错题资源助力数学探究式学习的实践

文∣何杰

2020年10月，中共中央、国务院印发了《深化新时代教育评价改革总体方案》，指出“改进结果评价，强化过程评价，探索增值评价，健全综合评价”。探究式学习注重过程评价，往往呈现“尝试—错误—再尝试”这样螺旋上升的基本学习模式。学生在学习过程中会产生错题，教师要改变用分数给学生贴标签的做法，这些错题正是探究式学习的宝贵财富和原始素材之一。心理学家桑代克也认为，尝试与错误是学习的基本形式。因此，教师要善待学生的错题。鼓励学生主动对错题进行有效开发利用，让错题变成有价值的“资源”，让错题资源助力数学探究式学习，促进教师的“教”和学生的“学”。

一、错题诊所，“收集”错题资源

许多小学生对日常学习中出现的错题,只是简单地应付式订正,缺乏自主深入分析,订正完之后就不管不问，没有真正领会问题的本质，下次遇到同类型的题目还是错误，让原本的错题又变成未来的错题。追本溯源，错题是反馈知识网络结构中存在的漏洞，教师只有引导学生对个性化的错题进行自主收集、自主整理、自主探究，才能让错题在探究式学习的指导下留下“痕迹”。

普通的“数学错题集”就是学生把自己平时所有的错题抄写或剪贴在一起,缺乏分析、缺乏知识漏洞的定位。当教师要求学生进行错题复习时，学生面对曾经海量的错题和答案，往往只是敷衍对待。在单元复习整理时，教师要引导学生对于本单元学习中存在的错题进行自主探究式学习，鼓励学生建立个性化的单元“错题诊所”，对于错题认真查找、诊断、分析、总结，形成例题、错解、诊断、答案这四个基础板块。同时，为便于后续的复习，对错题进行分类：A类错题是当时没有思路或思路错误的，这类题目后续要重点复习；B类错题是整体思路正确，中间部分思路出现错误，后续要关注；C类错题是思路完全正确，其他细节错误(如单位名称的确定、计算等)，后续要避免的。下面就以“升和毫升”单元复习整理为例。

【例1】

背景：小熊感冒了,医生阿姨给她开了药,并给了用量说明,小熊自己算了一下要喝多少天,小熊简单一算,医生阿姨一看结果,小熊可真是马虎呀。我们还是一起帮她计算一下吧,多喝药可不是好事情哦！

例题：小熊感冒咳嗽，买了一瓶100毫升的止咳糖浆。下面是每次用量的说明，小熊今年8岁，她喝完这瓶药至少要( )次。

用 量 提 示

2—3 岁 2.5—3.5毫升

4— 6岁 4—5.5毫升

7— 9岁 6—7毫升

10—12岁 8—12毫升

错解：100÷6=16(次)……4(毫升)，她喝完这瓶药至少要(16)次。

诊断：出错在不清楚问题所问至少的情况下，小熊该喝6毫升还是7毫升。小熊今年8岁，按照用量提示应该是6—7毫升。我们知道，总量一定的时候，每次喝得越多，喝得次数就越少，这里要求至少几次喝完，所以每次要按最大的量7毫升来计算。所以用100÷7=14(次)……2(毫升)，这2毫升也要喝完，14+1=15(次)，小熊至少要15次才能喝完这瓶药。

答案：15。

这道题具有典型性，在四个基础板块的基础上对错题进行了个性化的分析和个性化的探究，同时为这道题设置了一个童话般的故事背景，便于加深印象。对于学有余力的学生来说，还可以举一反三，进行同类题型复习巩固，让错题具有生命力。

二、找错大赛，“共享”错题资源

错题资源的出处不仅有每人都要完成的练习册内容，还有个性化练习题中发现的内容。快乐是越分享越多，痛苦是越分享越少。错题资源同样如此，班级内每个人的错误各有不同，如果汇集在一起将是一笔巨大的“财富”，符合互联网下聚沙成塔、集腋成裘的众筹思维。

“共享”的错题资源如果只是简单地收集在一起而不去利用的话，不仅费时费力，而且对于学生的思维发展收效甚微。笔者在执教苏教版三年级下册“长方形和正方形的面积”单元时，组织学生小组内进行“找错大赛”，具体规则如下：4人小组，每人从自己的错题资源中共享两道题目，包括题目和解答，出题中的解答既可以是正确的，也可以是当时自己的错误，还可以是多种解法进行辨析。于是4人小组就推出了8道错题，然后小组两两交换，小组成员共同探究给出的解答是否正确。如果不正确的，需要找出错误在哪里。于是，全班学生兴高采烈地开始小组合作探究，笔者在巡视过程中聆听到了这一道题的讨论与探究。

【例2】

题目：一张长12厘米、宽10厘米的长方形纸，最多可以剪成( )张边长为3厘米的正方形纸(不拼接)。

解法1：(12+10)×2=44(厘米)

44÷(3×4)=3(张)……8(厘米)

答：可以剪成3张边长为3厘米的正方形纸。

解法2:12÷3=4(张)

10÷3=3(张)……1(厘米)

4×3=12(张)

答：可以剪成12张边长为3厘米的正方形纸。

解法3：12×10=120(平方厘米)

3×3=9(平方厘米)

120÷9=13(张)……3(平方厘米)

答：可以剪成13张边长为3厘米的正方形纸。

生1：我觉得解法1肯定是错误的，解法1中计算的都是周长，而根据题意这里关注的是面积之间的关系。

生2：我跟你的想法是一样的，所以解法1是错误的。

生3：解法3是先算出长方形总面积和小正方形面积，然后用除法算出大长方形面积中一共有几个小正方形的面积，所以我感觉这种做法是正确的。

生4：可是我刚才画了个草图，有的地方如果要剪成小正方形就需要进行拼接才可以，可是题中说了不拼接，所以我认为解法3也是错误的。

生3：你说得很有道理，解法3是错误的。

生2：这里要求不拼接，那我们只需要看看大长方形的长里有多少个3厘米，宽里有多少个3厘米就可以了，再用乘法计算，看来解法2是正确的。

这样的“找错大赛”不仅可以让错题资源发挥更大的辐射作用，还可以培养小组合作探究的能力。通过错题资源的共享，每个人都可以当小老师来评价别人的“题目”，激发学生的探究欲望，让错题资源助力探究式学习。

三、错例说题，“深挖”错题资源

在日常教学中可以发现，有的学生只会做不会讲，而有的学生不仅会做还能教懂不会做的学生。通过一段时间的观察，那些经常热心教同学的学生，学业成绩更加优异，知识掌握更加扎实。如果要把不会做的同学教懂，讲的学生就需要更加深入地理解题目的内涵，更加清晰地掌握题目的解题思路，更加优化解题的策略，有时候针对不同层次的学生，还需要思考不同的讲解策略。

“错例说题”属于探究式学习的一种，是将学生错题资源中一些相对共性的错题进行整理，请学生进行视频讲解，录制成类似微课形式的探究式作业。这样的探究式学习，注重思维过程的表达，对学生来说既有新鲜感，也有一定的挑战性。具体操作如下：笔者根据学生的错题“诊所”精选错例，每期发布4道例题，每人讲解一道。为避免学生挑选的例题过于集中，笔者按照学号进行题目的确定，例如：学号1—10说第1题，学号11—20说第2题，学号21—30说第3题，学号31—47说第4题。学生确定错例之后进行分析思考，尽可能直观、清晰、具体地讲解并同步进行视频录制。然后，学生将录制好的说题视频发给教师，由笔者进行在线评分和点评。最后，笔者从每一道错例讲解视频中，挑选部分优秀视频进行在线分享，供学生互相借鉴学习。

在某一期“错例说题”中有这样一道填空题例题：“有两杯牛奶，第一杯比第二杯多120毫升，如果从第一杯倒40毫升到第二杯，那么第一杯牛奶比第二杯多( )毫升。”经过学生的认真“备课”和在线“授课”，有多种不同的解法。有的学生采用的是特殊值法，假设第一杯就是120毫升，第二杯就是0毫升，然后进行计算。有的学生采用的是画线段图的方法来解决，直观清晰。还有的学生采用了实验操作法，准备好了量杯进行在线实验操作。笔者将这三种代表性的解法进行在线分享，不仅激发了学生参与的热情，而且不同的解法满足不同层次学生学习的需求，让错题资源真正得到挖掘。

四、编制习题，“创新”错题资源

纵使数学题目千变万化，但许多问题都是殊途同归，考查的数学知识是一致的。著名特级教师华应龙老师说过，差错的价值有时并不在于差错本身，而在于师生从中获得新的启迪。学生通过解题获得启迪并不是最高境界，最高境界是学生能够预料错误点进行编题，这是一种探究式学习。错题资源虽然很多，但是对于某一个学生来说还是有限的。通过组织学生探究编制习题，可以实现将有限的错题通过创新编制而创造出无限的价值。编制习题看似容易，实则不易，这需要学生换位思考，从其他学生容易错误的角度去进行编制习题；还需要从出题者角度，宏观思考知识点及难易程度。

在学生研习了许多错例之后，笔者组织学生在手边无参考资料的情况下进行习题的编制。

【例3】

在学习“三位数乘两位数”之后，学生结合估算和数字谜等错题自愿编制如下选择题：

A.3102 B.6078 C.10762 D.30982

解析：根据两个乘数的个位数字分别是7和6，可知得数个位上的数字一定是2，由此可以排除B选项。然后用估计法中的找一下得数最大值，即297×96=28512。所以28512是最大的数，因此D选项也被排除。用同样的方法将得数最小值找到，207×16=3312，因此A选项被排除，所以答案是C选项。

对于学生编制的习题，教师可以进行班级展示，比一比哪些习题编制得好，哪些习题能够找到其他解题方法等，充分调动学生的数学学习热情。有学生仔细研究了例3选择题之后，在空白处还进行了补充批注：“我认为297×96和207×16甚至可以不用计算出精确结果，通过估算就能排除A和D选项。297×96可以估成300×100=30000，可见得数一定小于30000，排除D选项。207×16可以估成200×16=3200，可见得数一定大于3200，排除A选项”。

探究式学习关注个体知识的自主构建过程，自主构建的知识基础是学生已有的知识和经验。错题是学生已有知识的侧面体现，是学生知识构建的最近发展区。作为教师，我们要以研究者的站位来审视学生的错题，要善于利用学生的错题资源，让错题资源在知识的沃土上落地生根，绽放出美丽的花朵。