具有恐惧效应的三种群食物链模型的长时间行为

庄科俊

(安徽财经大学统计与应用数学学院，安徽 蚌埠 233030)

捕食者与食饵的交互作用是种群生态学中最基本的种间关系之一，也是复杂生态系统的重要组成部分.作为捕食者-食饵系统的一种特殊形式，食物链模型引起了众多研究者的广泛关注，并得到了许多有意义的结果[1-3].最近的研究表明，食饵对捕食者的恐惧可以产生与被捕食同样的效果，从而可能导致连锁反应并传递到整个食物链[4].因此，文献[5]首先研究了一类具有恐惧效应的捕食者-食饵模型，并发现恐惧效应会影响平衡解的稳定性与Hopf分支的存在性.随后，一些学者也从不同角度研究了恐惧效应对捕食系统的动力学行为的影响[6-9].

1 数学模型

受文献[5，10-11]的启发，本文主要研究如下考虑食饵具有恐惧效应的三种群食物链反应扩散模型：

(1)

其中：u(x，t)、v(x，t)、w(x，t)分别表示食饵、中间捕食者、顶级捕食者在位置x、时刻t的种群密度，所有系数均为正的常数；di(i=1，2，3)分别表示三个种群的自由扩散系数；ri(i=1，2，3)分别表示三个种群的出生率；f1、f2分别表示食饵和中间捕食者的恐惧因子；aii(i=1，2，3)分别表示三个种群的种内竞争系数，a12、a23分别表示中间捕食者对食饵、顶级捕食者对中间捕食者的捕获率，a21、a32分别表示食饵向中间捕食者、中间捕食者向顶级捕食者的转化率；Ω表示N(N=1，2，3)中具有光滑边界∂Ω的有界区域；Δ表示拉普拉斯算子.模型(1)服从齐次Neumann边界条件，且具有非负的初始条件：

关于模型(1)的相关情形，已经得到了一系列的研究结果.例如，文献[10]研究了对应椭圆系统解的存在性问题，文献[12-13]分别研究了交错扩散模型的Turing不稳定性与时空斑图的性质.然而，这些研究工作并没有考虑食饵的恐惧效应对整个食物链的影响.因此，本文将研究食饵的恐惧效应对系统的影响，分析模型(1)解的基本性质、全局吸引子以及种群的持久生存.

2 全局吸引子与持久性

利用文献[11]的方法，容易得到模型(1)解的适定性.

引理1对所有的t>0，模型(1)存在唯一的非负解(u(x，t)，v(x，t)，w(x，t))，且0≤u(x，t)≤M1，0≤v(x，t)≤M2，0≤w(x，t)≤M3，其中

如果非负初始函数不恒等于零，则该非负解还是严格正的.

下面研究模型(1)所有解的全局吸引子与持久性.

定理1模型(1)的非负解具有下列性质：

证明：根据解的非负性以及模型(1)的第1个方程，可以得到

证毕.

定理2如果B1>0、B2>0(B1、B2的定义见证明)，则模型(1)是持久的.

证明：根据定理1以及模型(1)的第1个方程，当t>T2时，有

令ε2→0，从而有

类似地，由模型(1)的第2个方程可得

即

再由模型(1)的第3个方程可得

结合定理1可知，如果B1>0、B2>0，模型(1)是持久的.证毕.

定理3如果r1-a12B2<0或r2+a21A1-a23B3<0，则模型(1)是非持续的.

证明：根据模型(1)的第1个方程，有

3 结 论

我们考虑了食饵具有恐惧效应的三种群食物链反应扩散模型，得到了种群持久及灭绝的充分条件.根据定理2可知，如果恐惧因子f1和f2较小，则条件中的B1>0和B2>0更容易满足，因此，如果食饵和中间捕食者种群的恐惧因子较小，则该食物链系统将相互制约、共同生存.反之，如果相应的恐惧因子较大，则可能导致中间捕食者或顶级捕食者的灭绝.为了保持生态平衡与种群多样化，可以通过为食饵种群提供避难所来降低恐惧因子，从而使种群生态系统得以持久生存.