在“你知道吗”中亲历知识的演变——例谈HPM视角下“年、月、日”的教学

□ 张伟明

人教版小学数学教材（以下简称“教材”）在每册内容中都安排了“你知道吗”这一栏目。这个栏目的内容，或呈现数学发展历史，或介绍重要的数学人物，或展示数学与现实生活、科学技术之间的联系，篇幅短小，意蕴深长，受到了小学数学教师的普遍关注。

教材“你知道吗”这个栏目中有关数学史的内容最多。但对小学数学教师而言，将数学史融入数学教学有很多的困难。如针对教育取向的数学史研究匮乏、教师应用教育史进行教学的经验不足、一线教师群体作为研究者的研究素养偏低，等等。课堂中数学史的运用是HPM 研究的重要方向。目前国内HPM 经过十余年的发展，在关于数学史的教育价值、数学史料的选取原则与运用方式等方面都已经有比较成熟的研究成果。借鉴这些研究成果可以更好地发挥“你知道吗”这一栏目的教育价值。

笔者以人教版三年级下册“年、月、日”的教学为例，对如何将“你知道吗”中有关数学史的内容融入课堂教学进行了实践。

一、教材内容分析

在小学阶段，“年、月、日”是认识时间这一序列教学内容的最后一部分。要确定这节课的教学目标，需要从整体上关注时间这一序列的教材编写情况。

人教版教材关于时间的认识，共分三个阶段进行，安排了以下内容：（1）在一年级上册“认识钟表”单元中主要认识整时；（2）在二年级上册“认识时间”单元中呈现的内容由认识整时过渡到认识几时几分；（3）在三年级上册“时、分、秒”单元中不但认识秒，完成对钟面上能够体现的时间的认识，还增加了有关时、分、秒各单位之间换算与计算的内容；（4）三年级下册“年、月、日”单元是时间相关教学内容的终篇。“年、月、日”的教学，无论是有关量感体验的难度，还是有关时间单位的换算，都与“时、分、秒”的学习有较大差异。

仔细阅读教材，可以发现，“年、月、日”的教学涉及的知识点难度不大，但内容很多。从以往的教学看，学生“掌握”这节课的内容不难，他们能够理解这节课中涉及的相关知识，解决相关问题。但这样的“掌握”不等同于深刻的“理解”，学生对这些知识往往会用却不明其理，陷入只是知道而已的僵局。

但值得关注的是，教材中“你知道吗”这个栏目中的内容其实已经蕴含“为什么会有平年有闰年，为什么四年一闰而百年不闰、四百年又闰”等问题的答案。其他版本的教材，如北师大版教材、浙教版教材等也用“你知道吗”“阅读资料”等方式对这些内容做了介绍。这提示教师，认识“年、月、日”不应仅停留于了解知识，还应深究知识背后的数学规律与原理。教师在教学中要重视帮助学生通过阅读史料来知其因明其理，可以将历法的产生演变史融于“年、月、日”的教学，引导学生通过“你知道吗”这个栏目对有关“年、月、日”的数学规律进行总结分析，更好地帮助学生突破知识的难点。

二、相关史料分析

年、月、日是最早出现的计时单位，是人们在生存、生产、生活的需要中，结合地球自转引发昼夜交替、月亮绕地球公转引发月形圆缺、地球绕太阳公转引发四季变换等现象逐渐形成的。显而易见的是，人们对日的认识要早于对月的认识，对月的认识又早于对年的认识。这与今天学生认识“年、月、日”的顺序是一致的。“年、月、日”的认识展开也要像其他度量单位的认识一样，让学生在经历“从多元到小范围的统一，再到大范围的统一”的过程中形成自己的度量结构与观念。但有别于其他人为规定的度量单位，“年、月、日”的最终确立是自然性与人为性的统一。一方面，年与日都是自然规律的真实反映，一天的持续时间有多长、一年有多少天都是自然存在的客观规律；另一方面，公历每月的时间有多长是人为规定的，而因为规定中每月天数的不同，有了大月、小月与平月之分。

目前世界通用历法是格里高利历，其基础和主要部分都来自罗马时代的朱理亚历。“朱理亚”即凯撒大帝，他对历法进行了革命性的修订，确定了一年有12个月，每年从1月开始，除2月平年29天，闰年30 天，其余月份30 天和31 天交替，奥古斯都大帝对凯撒的历法进行了修改，因其生在八月，遂将八月设为31 天，其余月份变为了今天公历历法上各月份的状况，格里高利是罗马教皇，他对历法的贡献是确立了百年不闰、四百年又闰。

三、教学实践

结合教材和阅读材料的分析可以发现，将数学史相关素材融入教学将有利于学生对数学规律性与人为性的认识。基于对相关史料的梳理，“年、月、日”的教学设计思路如图1所示。

图1 “年、月、日”的教学设计思路

（一）把握学情，以问导学

引入课题后教师提问：关于“年、月、日”，你已经知道了什么，还有哪些想知道的？学生交流后，教师进行梳理并板书（如图2）。之后教师小结引导：同学们的这些问题啊，古人也问过，想不想知道他们是怎么解决的？（生：想）那让我们玩一次穿越，看看他们是怎么解决的吧。

图2

（设计意图：通过对话了解学生的已知与未知，形成知识结构图，并以此为情境资源，带领学生穿越到古代，与古人对话。）

（二）借助史料，重构日历

1.认识“日”

通过生生互动的方式介绍“日”的含义，让所有学生都了解一日指的就是一昼夜。

2.认识“年”

（1）同样在生生互动中解释“年”的含义。

（2）引导学生通过阅读教师提供的材料，探究有关平年、闰年的由来以及计算平、闰年的方法等。学生借助史料明白年的由来之后，教师提问：“一年究竟是多少天呢？”学生犯了难，因为从公转时间365 天 5 时 48 分 46 秒来看，既不是 365 天，也不是366 天。围绕学生的困难点，教师引发学生讨论。选取教学片段如下。

师：比365天多一点，比366天又少一点。那怎么办呢？（短暂思考后）老师建议大家可以从我们近些年的年历卡中去找找线索。为了便于大家思考，老师统计了2013~2021 年的数据（图3），供大家观察思考，相信你一定会有启发。

图3

生：3个365天之后就跟了一个366天的闰年。

师：为什么会有这样的规律呢？跟你的同伴讨论讨论。

（学生独立思考，讨论交流后反馈）

师：一年若是365 天，那就少算6 小时，到第四年，一共少算24小时，也就是1天；这1天加在第四年，那这一年就有366天了。正是因为一年的时间不是整天数，因此古人就用上了数学的方法进行计算和调整，怎么样，这个办法聪明吧！（生点头）

师：同学们刚才的发现，古人用了“四年一闰”四个字来归纳。请你轻轻地读一读，你明白这是什么意思吗？（生答）

3.认识“月”

（1）通过师生相互交流，介绍“月”的含义。

（2）借助微课等方式介绍数学史相关知识，引导学生探究：每个月的天数为什么不同？

师：人们根据月相的变化规律，把一年分成12个月份，每个月都是30天。可是这又出现问题了。你们知道出什么问题了吗？

生：12×30=360天，这样就只有360天了。

师：平年就少了5 天，闰年就少了6 天，那该怎么办呢？让我们打开日历卡，找一找答案。

（学生记录日历卡上的数据，并进行比较）

（3）博古通今：数学史沟通现行日历。

师：为什么2月会少这么多呢？让我们回到古代，去看看到底是怎么回事。

师播放微课：《谁动了二月那几天？》（微课来源：袁晓萍《学会向学生借智慧》）

师：凯撒和奥古斯都对日历做了点什么？

生：凯撒把1、3、5、7、9、11 月这样的单数月定为31 天，这样就增加了6 天，于是他把2 月去掉了一天，变成29天，这样刚好是365天。

生：奥古斯都把他自己的生日月定为31天，然后把 10、12 月也相应调整为 31 天，那么 9、11 月就变成30 天，这样2 月又得去掉一天，也刚好是365天。

师：你能试着编出2021年的日历吗？

（学生创编2021年的日历，并进行比对）

师（小结）：因为有了地球自转，有了昼夜更替，就有了日；因为月球绕着地球转，有了月圆月缺，就有了月；因为地球绕着太阳转，有了四季变换，就有了年。

（设计意图：在探究活动的指引下，学生经历了年、月的发生发展过程。通过微视频的观看，体会人为因素对数学发展的影响。这一环节的教学，让学生切实地感受到数学的价值，体会到古人的智慧。从这一意义上说，数学史链接的是前人，启迪的是今人，丰盈的是未来。）

（三）融今练习，透析难点（略）

（四）小结启思，借古生智

师生共同整理回顾知识点以及学习方法。之后，教师出示有关“百年不闰，四百年又闰”的史料，供学生阅读。

（设计意图：在让学生理解“年、月、日”本质的同时，以整理回顾的方式让学生脑海中已有的知识在数学史的推进中进一步深化，同时将有关“百年不闰，四百年又闰”的史料以留白的方式让学生的思维在有限的空间里得到无限的延伸。）

四、结语

以“你知道吗”为起点，参照“年、月、日”的相关历史，按照“日—月—年”的顺序重构知识的发生发展过程，利用微视频附加式地介绍二月天数的确定过程，学生在昼夜、圆缺、四季等生活规律中抽象出“年、月、日”的数学知识及其数学规律，知道平年、闰年、大月、小月等相关知识，了解其来历和原理，学生不再停留在看似知道实则不知的窘境上，此为数学史的知识之谐。从数学思考的角度看，以问引学的学习方式，引领学生在谈话中充分暴露自己的已知与未知，同时又以已知为起点，穿越回过去，自主探究“一年的天数不同”和“一月的天数不同”的问题。这样的探究更全面、更清晰、更深入，此为数学史的探究之乐。从问题解决的维度看，学生在上述问题探究中，发现问题和提出问题的意识与能力得到了增强，比较、推理等数学思维得到了发展，此为数学史的能力之助。从情感态度的角度看，学生经历的是数学知识的发展历程，感受的是先人的聪明才智，学生意识到自己的方法和认识与先人相似，学好数学的信心得以提升，而从生活规律到数学规律的抽象，学生感受到数学与生活紧密相关，课堂小结处有关“百年不闰，四百年又闰”这一史料的推出又将数学史进一步延伸，此为数学史的文化之魅与德育之效。

“年、月、日”的教学基于HPM，既是“你知道吗”的拓展应用，变附加式的介绍为重走知识的发生发展过程，又是多元数学史教育价值的实现，更是德育之效、文化之魅与知识之谐、探究之乐、能力之助的融合。可见，“你知道吗”这一栏目的使用方式与教育价值较为多元，以此为切入点实践数学史的数学教育，能转变学生和教师对知识点的“假知道”“真迷失”，变陈述性知识为概念性理解，真正从知识的演变中理解其本源。