剖析建模策略，探究数学模型

娄爱玉

[摘  要] “倡导知识应用，发展模型意识”是高中数学教学的重要理念，教学中应将数学建模作为重点，利用模型探究来提升学生的实践能力，解决实际问题的能力. 文章深入剖析数学建模的意义，探索建模策略，结合实例探究不同模型的构建过程.

[关键词] 数学建模;函数;不等式;数列;三角形;策略

在新课改理念下，数学建模成为高中数学教学的重点，围绕数学建模开展探究活动成为重要的教学方式，也是对“学以致用”学科理念的深入贯彻，同时有利于提升学生的应用意识和核心素养. 数学建模实则是对现实问题的数学抽象，即使用数学语言、数学方法来构建模型的过程. 其中的建模思想对于高中数学学习极为重要，可帮助学生理解知识本质，掌握解题方法，为后续的深入学习打下基础. 在建模教学中，要确立学生的主体地位，充分发挥教师的主導作用，引导学生了解建模的过程，深刻领悟建模的知识与技能.

策略剖析

“抽象概括”是数学建模的核心所在，建模过程是一个完整的闭环，可分为“实际问题”“建立模型”“数学结果”和“实际结果”四个环节，建模流程如图1所示. 总体而言，建模时要用数学语言来抽象概括实际问题，再从数学角度来反映实际问题，从而得出关于实际问题的数学描述.

实际建模可按照如下四大步骤进行：

第一步，读题审题，理解实际问题;

第二步，引入数学符号，思考建模类型，建立数学模型（设定未知量的情形，只需分析对应数学模型即可）;

第三步，利用对应模型的性质及方法解析模型，得出数学结果;

第四步，结合实际情况转译数学结果，得出具体问题的答案.

建模过程需要注意以下几点：

第一，充分分析实际问题，了解建模的目的;

第二，充分捕捉建模对象的特征，挖掘隐含的数学元素;

第三，紧抓主要因素，合理假设，结合关联知识解析数学模型.

模型探究

高中数学中的模型类型较为多样，通常隐含在与实际问题结合紧密的知识内容中，常见有函数模型、不等式模型、数列模型和三角模型等，下面结合实例具体探究不同类型模型的构建过程.

类型一：函数模型

例1：已知一片森林原有面积为a，现计划每年砍伐一些，且每年砍伐的面积百分比相等. 当砍伐到原面积的一半时，所用时间为10年;为保护生态，要至少保留原森林面积的 . 已知到2020年为止，森林剩余面积为原来的 ，试回答下列问题.

（1）试求每年砍伐森林面积的百分比;

（2）到2020年为止，该森林共砍伐了多少年？

（3）从2020年开始，该森林还可以砍伐多少年？

解析：本题目为森林砍伐面积问题，其中的百分比是重点，也是重要的未知量，分析可知该问题可转化为函数模型，利用函数知识来求解.

（1）可设每年砍伐森林面积的百分比为x（0

（2）到2020年为止，森林剩余面积为原来的 ，可据此构建数学模型，设砍伐了m年，则a（1-x）m= a，即  =  ，整理可得 = ，解得m=5，所以到2020年为止，该森林共砍伐了5年.

（3）核心条件是保留原森林面积的 ，现有森林面积为原来的 ，设还可砍伐n年，则有 （1-x）n≥ a，所以  ≥  ，解得n≤15，故从2020年开始，该森林还可以砍伐15年.

评析与总结：使用指数函数或对数函数解题，关键是准确判断模型. 解题时要合理设定模型，然后代入数据进行验证. 对于涉及增长率的问题，常用的指数型函数模型为y=N（1+p）x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间），而幂型函数模型y=a（1+x）n（其中a为基础数，x为增长率，n为时间）. 在探究学习时要把握对应函数模型的性质特征，灵活运用数学方法解析.

类型二：不等式模型

为保护环境，在国家的号召下某厂将废弃物进行回收处理，转化为某种产品. 经过测算，处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系可近似为y=x2-50x+900，并且处理1吨的废弃物可获得价值10万元的某种产品，同时国家补贴10万元，试回答下列问题.

（1）当x∈[10，15]时，判断工厂的回收转化是否可以获利？若可以，请求出最大利润;若不能，请求出国家补贴多少万元，才不致亏损.

（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？

解析：本题目为利润与成本问题，题干已给出相应的函数表达式，第（1）问解析利润可使用对应函数性质，第（2）问解析处理量与成本之间的关系，可采用不等式的性质.

（1）设利润为P，则P与x之间的关系为P=（10+10）x-y，整理可得P=-（x-35）2+325，x∈[10，15]. 由于x=35？埸[10，15]，P=-（x-35）2+325在[10，15]上为增函数，可求得P∈[-300，-75]，所以国家补贴75万元，工厂就不会亏损.

（2）设每吨的平均处理成本为Q，则Q= =x+ -50≥2 -50=10，当且仅当x= 时等号成立. 由于x>0，可得x=30. 因此当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少，且为10万元.

评析与总结：上述第（2）问使用均值不等式模型来解析其中的最值问题，均值不等式是高中数学重要的公式，不等式的成立含有一定的设定条件. 有时构建不等式模型会借助函数，解题时可按照“提炼函数→构建不等式模型→不等式性质求解”的流程突破.

类型三：数列模型

例3：已知一种设备的单价为a元，设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元（a和b均为常数），记设备年平均费用=（设备单价+设备维修和消耗费用）/设备的使用年数，回答下列问题.

（1）试求设备年平均费用与设备使用年数的关系（用y表示设备年平均费用，t表示设备使用年数）;

（2）当a=112500，b=1000时，求设备的最佳更新年限.

解析：由题意可知，设备的维修和消耗费可构成等差数列，故后续分析可构建等差数列模型，然后借助模型性质求解.

（1）设备维修和消耗费可构成以b为首项，b为公差的等差数列，所以t年后设备维修消耗费为b+2b+3b+…+tb= t，所以y= = + t+ .

（2）根据题意结合不等式可得结论 t+ ≥2 ，故y≥500+2 =15500，当且仅当t=15时，年平均消耗费取得最小值，所以设备的最佳更新年限为15年.

评析与总结：数列是一种特殊的模型，既具有函数的递变规律，又具有数的特性. 利用数列模型解析实际问题时，要把握题干中的递变规律，关注变量取值条件. 高中数列模型最为常用的是等差和等比两种模型，探究学习时要掌握数列的定义、通项公式及递推方法，结合实际情形验证结论.

类型四：三角模型

例4：如图2所示，有一公路从正西方向通过城市中心的O点后转向东北方OB. 现准备修筑一条铁路L，L在OA上设立一站A，在OB上设立一站B，∠AOB=135°. 铁路在AB段部分视为是直线段，现要求市中心O与AB的距离为10km. 试问：把A，B分别设在公路上距离市中心多远处，可使AB最短，并求出最短距离.

解析：本题目涉及了最值，与直角三角形密切相关，可构建“三角”模型来研究最值.

过点O作AB的垂线，设垂足为点D，则OD=10，设∠DAO=α，则AD=10cotα，DB=10cot（45°-α），所以AB=AD+DB=10[cotα+cot（45°-α）]，整理可得AB= = ，当45°-2α=0时，即α=22.5°时，AB最短，且最短距离为20（ +1），此时A，B距离市中心O为10 千米.

评析与总结：“三角”模型，即与三角形密切相关的几何模型，对于涉及方位的实际问题常构建“三角”模型，利用三角形边长与角度之间关系，引用三角函数来突破. 构建“三角”模型解题时需注意以下几点：设定统一的坐标方位;关注模型中的转向角;灵活利用三角函数代换公式进行变形.

总结思考

数学模型与生活实际紧密相关，利用模型解决实际问题，充分体现了知识的应用价值. 上述所探究的函数模型、不等式模型、数列模型、“三角”模型是其中的典型代表，在建模解题时需要充分理解对应知识的性质特性，掌握模型构建的方法策略，辨析模型与实际问题的区别. 下面提出几点建议.

建议一，归纳整理类型，数学模型的类型众多，即使是函数模型也包括一次函数、反比例函数、二次函数、分段函数等多种. 实际探究时要注意总结归纳，关注问题的变量关系和取值范围.

建议二，重视模型联系，不同模型之间存在一定的联系，在特定条件下可互相转化，这也是高中数学重要的考查内容. 以上述探究为例，在例3辨析关系时构建了等差数列模型，而求解最值时引入均值不等式，将其转化为不等式模型，求出了最值. 因此探究学习时要注重知識拓展，关注模型联系，完善模型体系.