强的鲁棒性，但是存在抖振问题。二阶滑模既保留传统一阶滑模的优良特性，能够使滑模面在有限时间内趋于0，同时能够减小系统的抖振。文献[1]中针对永磁同步电机控制的电流环设计了一种二阶终端滑模控制器，使电机的电流和速度稳态得到了降低，能有效地抑制抖振。文献[2]针对永磁同步电机的转矩变化问题提出了一种二阶滑模转速控制器，能够削弱转矩抖振，提高系统的稳态性能。

近年来学者们研究发现分数阶系统在一定程度上的控制性能要优于整数阶系统。分数阶控制系统对信号具有记忆性，它比传统的PID控制多了两个可变的自由度，微积分的阶次不再仅限于整数，而是可以为分数。因此，在控制系统中可以灵活选择系统的微积分阶次，使系统达到最优控制。文献[3]提出了一种模糊分数阶变阶次滑模控制，实验结果表明电机在该方法下的控制性能要优于常数阶次滑模控制。文献[4] 提出了一种基于分数阶滑模与快速指数趋近律的永磁同步电机输出功率控制策略，实验结果表明电机能够更有效地追踪功率输出值，能够有效降低抖振现象。

为了进一步削弱抖振和减小稳态误差，本文将分数阶与二阶滑模控制相结合，设计出一种新型的基于分数阶滑模面的二阶滑模控制器。相比于传统的二阶滑模控制器，该方法能够使永磁同步电机的动态响应时间更快，抗扰动能力增强，能够减小自身参数变化带来的影响，有效地改善系统的动态和稳态性能。

1 分数阶微积分定义

分数阶微积分实际上是任意阶微积分，阶数甚至可以为复数[5]。对于分数阶微积分算子，定义为：

(1)

在分数阶理论的发展过程中，出现了多种定义，最常见的R-L分数阶积分定义为:

(2)

其中，t>0,α∈R+，Γ(α)为Gamma函数：

(3)

2 永磁同步电机数学模型

对于表贴式永磁同步电机，为了获得较好的控制效果，采用id=0控制，则在d-q坐标轴下的数学模型为:

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，ud、uq、id、iq分别是电机的d-q轴电压和电流，Ld、Lq分别是d-q轴电感，ψf为磁链，pn为极对数，ω为电机转子转速，B为阻尼系数，J为转动惯量。

3 基于分数阶滑模面的二阶滑模转速环控制器设计

3.1 二阶滑模原理

滑模控制结构简单，对外部扰动及系统自身参数的变化不敏感，因此具有较强的鲁棒性。二阶滑模既保留了传统滑模的优点，又能使不确定的控制量在滑模面上的运动轨迹趋于原点，并有限范围内得到有效控制，从而削弱了系统抖振。

对于一个动态非线性系统，

(8)

假设所求系统的相对度为2，为了使系统稳定，对σ进行两次求导有：

(9)

(10)

3.2 分数阶滑模控制器的设计

定义转速跟踪误差为：

e(t)=ω*-ω

(11)

其中，ω*为参考转速，ω为电机实际转速。设分数阶滑模面为：

(12)

其中，c是大于0的常数，表示滑模增益。对式(12)连续两次求导可得：

(13)

(14)

3.3 控制率的选择

“螺旋算法”是二阶滑模中一种最简单的算法。这种算法能够使系统的运动轨迹螺旋式地收敛到原点。其控制量的具体形式为：

(15)

若|σ|≤A，A是一个大于0的有限的常数，那么在限定的时间内，σ(x,t)收敛的条件是：

(16)

基于滑模策略的永磁同步电机转速环控制的实现框图如图1所示。

图1 转速环的二阶滑模控制框图

本文所设计的基于分数阶二阶滑模的PMSM转速控制系统控制框图如图2所示。

图2 系统控制框图

在图2中可以看到，在PMSM矢量控制当中，采用id=0控制方法，利用参考转速和电机实际转速之间的误差，设计了一个分数阶二阶滑模控制器来对速度环进行控制，从而使得PMSM的性能得到改善。

4 仿真及实验结果分析

对于永磁同步电机的速度环二阶滑模控制，滑模面阶次取α=1和α=0.1两种情况，分别对传统二阶滑模(即α=1)和分数阶二阶滑模(即α=0.1)以及传统滑模控制的情况进行仿真，并在不同工况下验证所提方法的稳定性和鲁棒性。表贴式永磁同步电机的参数如下：极对数pn=4，定子电阻R=2.875 Ω转动惯量J=4.8e-6 kg·m2，d-q轴电感Ls=8.5 mH,永磁体磁通ψf=0.175 Wb，直流母线电压为311 V，摩擦系数B=0 N·m·s，给定转速n=2000 r/min，分数阶二阶滑模控制器参数：k1=10，k2=60，c=100。

4.1 空载状态下启动

给定初始转速为2000 r/min，使电机在空载状态下启动，仿真结果如图3所示。从图中可以看到在传统二阶滑模控制时，电机要经过0.08 s的上升时间才能到达稳定状态，存在约6转的稳态误差；而在分数阶二阶滑模控制时，电机经过0.04 s的上升时间到达稳定状态，上升时间是传统二阶滑模控制情形下的50%，稳态误差几乎为0。传统滑模控制时，电机转速响应存在450转的最大超调量，且调节时间较长，在0.2 s才进入稳定状态。对于三相电流，相比传统二阶滑模情形下，在分数阶二阶滑模控制情形下电机的三相电流能够更快地趋于稳定状态。在分数阶二阶滑模情形下，电机的动态响应性能得到了提高。而传统滑模情形下，电机的三相电流在趋于稳态的中途出现抖振，控制性能不佳。

(a) 电机转速 (b) 分数阶二阶滑模情况下的三相电流

(c) 传统二阶滑模情况下的三相电流 (d) 传统滑模控制情况下的三相电流图3 空载启动状态下的输出

4.2 加入负载

给定初始转速为2000 r/min，使电机在空载状态下启动，在0.4 s时加入6 N负载，仿真结果如图4所示。从图中可知，当加入负载时，在传统滑模控制下，电机转速出现较大的抖动，且在0.54 s才回到稳定状态。在传统二阶滑模控制情形下，电机的转速出现波动后在0.44 s时重新进入稳定状态，调节时间为0.04 s,存在8转的稳态误差；在分数阶二阶滑模控制情形下，转速经过波动后在0.41 s时重新进入稳定状态，调节时间为0.01 s,仅为传统二阶滑模控制情形下的25%，并且稳态误差趋于0。另外，对于电机的三相电流，传统滑模控制要经过较长时间的波动进入稳态，分数阶二阶滑模控制下能够保持传统二阶滑模控制的控制效果，当加入负载时，电流增大，并且迅速进入稳定状态。因此，在分数阶二阶滑模控制下，系统具有较强的抗负载扰动变化能力。

(a) 电机转速 (b) 分数阶二阶滑模情况下的三相电流

(c) 传统二阶滑模控制时的电流 (d) 传统滑模控制时的三相电流图4 加入负载时电机的输出

4.3 PMSM转动惯量变化

由于对PMSM的建模可能存在误差，为了分析PMSM的分数阶二阶滑模和传统二阶滑模以及传统滑模控制下电机自身参数变化时的响应情况，给定初始转速为2000 r/min，在以下两种情况下进行仿真对比实验。

情况1：电机的转动惯量J=0.003 kg.m2；情况2：电机的转动惯量为J=0.005 kg.m2。

仿真结果如图5的所示。可知，电机的转动惯量变化时，在分数阶二阶滑模控制下转速的变化波动较小，最大转速误差为243转，在0.05 s时误差趋于0。而传统二阶滑模控制系统下转速的变化波动较大，最大转速误差为376转，在0.08 s时误差趋于0。传统滑模控制下，转速的波动较大，转速误差在-327转～491转之间波动，在0.3 s后误差趋于0。因此，在分数阶二阶滑模控制下，系统受自身参数变化的影响较小。

(a) 分数阶二阶滑模控制情况下的电机转速 (b) 分数阶二阶滑模控制情况下的转速误差

(c) 传统二阶滑模控制的电机转速 (d) 传统二阶滑模控制的转速误差

(e) 传统滑模控制的电机转速 (f) 传统滑模控制的转速误差图5 转动惯量变化时电机的输出

经过以上分析可知，相比于传统的滑模控制和传统二阶滑模控制中存在的抖振问题和稳态误差问题，当系统发生扰动时和自身参数变化时，在分数阶二阶滑模控制下电机的抖振较小，动态性能和稳态性能都能得到有效提高，使系统具有良好的鲁棒性。

5 结论

本文将分数阶微积分理论和滑模控制理论相结合，设计了基于分数阶滑模面的二阶滑模转速环控制器，利用“螺旋算法”进行求解，并在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真，仿真结果表明相比于传统二阶滑模控制，永磁同步电机的动态和稳态性能都得到了

改善，能够有效削弱抖振，验证了所提方法的可行性和有效性。