同构概念的教学思考与实践

赵云河　王刚　王林

【摘要】同构是对代数结构进行比较和分类的最好方法，它也是解决实际问题的一种具体的手段和重要的工具.高等代数教学中要重视同构概念的教学，要从概念的引入，例题、习题的补充，同构思想的运用等方面入手，让学生充分理解同构的概念，强化学生的同构思想，提高同构概念教学的有效性，培养学生的学习热情.

【关键词】高等代数；同构；教学

【基金项目】云南财经大学课程建设基金项目——线性代数精品课程建设（YC41611350005）.

【中图分类号】G642 【文献标识码】A

一、问题的引入

在向量空间中，同构的概念和思想如下：

定义：设V和W是数域F上的两个向量空间.V到W的一个映射f 叫作一个同构映射，如果

（ⅰ）f 是V到W的一一映射；

（ⅱ）对于任意ξ，η∈V，f（ξ+η）=f（ξ）+f（η）；

（ⅲ） 对于任意a∈F，ξ∈V，f（aξ）=af（ξ）.

如果数域F上两个向量空间V与W之间可以建立一个同构映射，那么就说V与W同构.

高等代数主要研究的一个对象是代数结构，而对代数结构进行比较和分类的最好方法就是同构.同构思想是代数学中一种非常重要而又常见的思想，在高等代数中的应用也非常广泛，它是研究代数结构的共性和差异的一种思想方法，它不但是宏观上进行重大课题研究的重要思想，而且也是解决实际问题的一种具体的手段和工具.同构思想表明，若两个代数结构同构，则它们是一种等价关系，将具有相同的代数性质，它告诉我们一个非常深刻的道理，就是两个集合尽管元素完全不同，运算也各异，但从代数结构角度来看，可以视为本质上是一模一样的，这就是同构的思想.如果两个向量空间是同构的，那么一个向量空间所具有的运算性质，另一个向量空间必具有相同的运算性质.于是在研究一些相对抽象的代数结构时，我们可以通过建立一个同构映射，把它转化到一些相对具体的代数系统结构上来讨论，达到化难为易，化繁为简的功效.

在高等代数教学中，教师讲清楚同构这部分内容，并恰当地把同构思想渗透到教学中，通过习题求解的训练，让学生不仅能够使问题得到简化产生自信心，而且能逐步形成运用同构的思想方法解决实际问题的思维模式和思维习惯，对后续课程的学习产生积极影响.

如何进行同构概念的教学，学生接受情况又如何，是教师应认真进行准备和调研的，这对有效进行教学非常重要.

二、同构概念教学的现状及实践

在对正在学和已学过高等代数的同学进行调查时发现，许多同学对同构概念提出了以下几个问题：

（1）我们知道同构是个映射，但不知它想说明什么？

（2）老师一直强调同构很重要，但至今我们也不知同构能有什么用？

（3）教材中除了“同构”一节提到同构概念外，为什么其他章节好像再也没见到明确“同构”作用的内容？

从调查及与同学们的交流我们知道，绝大多数同学对同构概念很不清楚，不知道学习它的意义，更不了解它有何作用.这一方面说明了同构概念学习的难处，另一方面也说明任课教师在教学上有一定的责任.在教学中，我们应注意以下几点.

1.让学生充分理解同构概念及其意义

我们的教学安排是大学一年级上、下两学期学习高等代数.对于大一的学生来说，还没对向量空间这一抽象概念完全领悟，又进入其下的同构概念的学习，懵懵懂懂跟着老师的脚步走，理解和掌握的难度可想而知.尤其对张禾瑞《高等代数》“向量空间的同构”一节的这段话“一个向量空间就是一个带有加法和标量与向量的乘法的集合.我们的着眼点主要在于运算，至于这个集合的元素是什么对我们来说是无关紧要的.从这个意义上来讲，同构的向量空间本质上可以看成一样的”很难理解.对教材的结论和性质学生往往只能死记硬背，知其然而不知其所以然，更不会灵活运用.

为了能使学生容易理解和掌握同构的概念，我们在讲解时可先引入这样一个例子：在中学我们学过复数a+bi，a，b∈R，那么为什么复数还能用平面上的点（a，b）表示呢？我们发现：

（1）全体复数a+bi，a，b∈R与平面上的点（a，b），a，b∈R存在一一映射f，使得f：a+bi

MT ExtraaA@ （a，b）；

（2）对于任意a，b，c，d∈R，有

（ⅰ）f：（a+bi）+（c+di）

MT ExtraaA@ （a，b）+（c，d）；

（ⅱ）f：k（a+bi）

MT ExtraaA@ k（a，b），k∈R.

即映射f 还保持着线性运算，也就是代数结构相同，它说明复数集和平面上的点集之间可以从一个集合的已知结论去推出另一集合未知的相应结论.由于全体复数集合与平面上点集满足这样一种关系，就足以令人信服地把它们视为同一事物.然后在这个基础上再讲解两个向量空间同构的抽象概念，学生会感到直观生动易于理解，并且进一步认识到全体复数集与平面上的点集它们都是彼此同构的，所以能互相表示同一个集合.学生就容易明白，要研究某一类向量空间，若它们在某个一一对应下关于运算的结构相同，我们也只要研究其中的一个就行了，这就是学习同构的意义所在.

2.加强例题、习题的补充，巩固同构概念的思想

现行的主要教材，在同构这一部分撰写得更像论文、专著，适宜专家、学者的阅读与引用，而不适合教学，它们呈现同构内容的主要方式是，首先给出同构的定义，其次介绍或证明定理，没有例题，缺乏合适的、引申或拓展的例题、习题，让学生感觉同构这一节难学、不易理解就情有可原了.

纯粹的理论教学只会让大多数学生对数学望而止步，合适的例题和习题却能使学生燃起浓厚兴趣的火焰，在同构概念教学中更为如此.同构这个概念十分抽象，学生较难理解，没有合适的例题和习题这一节只能是“过客”，老师要充分挖掘例题和习题这一材料，让学生不仅弄懂同构的概念，掌握性质、定理，而且能够灵活运用.

在讲完同构概念后，老师利用“数域F上任意两个n维向量空间都同构”这一结论，及时介绍并分析几个相对简单的同构例子，比如：

（1）全体复数在实数域R上构成的向量空间V与R2同构；

（2）数域F上的向量空间F2×2与F4同构；

（3）数域F上的向量空间F2[x]与F3同构.

并在此基础上，拓展例题难度.

例1 求F3[t]中多项式组f1（t）=1+4t-2t2+t3，f2（t）=-1+9t-3t2+2t3，f3（t）=-5+6t+t3，f4（t）=5+7t-5t2+2t3的秩和一个极大无关组.

分析 此题直接用观察法和定义法是很难得出结果的.可利用“数域F上n（n > 0）维向量空间V与V中向量关于同一基下的坐标构成的向量空间F n同构”这一性质，把问题转换到F n上来分析.

解 取F3[t]的基1，t，t2，t3，以f1（t），f2（t），f3（t），f4（t）在这组基下的坐标为列向量构造矩阵A，并做初等行变换，有

A=1-1-554967-2-30-512121-1-55012-100000000

可知 r（A）=2，且A的第1，2个列向量是A的列向量组的一个极大线性无关组.根据同构映射性质，多项式组f1（t），f2（t），f3（t），f4（t）的秩为2，且f1（t），f2（t）是一个极大线性无关组. 这样的处理，比直接采用求秩和极大无关组的定义法简单得多，体现出了同构思想的魅力.

3.承上启下，注重同构在后续内容中的运用

高等代数中，同构理论起着承上启下的作用，当我们完全理解了同构理论，就会对前面的内容有一个全新的理解，也会对后面的线性变换、二次型、欧氏空间等理论有一个比较清晰的、深刻的认识.

利用矩阵来解线性方程组的方法，深刻渗透着矩阵的思想方法，这种方法的理论依据是矩阵与线性方程组之间可以建立一一对应的同构关系.具体来说，齐次线性方程组是通过其系数矩阵与矩阵建立一一对应的同构关系；一般线性方程组是通过其增广矩阵与矩阵建立一一对应的同构关系.

二次型通过二次型的矩阵与对称矩阵之间建立一一对应关系，同一个数域F上的所有二次型形成的向量空间与由所有对称矩阵形成的线性向量是同构的，二次型问题可以转化成相应的对称矩阵问题，如果相应的对称问题可以解决，则原二次型问题就顺利解决.因此，从某种意义上讲，二次型即为对称矩阵.

线性变换是高等代数中的一个重要组成部分，是建立在抽象的向量空间之上的.讨论和研究线性变换问题是比较困难的事情，但有些时候，讨论某些问题时，也常常把线性变换问题转化为矩阵问题来处理，这是因为作为数域F上的n维向量空间L（V）与Mn（F）是同构的.

在欧氏空间中，通过基的度量矩阵，内积与正定矩阵之间可以建立一一对应关系，同样建立了同构关系.欧氏空间的同构映射具备欧氏空间作为向量空间的一切性质.

下面举两个例子说明同构思想在同构后续内容中的运用，让学生体会到同构思想的理论高度和意义.

例2 求数域F上n维向量空间V的所有线性变换构成的向量空间L（V）的维数和一组基.

分析 L（V）是数域F上n维抽象的向量空间，因为向量空间是抽象的，线性变换是抽象的，它们的基也是抽象的，要直接求出L（V）的维数和基是难以做到的.要解答本题目，首先必须把问题进行转化，把抽象问题相对具体化，利用L（V）与Mn（F）同构的思想来进行.

解 因为L（V）与Mn（F）同构，所以

dim[L（V）]=dim[Mn（F）]=n×n=n2.

设α1，α2，…，αn是V的一组基，取Mn（F）的一组基E11，…，E1n，…，En1，…，Enn，并取δij∈L（V），使得

δij（α1，α2，…，αn）=（α1，α2，…，αn）Eij，i，j∈{1，2，…，n}，

即δij，i，j∈{1，2，…，n}为L（V）的一组基，dim[L（V）]=n2.

例3 设{α1，α2，…，αn}是F上n维向量空间V的一个基.A是F上的n×s矩阵.令

（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）A.

证明：dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.

分析 此题通常证法一般是按定义直接证明，即先证向量组{β1，β2，…，βn}与A的列向量组等价，从而它们具有相同的秩，进而推出dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.这种证法有一定难度且较烦琐.我们知道，V与F n同构，我们将运用同构思想方法来证明.

证明 设ξ1，ξ2，…，ξn是β1，β2，…，βn在基{α1，α2，…，αn}下的坐标，显然ξ1，ξ2，…，ξn∈Fn.由V与F n同构可知，L（β1，β2，…，βn）与L（ξ1，ξ2，…，ξn）等价，从而

dimL（β1，β2，…，βn）=dimL（ξ1，ξ2，…，ξn）.

注意到（ξ1，ξ2，…，ξn）=A，则dimL（ξ1，ξ2，…，ξn）=r（A），故dimL（β1，β2，…，βn）=r（A）.

以上例题由于采用了同构的思想，其方法简洁明了，让人们进一步体会到了同构思想的魅力和重要性.

三、结束语

同构是高等代数中不易理解但又非常重要的概念，它贯穿整个高等代数所有主要内容.在教学中我们要非常重视这个问题的教学，充分运用同构工具，强化同构思想，用其转化高等代数中的难点，提高同构概念教学的有效性，培养学生学习的热情.

【参考文献】

[1]张禾瑞，郝鈵新.高等代数[M].第5版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]刘振宇.高等代数的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2009.