破、解、立：初中数学综合题解题策略探究

鲍建春

摘    要：数学综合题题型多数是多个知识点的串联与组合，知识点覆盖面广，导向性十分明确，对学生数学解题的综合能力有极高的要求.其在中考卷中所占的比重很高，故其得分高低，往往是中考决胜的关键.要想在综合题中获得高分，必须要有一定的解题策略，分步骤、有针对性地解决问题：先对综合题涉及的各个要素进行归类分解;再对分解出的小问题进行切分解答;最后理清思路，完整书写，总结反思，以做到贯穿融合.

关键词：初中数学;数学综合题;解题策略

初中数学综合题在中考卷中所占的比重很高，浙江省各地的试卷中一般分布在选择题第10题、填空题第16题以及最后两道压轴题，特别是最后的压轴题成为学生中考决战成败的关键。数学综合题题型多数是多个知识点的串联与组合，知识点覆盖面广，导向性十分明确，对学生数学解题的综合能力有极高的要求.近几年来，中考几何与代数综合题主要涉及的题型有：开放性探索问题、动态变化问题、是否存在问题、含有字母参数的二次函数综合问题等.所涉及的数学思想方法有：分类讨论、数学建模、转化化归等.学生要想在综合题中获得高分，必须要有一定的解题策略，分步骤、有针对性地解决问题.

笔者从寓言故事“庖丁解牛”中延伸出数学综合题的解题三步法，即破、解、立，并在多年的实践中证明，它可以帮助学生形成有效的解题思路，使其对综合题不再有畏难情绪.下面以二次函数与相似三角形综合题[1]的解题教学为例详细分析.题目如下：

设抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于两个不同的点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90°（如图1）.

（1）求m的值和抛物线的解析式;（2）已知点D（1，n）在抛物线上，过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E.若点P在x轴上，以点P，B，D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标.

一、破题：目无全牛，各个击破

数学思想是解决初中数学综合题的灵魂，学生要善于挖掘综合题中所隐含的条件，运用转化、数形结合、分类讨论、方程（不等式）、函数与方程的建模等思想，把综合题涉及的各个要素进行归类分解，并与相关的章节知识进行对接.这是做到破题的关键.

（一）化繁为简，化未知为已知

此类题就是化未知为已知、化繁为简、用数字替代字母，使复杂的问题简单化，将未学习的知识转化为已知的知识点[2].对每一个涉及的知识点要素，都要进行分解.

本例图形很复杂，但仍有规可循：从∠ACB=90°联想到有直角三角形，引导学生联系直角三角形的有关知识点。

问题1：关于Rt△ABC，你知道哪些知识？

学生回答并分解相关知识要素：①两锐角互余;②三角函数;③30度特殊角边关系;④勾股定理.

实际操作中可将未知解法或难以解决的问题，通过比较、观察、迁移、联想等思维重构的过程，转化化归为已学过的内容和知识，如：分式方程转化为整式方程，空间图形转化为平面图形，多元转化为一元，函数转化为方程等.

（二）化动为静，化抽象为具体

数学综合题中的动态问题是近年来中考出题的热点，而且涉及的知识面很广，往往结合函数与方程、分类讨论思想等.解决这类问题必须要有化动为静的思路，可以根据题意把动态图形分为几个阶段和范围进行步骤分解，画出静态图形，运用化归思想将题目分解，寻找其中的数量关系，从而将抽象的概念转化为具体的图形.

本例中P点在x轴上，是一个动点，可先引导学生画出大致图形，如图2，作出两个静态

图形，再根据图形直观比较对应三角形相似进行解题.

（三）分类突破，化整为零

分类讨论的情况在数学综合题中经常出现，特别是之前提到的动态问题在等腰三角形、四边形、圆中出现更多.分类讨论时要将问题的所有可能性全部罗列出来，依据要素分解分类，做到不重复不遗漏，问题结论要做到完美.

对于本例第二个问题，可以引导学生猜想、发现P点的位置分为两种情况，分别在B点的左边与右边.探究一：连接DB，点P有否可能在点B右侧？探究二：在x轴上点B左侧是否存在点P？解析：由90°<∠EBA<135°可知，点P只能在点B的左侧，有以下兩种情况：①若△DBP1∽△EAB;②若△DBP2∽△EAB.此即分类讨论思想的运用.

综合题的破题，要重点分析题中关键的量或者关键词，要能联想到与每个量相关联的知识点.对于不完整的图形，教师要引导学生添加辅助线补全图形.如对上题是否存在相似三角形这一问题，先要分类探究P点所在的位置，再根据位置分解作出相似三角形的图形进行解题.

二、解题：牛刀小试，分而解之

根据题意破题后，就可以小试“牛刀”进行解题.解题过程中，教师要始终关注解题的方向和核心，让学生把题中分解出的小问题进行切分解答，体验成功的喜悦.

（一）减小难度，重拾信心

综合题一般题目容量大，学生往往会产生惧怕心理.教师要教会学生分解综合题的方法，即如何分解题干;还要注重基础题的训练，让学生体验成功的快乐.这样，才能提高学生解综合题的信心.

问题2：如图3，在Rt△ABC中，CO⊥AB于点O，那么从相似三角形的角度出发可得到哪些结论？（△BOC∽△COA∽△BCA;对应角相等，对应边成比例）有关线段的比例式有哪些，可以化为怎样的乘积式？

这样的问题设置既达到了复习旧知识的目的，又降低了题目的难度，有助于树立学生的信心.

（二）迁移重构，提升思维

在分解出相似三角形的知识点并且解决了相关的问题后，可再结合题中的平面直角坐标系，把三角形与坐标系进行组合重构，解决二重问题.要求出解析式，须先求出各点的坐标.

在问题2中，相似三角形是得出线段成比例的关键，而把这个相似的基本图形放入坐标系，联想到两坐标轴是互相垂直的这一隐含条件，就可以将之顺利迁移到坐标系中.将已学过的知识迁移到新学习的知识，学生就能自主重构了.

问题3：如图4，以AB所在直线为x轴，以CO所在的直线为y轴，建立直角坐标系，当OA=1，OC=2时，请写出A，B，C三点的坐标.

运用迁移重构法时，要时刻思考每个题目的本质特性.教师要时刻注意引导学生自主地去类比分解综合题型的题干，以重新组合知识点，提升思维水平.比如学习了一元一次方程的解法后，再学习不等式的解法，就可以对比两种解法的异同点，让学生在比较中加深印象.

（三）重组归纳，突破思路

数学综合题往往会有几种不同模型的叠加，教师要让学生学会模型归类，特别是在章节的复习中要有意识地寻找一些精练的综合题，让学生分析不同的模型并准确地把握关键点和突破点，并在训练中培养学生的分析归纳能力，使其在解题思路上有所突破.

在完成各点坐标的求解后，可以进一步设问。

问题4：如图5，已知A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB=90°，求m的值和抛物线的解析式.

联想到求二次函数解析式的三种形式，可以把抛物线这一要求还原到题中：

问题①：抛物线过A，B，C三点，求它的解析式.

已知三点求解析式，可以让学生再回顾相关的三种解析式的表达.在求出二次函数表达式后，再结合题中的问题，把直线AE添加到圖中：

问题②：如图6，在上题中的抛物线上存

在点D（1，n），过点A的直线y=x+1交抛物线于另一点E，求D，E坐标.

把各要素分解后，分而解决相关的小问题，即层层重组知识结构，让学生在比较单一的情境中解决常规问题，如相似三角形求线段的长、已知三点求二次函数的解析式、求一次函数与二次函数的交点坐标等，学生就可以在小试牛刀中体验到成功的喜悦，培养数学思维，提升核心素养.

三、立题：壮气吞牛，贯穿融合

在破题、解题之后，我们还要做好最后一步：立题，即要理清思路，完整书写，并总结反思，做到贯穿融合.在分析题目后，我们要把思路重新整理并书写出来，并剔除不用的知识点，保留有用的知识点.

（一）补全图形，理清思路

几何综合问题的图好比一个复杂的机器，它是由基本零件组成的，这些基本零件就相当于基本图对应的特征要素，发现基本图的要素不完整，把它添补完整，这就是添辅助线.解决问题的时候，要把机器的零件拆下来修补，即找出初始条件要素指向的基本图，补上辅助线，使基本图完整，如图7.

对常用的辅助线作法要能理解并应用，比如，对平面直角坐标系中有点的坐标，就要作x轴或y轴的垂线.还要总结归纳一些基本图形，如三垂直、A字形相似、8字形相似等.将这些常用的方法融会贯通后，学生就能够理清解综合题的思路.如本例中只要画出点P在B的左边与右边的两种图形，利用数形结合的思想找到相似三角形的对应关系，就能理清思路很好地解决问题了.

（二）整理归纳，形成思维

解析综合题，可以通过破题分解对象，将知识点重新分门别类.学生分解要素破题是第一步，针对分解后的每一个小题目进行分析解答、重新组合是第二步，最后才是对之前的做法进行整理归纳，形成思维，使解题严密.

“立题”时，对每个问题都要寻根问底，对每一步都要进行思考：多问一个为什么，或问问“这样做是否合理？有没有更简便的方法？”[3]教师要培养学生解决一般问题的科学思维习惯，使其在破题、解题之后有反思，从而顺利地把解题过程呈现出来，真正做到有破有立.

整理过程见上述步骤，此处不再赘述.

（三）思考结论，举一反三

解完一道综合题后，教师要引导学生对结论进行思考，这样能起到举一反三的作用，培育学生的数学核心素养.教师要对结论进行合理的追问，比如：还有没有分类不清楚的？还有没有答案遗漏的？解题步骤是否规范了？方程是否验根了？引导学生在解题后思考这些问题，有助于学生养成研究性学习的好习惯，有利于他们培养勇于探索的精神.此外，要达到“立题”之目的，培育学生数学学习的核心素养，教师还可以改变原题的知识元素，围绕某一问题进行变换、引申、拓展

参考文献：

[1] 盛志军.数学导入课环节诱发学生学习心向的探索[J].数学教学，2010（10）：12.

[2]周兵.认清转化思想、让解题思路飞起来[J].数学大世界（教师适用），2011（10）：15.

[3]陆德强.例谈初中数学几何综合问题的解题方法[J].新课程（中学），2017（3）：18.