结构化视角下“两位数乘两位数”与“面积模型”的联结与拓展

□ 刘 霞

“数学基础知识的教学，不应求全，而应求联。”人教版教材中，乘法运算意义的理解是引导学生借助小棒，基于计数单位进行思考实现的；面积的度量是引导学生借助乘法运算的意义，基于计量单位进行学习实现的。其实，两者可以进行适度整合，如果能让学生在对比思辨计数与计量的异同中建构算理，那么他们不仅能对运算意义的理解增加一个维度，对面积概念的认知也会更加清晰。从运算意义出发，借助“面积图”进行“两位数乘两位数”算理和算法的联结与拓展，是结构化教学的有效路径。

一、逐层递进，布局结构化教学设计

逐层递进的教学设计，符合学生思维发展的规律。笔者循着思维进阶的梯度，设计了三个课时的任务，让学生在问题驱动、活动探究和知识应用中达成知识系统的网状构建。具体路径如表1所示。

表1 教学设计路径

续表

第一课时重在联结，将乘法竖式分别与点状图和面积图建立联结，要达成两个目标：①进一步理解乘法运算的意义；②体验计数和计量中都可以探寻到运算的意义，在内化运算意义的过程中体会面积的本质。

第二课时重在拓展，关注三个梯度的探究活动，从点状图到面积图再到抽象图式，探究两位数乘两位数的图式分解，是一次结构化的探究过程。

第三课时重在应用，应用图式分解进行积最大、最小、积变化和算式大小判断等问题的解决，并渗透问题解决的结构化路径。

二、课堂实践，助推结构化思维进阶

结构化的教学助推结构化的思维，课堂实践中可以从学生的表达中听到思维绽放的声音，联结拓展的结构化教学在思维进阶中的助推作用清晰可见。

（一）几何直观建构计数到计量的联结，锤炼思维灵活性

思维灵活性反映了智力的“转移”能力，这正如我们常说的“类比”。乘法运算可用于计数求和，也可用于计量求和，学生往往能解决具体的问题但很少主动建立两者之间的关联，教师以点状图和面积图信息为载体，借助几何直观帮助学生在形与式之间建立联结，锤炼思维的灵活性。具体教学过程如表2所示。

表2 课堂教学过程

以追问的形式倒逼学生思考，学生发现虽然情境不同，体现的现实意义不同，表达的方式不同，但本质相同，都是解决13个22（或22个13）是多少的问题。66 所蕴含的运算意义是3 个22 是66，情境意义分别为66个或66平方分米。后续进一步的对比追问，能够驱动学生在“变与不变”的审辨思考中，发现面积大小的本质就是面积单位数量的累加，明晰乘法运算在不同情境中的应用，从而借助运算的意义建立形与式的关联。

从点状图到面积图，从计数求和到计量求和，结构化教学中的素材选择和问题设计都是从学生思维的起点处出发，在理解的基础上达成知识的类比关联，促成学生思维灵活性的发展。

（二）任务驱动探究意义到图式的拓展，锤炼思维独创性

生活实践中发现和思考问题很重要，创造性地解决问题更重要，社会的进步和发展都离不开思维的创造性品质。结构化教学注重学习层次的螺旋上升和知识间的关联，在纵向建立计数方法和计量方法的联结点后可进行横向拓展练习，这是思维创造性发展的关键点。教师从学生建构清晰的“点状图”出发激发其思考，然后以“面积图”为跳板，最后建构抽象的“图式分解模型”，整个过程既内化了乘法运算的意义，又发展了学生思维的独创性。详细探究过程如下。

1.点状图，感受图和式的联结

点状图非常直观，容易联结学生的思维起点。教学中教师首先借助点状鸡蛋图（如图1），抛出问题：“图和算式分别表示什么意思，你理解吗？”触发学生思考图和式之间的关联。然后以点状鸡蛋图为载体，设计了两个层次的探究活动：①借助图2，让学生感受图到式的关联，体验乘法算式22×13可以分成哪两部分；②借助图3，帮助学生建立式到图的联结，先观察图式的特点再自主构建分解方法，最后回归图形去圈一圈，体验式和图的关系。

图1

图2

图3

2.面积图，建立图和式的联结

操作载体从点状图转换成面积图（如图4），继续引导学生进行图式分解探究，可以在图上画一画后写出算式，也可以写好算式后在面积图上画一画进行验证，探究建构运算的意义。

图4

3.抽象图，建立思维和图式的联结

建构抽象图可以培养学生的抽象概括能力。以问题“请有序分解这两个算式（如图5）”为驱动，完成抽象图式的有序分解。

图5

三个层次的探究，从借助点状图的模型初探，到面积图的模型再探，到最后抽象图式模型的建立，学生在真实的结构化探究中锤炼了思维的独创性。

（三）问题解决思辨图式到情境的应用，锤炼思维敏捷性

高阶思维的养成需训练思维的敏捷性。思维敏捷性指的是心理活动的速度，表现为能灵活迅速地解决问题。循着“意义思辨、图式思辨、批判思辨和变式思辨”的结构化路径，培养问题解决的策略，可以让学生思维的敏捷性得到发展。

1.意义思辨，夯基础

意义思辨是知识生长的根基，要引导学生从源头处思考问题，寻找对策。如以问题“蔬菜种植区的长和宽是1、2、6、8 四个数字组成的两个两位数且乘积最小，请帮忙找到长和宽”为驱动，培养学生意义思辨的能力。基于运算意义可以将最小的数字1 和2 放在十位，初步得到两种可能——16×28和18×26。从意义开始，助力学生寻找正确的问题解决策略。

2.图式思辨，谋拓展

相对于抽象的意义思辨，图式思辨是一条能缩短学生思考时间的可视化思维路径。在意义深刻构建的基础上，引导学生借助直观图形，运用图式分解的方法直接判断两个算式的大小，是一条可行的拓展路径。

图6

如以问题“观察格子图中的两个图形（如图6），比较16×28和18×26 的大小”引导学生进行图式思辨。学生发现重叠部分为公共部分，只需比较未重叠部分就可以得到结论，由此完成从格子图到算式的分解，使图与式对应，让算理与算法融合。

3.批判思辨，通障碍

批判性思维是新时代学生必备的思维品质。教学中可以设置拐点问题，对学生的批判性思维进行锤炼。当两个数的和相等时，比较两组算式的大小可借助笔算也可基于规律（和相等，差越小，积越大）得出答案，那么当两个数的和不相等时，还能基于规律得出答案吗？很多学生会忽略前提条件，认为此规律依然可行。

这时教师以问题“选出面积最大的方案，方案一：长 71 米，宽 34 米；方案二：长78米，宽31米”为驱动，让学生在小组合作、独立验证的批判思辨中，得出结论：两个数的和不相等时，采用图式分解（如图7）和笔算的方法可行，而借助规律则不可行。

图7

4.变式思辨，促联结

对变式问题的解决是学生思维升华的必经之路。变式练习中，要引导学生找到变与不变的节点，建立已有知识与未知问题之间的联结点。

如以变式问题1“按照从小到大的顺序排列下列算式：A.21×43；B.10×34；C.41×32；D.42×31”为驱动，让学生感受估算（A 和B）、图式分解（C 和D）在问题解决中的便捷性。

如以变式问题2“房子的长增加11 米，面积增加多少？现在的面积是多少？（如图8）”为驱动，让学生借助图式进行问题解决（如图9），缩短问题思考的路径，助推学生的抽象思考能力。

图8

图9

四次思辨过程是一条结构化的问题解决路径，这样的路径让学生的思维在结构化的学习中经历了结构化的进阶。

以上三个课时的设计，是在学生原有知识基础上进行的联结与拓展推进，目标的设计及达成路径符合知识结构化建构和思维结构化发展的逻辑。