借助“高等代数”知识，解决高中几何问题

陈平

摘要：在高中数学教学中，几何知识是重点内容，不过由于知识本身的复杂性，很多学生都无法深入理解，没有认识到几何的本质，影响到了学习效果。“高等代数”在高中几何中的应用，符合学生的认知特点。基于此，本文从高中几何与“高等代数”的联系入手，分析了“高等代数”在高中几何中的应用，希望对同仁有所帮助。

关键词：高等代数  高中几何  数学教学

一、高中几何与“高等代数”知识的联系

“高等代数”是解析几何研究的重要工具。在高中几何教学中应用“高等代数”知识，可以实现两者的合二为一，两者本身就相互联系、相互促进，相对应的课程之间也存在重合之处。如高中几何中的共线和共面问题就需要借助线性相关知识来表示，教师可以引入“高等代数”来叙述几何的概念，从数学思维和教学角度来看，两者本身就有共通性。

“高等代数”的很多知识，包括行列式、矩阵、线性变换等，都可以应用到几何教学中。以解析几何为例，解析几何的主要内容为二维（三维）空间的直线与二次曲线，以及空间曲线与曲面的平移变换等，两者本身就有重复的内容。从学生的角度来看，利用“高等代数”知识可以更加容易理解几何知识，将高中几何应用到解决问题中，知识之间相互交融。

计算机技术如今在教学中得到了广泛应用，将几何问题进行代数化的处理也为可能。在高中几何教学中应用“高等代数”知识，既能让学生学习几何知识，又能让学生对“高等代数”有更深刻的认知，方便学生学习高等数学。

二、“高等代数”知识在高中几何中的应用

1.多项式恒等定理知识

设有关于x的多项式

对所有x，P（x）= Q（x）恒成立的充要条件是：

特别地，P（x）=0 的充要条件是所有的

上述为多项式恒等定理的内容，借助这一“高等代数”知识，学生能解决高中几何中的曲线过定点和求公切线方程等问题。

2.线性方程组知识

教师借助线性方程组的知识来解决高中几何问题，可以深入分析几何和“高等代数”之间的联系和相互渗透情况。

3.柯西不等式

柯西不等式为：

则

当且仅当bi=（i=1，2，…，n）或存在一个数k，使得ai=kbi（i=1，2…n）时，等号成立。

柯西不等式本身对称和谐，教师对其进行变形处理，也就能用“高等代数”知识来解决几何问题。柯西不等式在几何问题求解中得到了广泛的应用，学生可以借助这一知识点来解决重要不等式的问题，也能解决几何的相关问题。

例1：实数x，y满足方程x2+y2=6x-4y-9，则2x-3y的最大值与最小值的和等于多少？

解：设t=2x-3y，

，由柯西不等式得

，

，

随即确定t的最小值与最大值分别为

，             。

相应的，2x-3y的最大值与最小值的和为24。

三、“高等代数”知识融入高中几何教学的发展

随着基础教育的不断发展，对教师的综合素养也提出了更高的要求。教师要实现知识的融会贯通，方便学生展开知识建构，而不是让学生对知识的理解出现分离。

在高中几何教学中，教师除了要让学生掌握知识点之外，也要让学生掌握知识点的来龙去脉，并将相关知识融入其中，实现举一反三。教师借助计算机技术展开教学，可以让学生从被动学习转化为主动参与学习，将“高等代数”知识融入高中几何，实现知识点的融会贯通，让数学知识成为有机整体，让学生更加全面地理解知识。

綜上所述，在高中几何教学中，学生很难深入理解抽象的几何知识，“高等代数”知识在其中起到了重要的作用，教师充分借助“高等代数”知识，解决高中几何问题，可以让学生更为深入地理解几何问题，也能形成数学思维，起到意想不到的效果。

参考文献：

[1]周仁国，陈明.数形结合在中学数学中的应用——角平分线性质与二倍角公式的相关性探究[J].遵义师范学院学报，2020（4）.

[2]邱小伟，曾昌涛，陈惠.高中数学课型构建与实例分析——以《直线与圆的位置关系》为例[J].重庆工商大学学报（自然科学版），2020（3）.

（作者单位：河北省保定市第一中学）