重视模型建构过程，强化模型思想培养

鲁家宝 鲁正超

[摘要] 数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建构数学模型的过程就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。课堂教学是数学模型思想培养的主阵地，在教学设计中教师应引导学生建构模型，让学生会学;强化数学模型思想培养，在实践中应用数学模型解决问题，从而提升学生学科素养。

[关键词] 教学研究;教法设计;数学建模;潜能开发

《义务教育数学课程标准（2011年版）》将数学的建模和用模问题上升为模型思想。为落实这一核心理念，深化课堂教学改革，发展学生核心素养，提升教学研究水平和实践能力，以人教版三年级上册“认识几分之一”为例，探讨在教与学的设计过程中引导学生建构数学模型，应用数学模型解决实践问题，从而强化模型思想培养。

一、重视模型建构过程，让学生会学

（一）创设情境，提供建模信息

师：大家最喜欢看的动画片是哪部？现在请大家去看《熊出没》，好吗？（出示课件）

[设计意图]根据教材编排和学生年龄特点，选择小学生喜闻乐见的《熊出没》为情境，以熊大过生日为主线，让学生在喜爱的动画片中激发学习兴趣，为后续建构数学模型提供信息，并奠定学习感情基础。

（二）尝试探索，经历建模过程

1.教学案例一

（1）认识二分之一。

师：他的好兄弟熊二送上了自己亲手做的生日蛋糕。（课件出示熊二及配音：把这个蛋糕分给我们兄弟俩，怎样分最公平）

学生观察后独立思考。教师则根据学生回答讲解：每份分得同样多，数学上叫“平均分”;最后提出问题：把一个蛋糕平均分成两份，每人分得多少？如何表示呢？学生思考后反馈，明白“一半”即整个蛋糕的1/2。

[设计意图]通过“怎样分最公平”奠定最原始的分数产生的依据——平均分，学生自主思考建立从“一半”即“二分之一”的数学模型1/2（数学概念），这样设计既符合新课程理念的要求又体现了学生的主体地位。

学生小组合作、交流：谁能根据分蛋糕的过程相互说说二分之一是怎样产生的？教师根据学生反馈，板书二分之一的意义，经过剖析，再引导学生读、写1/2。

[设计意图]让学生在小组合作交流中重新认识二分之一是怎样产生的，在完善概念的同时培养了学生的数学思考能力和表达能力。

（2）认识四分之一。

师：将同样的蛋糕分给四个小伙伴（多媒体播放并配音），该怎么样分才公平？大家能按照我们认识1/2的过程说说各自的结果吗？

学生小组交流，然后进行展示。最后，拓展延伸。（教师在点拨的基础上举例延伸：把一个蛋糕平均分成6份，每份是它的几分之一？若是10份、50份呢）

（3）自学1/3、1/5。

师：我们认识了1/2、1/4，那么能否依据图形来认识1/3、1/5呢？

学生自主学习，并展示学习成果。

（4）教师讲解。介绍分数概念、各部分名称及读法。

[设计意图]有了认识二分之一的基础，在认识四分之一时给予学生充分的信任，放手让学生通过小组间的讨论与合作得出结论，不仅达到强调“平均分”的目的，而且在思考过程中，充分尊重和发挥学生在数学建模过程的主体作用，促进自主学习，使学生学会通过实践寻找例证的学习方法，并通过拓展延伸强化学生对分数的理解。在此基础上，放手让学生自主学习，建构起1/3、1/5的模型，掌握数学学习方法。

2.教学案例二

（1）出示自学提纲：折一折，把一张正方形纸折出它的1/4;涂一涂，用你喜欢的方法涂出其中的一份;比一比，看大家的折法是否相同。現在就请大家动手折一折，看看能有什么有趣的发现。

（2）学生动手折、画，教师要求学生上台展示作品，并说明折的过程，然后相互评价。

（3）小结：不管怎么折，只要把正方形平均分成四份，每份就是它的1/4。

[设计意图]基于导学，实际操作，促进内化，呈现活动中“放”的过程。由于操作实践目的明确、方法清楚，把学生的认识推向深入，不同的学生有不同的折法，每种折法各请一位学生上台演示和说明，并将学生作品展示在黑板上。教师不失时机地引导学生进行相互评价，既能激发学生学习的情感，又突出分数概念中的“平均分”“每份”等重要属性。

3.教学案例三

师：同学们折纸折得兴高采烈，熊二却有点儿闷闷不乐。这是什么原因呢？我们一起看看吧！（出示课件，引导学生观察、比较分数的大小）

学生分小组观察、交流讨论，随后教师提出质疑：在比较分数大小时你发现了什么？

[设计意图]在大量感知材料基础上，学生能轻而易举地发现，对同样大的物体进行比较时，平均分的份数越多，其中一份的数反而越小。经过试讲，发现学生由图与数的结合确实一眼就能看出两个分数的大小，但却不能很好利用数学语言进行说明，所以教师可以引导学生尽量运用数学的语言来进行说明，但不作统一要求。另外，此环节尤其注重生生互评，让学生在评价中提升自己的学好数学能力。

4.小结

师：我们通过平均分认识了像1/2、1/3、1/4、1/5这样的分数，还知道了分数各部分名称，会比较分数的大小。现在大家能否用所学知识解决问题呢？

（三）解决问题，应用数学模型

1.教材第91页“做一做”（出示课件）

第1题是配合例1和例2的练习，让学生用分数表示图形中涂色部分，可以帮助学生进一步理解几分之一的含义，使学生直观看到：不论一个图形形状如何，只要是把它平均分，其中的一份就是它的几分之一。

第2题安排了两组几分之一的分数进行比较，分数对应的直观图比较抽象，分数对应的线段图呈上下排列，便于学生观察比较。

2.教材第94页第1、2、3题（出示课件）

这三道题以“闯关”形式串联出现，目的是让学生在学习数学上得到个性发展，受到恰当的数学教育。

3.拓展作业

让学生用圆形折出自己喜欢的分数，并将其中的一份或几份涂上自己喜欢的颜色，说说这个分数是多少。

[设计意图]作业的内容包罗了整节课所学知识，或许在学生的创作中还会出现后面学习的几分之几的知识，既巩固了新知，又拓展了知识，为后续学习分数奠定了基础，达到了“课虽尽而趣无穷”的效果。

（四）总结收获，积累数学经验

师：同学们通过“学”认识了1/2，通过“想”知道了1/4、1/3、1/5等分数，通过“折”理解了分数的基本含义，通过“比”知道了分数的大小。大家对自己在这节课的表现满意吗？

[设计意图]引导学生梳理知识，反思自己数学建模的过程，领悟学习方法，获得数学学习的经验和愉悦的情感体验。

二、强化模型思想培养，提升学生数学素养

建模思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。这些内容的学习有助于学生形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。在本节课设计过程中，教师以《熊出没》熊大过生日的生活情境为线索，从数学的角度思考，抓住了生活数学化、数学生活化的有机联系，充分体现了从“讲”（教师讲解）到“学”（自主学习）到“动”（动手操作）到“评价”（多元评价）再到“拨”（教师点拨）的循环过程。让学生经历感悟知识、体验过程、理解概念，形成建构分数概念的数学模型，并应用模型解决实践问题。

（一）在体验中经历建构数学模型的过程

就许多小学内容来说，本身就是一种数学模型。在这个意义上，我们每堂课都在建立数学模型。本节课的教学内容是起始概念，是学生在认识整数后认识分数，从整数到分数是数的认识的一次重要扩展，也是学生认识数的概念的一次质的飞跃。“几分之一”这节课的内容是本单元知识最为基础的内容，教师基于三年级学生的认知特点，巧妙而灵活地设计教与学的全过程，让学生在体验中经历建构数学模型（分数）的全过程。

（二）在活动中应用数学模型解决问题

数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。应用数学模型解决问题是在学生的数学学习过程中所必需的。在新课程理念下，解决问题的练习设计也要注入新的内涵，在进行基本训练的同时，努力让不同层次的学生得到不同的发展，受到不同的数学教育。教师的练习设计分三个层次：第一个层次是面向全体练习的基本题。第二个层次是通过三道题以“闯关”形式串联出现，目的是让学生灵活应用数学模型解决问题。第三个层次是拓展练习，目的让学生在活动中，愉快地理解、掌握知识，达到课虽尽而趣无穷的效果。三个层次的练习，面向全体，使学生人人品尝到学习数学成功的快乐。

（三）在总结中积累建构数学模型的经验

在“总结收获，积累经验”环节，教师借助板书内容，引导学生观察，并进行总结提升。学生经历感知数学模型建构表象，感悟建构数学模型过程，体验建构模型经验，强化了模型思想培养。这样，学生在梳理知识、反思学习中，领会学习方法、积累建构数学模型经验，为后续知识学习起到“导学”的作用。

数学是自然科学的基础，数学学习与研究的核心问题是数学建模与用模问题。数学建模与数学教学有着相互制约、相互促进的关系。而数学教学是数学建模的基础，数学建模促进了教学观念更新、教学方法改革。所以，数学建模的本质是应用建立的数学模型来解决实际问题，它是數学学习的一种新的方式，关系到学生的终身发展。