概率高考重点题型及解题策略

江苏 陈 敏 张启兆

近年来，概率部分年年考查，常考常新，根据《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》，考查内容包括:概率的意义、古典概型、互斥事件、独立事件、条件概率、离散型随机变量及其分布、二项分布、超几何分布、正态分布、期望与方差等.现将概率高考重点题型及解题策略总结如下，以期抛砖引玉.

1.用计数方法解决古典概型问题

例1小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋，游戏规则:以O为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)，这6个点中任取两个点为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X=0就去唱歌，若X<0，就去下棋.

(Ⅰ)写出数量积X的所有可能取值；

(Ⅱ)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

解(Ⅰ)X的所有可能取值为-2，-1，0，1.

故共有15种可能的情况，

评注(1)如果所求事件对应的基本事件规律性不强，不易计数，那么我们一般通过逐一列举计数，再求概率，列举的关键是要有序，从而确保不重复、不遗漏.另外要注意对立事件概率公式的应用；

(2)对于基本事件数比较复杂的问题，可以借助排列组合知识去处理，具体问题中要分清是否有顺序，有序的和无序的是有区别的；是否允许重复，即有放回的和不放回的，有放回的取元素是允许重复的，而不放回的取元素是不允许重复的.

易错提醒

(1)古典概型的重要特征是等可能性，在计算基本事件总数和事件包含的基本事件个数时，一定要注意它们是否是等可能的；

(2)对于较复杂的古典概型问题，在计算基本事件总数时若涉及排列组合知识，要先判断事件是否与顺序有关，以确定用排列还是用组合来解决.

2.用概率的加法公式、乘法公式求事件的概率

对于一些复杂的古典概型，可以利用概率的加法公式、乘法公式等，将复杂事件用简单事件的运算表示，再求复杂事件的概率或求分布列.涉及的知识有古典概型、概率的基本性质、互斥事件、事件的独立性、条件概率等.

例2甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

(Ⅰ)求甲连胜四场的概率；

(Ⅱ)求需要进行第五场比赛的概率；

(Ⅲ)求丙最终获胜的概率.

分析比赛最少要进行几场？(三场比赛是不能结束比赛的，最少要四场)比赛最多要进行几场？(如果六场，那么三个人都淘汰掉了，因此最多5场比赛)

(Ⅰ)甲连胜四场是什么情况？可以采取列表的方法，例如:

甲连胜四场

(Ⅱ)由于需要进行第五场比赛的情况比较复杂，可以转化为考虑其对立事件，即比赛四场就结束比赛的情况:

甲四场获胜的情况如上表；

乙四场获胜

比赛四场丙获胜(连胜三场)(1)

比赛四场丙获胜(连胜三场)(2)

(Ⅲ)丙最终获胜，怎么理解？根据规则，对于丙参加的比赛要么丙全胜，要么丙仅负1场，根据丙的负场情况分为4类，可以一一列举(请读者自己列表).

解根据规则，3场比赛至多会淘汰1个人，不可能结束比赛，至少比赛4场(各负两场的两人被淘汰，另一人全胜胜出)，至多比赛5场(各负两场的两人淘汰，只负一场的人胜出)，分别用事件Ai，Bi，Ci表示甲，乙，丙第i场比赛获胜(i=1，2，3，4，5).

根据事件的互斥性与独立性知

根据事件的互斥性与独立性知

评注(1)弄清事件的构成是解决概率问题的关键步骤;

(2)要重视用字母或随机变量表达随机事件，使解答过程清晰简洁.对于复杂事件，可以先考查它的对立事件.

易错提醒

注意互斥事件与对立事件的区别:

对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

3.用概率分布模型研究概率问题

概率问题求解的关键是辨别它的概率模型，只要模型找到，问题便迎刃而解.常见的概率分布模型有两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布.

例3从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.

(Ⅰ)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；

(Ⅱ)若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列.

分析(Ⅰ)“取出的2件产品中至多有1件是二等品”说明什么？说明取出的2件产品中没有或只有1件是二等品，即概率模型是“二项分布”；

(Ⅱ)“若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数”，说明什么？明确概率模型是“超几何分布”.

解(Ⅰ)记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.

则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故

P(A)=P(A0+A1)

=P(A0)+P(A1)

=1-p2.

由0.96=1-p2，

解得p=0.2或-0.2(舍).

(Ⅱ)ξ的所有可能取值为0，1，2.

若该批产品共100件，由(Ⅰ)知其二等品有100×0.2=20(件)，故

所以ξ的分布列为

ξ012P31649516049519495

评注超几何分布是一种重要的分布模型，要深入理解概念:

从包含M件次品的N件产品中选取n件，设取到的次品数为X，则X服从超几何分布,且

( )

(1)模型识别:①任意两个试验相互独立，不互相影响；

②每次成功的概率是相同的；

③服从二项分布的变量X(成功次数)，不是随机实验.

超几何分布与二项分布是两种重要的分布模型，要明晰它们的区别，不要混淆.

(2)模型特征

超几何分布模型特征:

①做n次试验；

②每次试验只有两个结果:“次品”和“正品”；

③每次取到“次品”的概率相同(因为抽签的结果与抽签顺序无关).

二项分布模型特征:

①做n次独立试验；

②每次试验只有两个结果:“成功”和“失败”；

③每次试验，“成功”的概率相同.

区别:每次抽取，二项分布是相互独立的，超几何分布不是.

4.用概率知识或函数、数列等作概率推断，进行决策

随着大数据时代的来临，高考试题对概率统计内容愈加重视，凸显创新性与灵活性，试题位置(难度)也不再固定，后移趋势明显，能力要求渐高.

常见考査方式:比较不同方案下的随机变量的期望或方差的大小作概率推断，进而作出概率决策，此类考题多是统计概率内部的综合问题，难度相对不大，熟知公式及期望或方差的统计概率意义就可以了.

与传统的数学内容(比如函数、数列、不等式等)交汇的综合性问题，解决此类问题，建模是关键，建模过程就是对统计概率综合素养的考査，从统计概率中抽象出数学问题，借助传统的数学工具(如导数、不等式等)，分析处理进行优化分析.

例5(2016·全国卷Ⅰ理·19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图:

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若要求P(x≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？

分析(Ⅰ)第一遍读不懂，再读一遍，同时要理解每一句话要告诉我们的含义.如:

“某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰”明确研究对象；

“机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元”明确研究背景；

“以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率”明确概率规则；

“以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据”明确决策依据.

(Ⅱ)阅读题时要明晰每句话的作用，尽量用图表将问题直观化.

(Ⅲ)概率统计问题一般是有套路的，它的套路主要分四步:

收集数据:收集并整理100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数；

处理数据:得柱状图；

分析数据:以1台机器更换的易损零件数发生的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，求X的分布列；

应用数据:将柱状图的表格数据化:

表1 1台机器更换零件数

表2 2台机器更换零件数

解(Ⅰ)每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，

记事件Ai为第一台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4)，

记事件Bi为第二台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3,4)，

由题知P(A1)=P(A3)=P(A4)=P(B1)=P(B3)=P(B4)=0.2，P(A2)=P(B2)=0.4.

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，

P(X=16)=P(A1)P(B1)=0.2×0.2=0.04，

P(X=17)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.2×0.4+0.4×0.2=0.16，

P(X=18)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.2×0.2+0.4×0.4+0.2×0.2=0.24，

P(X=19)=P(A1)P(B4)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)+P(A4)P(B1)=0.2×0.2+0.2×0.4+0.4×0.2+0.2×0.2=0.24，

P(X=20)=P(A2)P(B4)+P(A3)P(B3)+P(A4)P(B2)=0.4×0.2+0.2×0.2+0.2×0.4=0.2，

P(X=21)=P(A3)P(B4)+P(A4)P(B3)=0.2×0.2+0.2×0.2=0.08，

P(X=22)=P(A4)P(B4)=0.2×0.2=0.04，

则X的分布列为

X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04

(Ⅱ)因为0.04+0.16+0.24<0.5，0.04+0.16+0.24+0.24≥0.5，

则若P(x≤n)≥0.5，n的最小值为19.

(Ⅲ)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.

当n=19时，费用的期望为19×200+500×0.2+1 000×0.08+1 500×0.04=4 040，

当n=20时，费用的期望为20×200+500×0.08+1 000×0.04=4 080，

4 040<4 080，

所以应选用n=19.

评注(1)概率统计问题的套路是:①确定任务；②收集数据；③处理数据；④分析数据；⑤应用数据.

(2)对于复杂的概率统计可以遵循套路，将文字和要求进行分解，以有效理解题意；

对于依据数据特征的决策，在问题解决中要思考以下问题:

①常用数字特征有哪些？

②各种数字特征产生的背景(产生在统计活动中的哪个环节)；

③利用哪一个(哪几个)数字特征作决策；