设计思维视角下高中数学“问题链”的建构

王飞 王 翔

摘    要：设计思维具有综合处理问题能力的性质，有助于理解问题产生的背景、催生洞察力及解决方法，并理性地分析和找出最合适的解决方案.以设计思维为视角建构高中数学“问题链”，需要根据高中数学学科特点，坚持以同理心为核心、以核心知识为主体、以学生认知能力为基础等原则，整合类别，精准建构.如此，可以引领学生主动发现问题、设计问题、构建问题、解决问题，从而有效达成预设的教学目标和教学任务.

关键词：设计思维;“问题链”;高中数学

设计思维具有综合处理问题能力的性质，有助于理解问题产生的背景、催生洞察力及解决方法，并理性地分析和找出最合适的解决方案[1].设计思维为21世纪的教育创新提供了一种具有可操作性的实践框架，它主张面向全员、以生为本，引导学生踊跃探索知识和知识之间的联系，激发学生综合运用多元知识解决问题，高度关注形象与抽象的平衡、敛聚与发散的交替、分析与综合的统一、逻辑与直观的辩证.那么，在高中数学教学过程中，如何在设计思维视角下建构数学“问题链”，根据学生已有的数学知识素养和数学问题解析能力，将若干相关数学问题经过比较、提炼、打磨、整合、建构，形成一系列具有内在联系的问题链条，引领学生主动发现问题、设计问题、构建问题、解决问题，从而有效达成预设的教学目标和教学任务呢？

一、坚持原则，科学建构“问题链”

高中数学教师建构“问题链”，要同学生的数学知识素养、思维发展水平和发展趋势相契合，要坚持科学的建构原则，激发学生探究数学问题的积极性、主动性和创造性.建构数学“问题链”一般需要遵循以下原则：

（一）坚持以同理心为核心原则

同理心是以人为中心的设计思维的核心环节，它是定义和解决问题的基础.同理心是“和谐发展的一般基础”，要求教师换位思考，将自己设想成学生，从学生的角度建构“问题链”.因此，授课教师需深入研究学生认知特性的同理、学困生行为的同理，培育学生的同理心，注重促进学生知识、思维和情感的统一，促进学生全面发展.

（二）坚持以核心知识为主体原则

高中数学每节课都有教学重点，教师在建构“问题链”时，要根据教学目标对教学内容进行全面的分析、比较、筛选，确立教学核心知识，引导学生掌握数学核心原理、规律、思维策略、解决问题的对策等.因此，教师在建构“问题链”以前，必须充分吃透教材内容、认真备课、深入研究.在确定每节课的教学重难点，明晰学生学习的核心知识点后，再将这些知识点整合为系统式问题，注意必须确保相关数学问题能够环环相套、链式连接，以便进一步引导学生思考、合作、探究.实验证明，以问题为导向、以核心知识为主体建构的“问题链”，能更有效地提高学生的学习效率，提升学生的数学核心素养.

（三）坚持以学生认知能力为基础原则

认知能力是每个人成功完成活动最重要的心理条件.高中数学“问题链”不是系列数学问题的简单拼凑或叠加，而是根据学生已有的认知水平和知识结构，从大多数学生的认知能力出发，对数学问题进行的系统性、整体性建构.其目的是激发学生的内在潜能，调动学生的学习兴趣和动机，提升学生的学习期望值，帮助学生在解决实际问题的过程中，不断实现个人数学学习的预设目标.然后再以此为基础，进一步深入理解和熟练破解数学“问题链”，不断发展学生的数学核心素养.

（四）坚持唤醒学生“认知冲突”原则

认知冲突是指学生在认知发展的过程中，因原有认知结构与现实情境不相符而导致的心理矛盾或冲突.面对新知识或新问题，学生能够利用已有知识经验去解决时，心理上就处于一种平衡状态;一旦学生发现用已有的知识经验无法解決，或新知识与已有知识经验不一致，就会产生认知冲突.在教学过程中，最好运用直观的数学实验、现实生活中的实例来建构“问题链”.对学生来说，真实的情境有一种熟悉感、现实感和亲切感，能有效地激发他们的学习欲望，让他们产生解决问题的兴趣.因此，教师应尽量创造唤醒学生“认知冲突”的“问题链”学习情境，让他们大胆质疑并提问，以此引发深层思考，使其对质疑的问题进行探索、推理、论证，让他们真正体验从生疑到解疑再到获得能力的经验过程，从而实现建构“问题链”所要达成的教学目的.

（五）坚持启发性原则

高中数学教学的根本目的是要发展学生的学习能力，而不是仅仅让学生学会做题，在各类考试中取得理想的成绩.正因为此，基于设计思维的“问题链”，其建构的目的也不仅仅是让学生学会分析问题和解决问题，而是要提升学生的逻辑推理能力，拓宽学生的思维视角，发展学生的创新思维能力，形成更高层次的理性思维.因此，教师在建构“问题链”前应参悟《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的要求，深入研读教学参考章节，把握教学目标和重难点，深刻认识问题的意义和价值，精准提炼问题、区分梯度，要问在关键节点上.教师高度关注系列问题的简和繁、松和紧、深和广、散和聚等区别与联系，按照数学思维运动的规律启发学生，就会使“问题链”的建构具有启发性.简言之，建构“问题链”要顺应知识形成和发展的规律，不应局限于简单的描述性、记忆性问题，而应更多关注思考性、挑战性和启发性问题，使学生能够在发现问题、探究问题中得到启发，在思维冲突中激起智慧的火花.

（六）坚持开放性原则

毋庸置疑，应该建构具有开放性的高中数学“问题链”.因为它既是教学内容的载体，又是推进教学任务完成的手段;既是展开教学活动的重要环节，又是体现信息传输与信息加工的过程.建构的开放性的“问题链”有时会偏离预设的教学轨道，导致偏差产生的原因是多元的：师生对话与参悟的不精准，学生对知识的理解和运用不全面，学生解题或思维的谬误，学生对信息加工的纰漏，教师的教学失误等.面对可能出现的教学突发事件，教师在建构“问题链”时就必须考虑“问题链”的开放性，运用教学智慧和应变能力，根据实际情况灵活调整预设问题，完善或者重新建构“问题链”，并在保持主要教学目标不变的前提下，调整教学内容、问题和方法，灵活多变地提高学生的数学思维品质.

二、整合类别，精准建构“问题链”

高中数学教师建构“问题链”，需要基于教学内容、教学目标、教学任务、教学手段等，对不同的教学问题按照不同的类别加以系统整合.这样才能精准建构不同类别的“问题链”.

（一）建构引入型“问题链”

引入型“问题链”是以数学的核心知识为基础，遵循教学规律，依据学生的认知水平，利用生活实例或情景建构的.它能够建立模型，使知识点之间的衔接更加流畅自然，增强学生的认知能力，激活并拓展学生的数学思维，从而有效地引导教学的高效推进.

【案例1】三角函数起始课“任意角”的教学

问题1：经过小学和初中对角的学习，你们是怎样理解角的？你们学过哪些角？请举例说明.

问题2：从旋转角度去刻画角的过程中，会新出现什么角？用不等式能表示这些角的范围吗？

问题3：现在我有两块手表不知什么原因时间出现了误差，与北京时间相比，分别快、慢10分钟，你会校正吗？

问题4：在现实生活中，我们经常会遇到这样的情景：脚踏动感单车转了100圈，摩天轮在空中转了20圈，机器的齿轮转动，拧动螺丝的扳手转动等.从数学建模的角度看，如何用角去刻画表征？

问题5：圆周运动是一种常见的周期性变化现象.假如“圆O：x2+y2=r2”上的点P以A（r，0）为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化？

引入型“问题链”需要设计出学生耳熟能詳的情境，并层层铺垫与递进，让学生体会提炼新知识的过程，从而理解新知识、新概念、新模型的建立背景和适用范围.

（二）建构探究型“问题链”

探究型“问题链”是为引导学生自主探索数学解题规律、揭示数学本质原理，而精心建构的富有挑战性的、蕴含创新思维的系列问题.建构探究型“问题链”，能提升学生的思维素养，培养学生的探索精神与探究能力.

【案例2】“直线与圆锥曲线的位置关系”的复习教学

已知椭圆[C ： x23+y22=1]，直线[l ： y=kx+b（k， b∈R）].

问题1：我们知道直线和椭圆的位置关系有相离、相切和相交.你能具体给出k，b一组对应值，使直线[l]与椭圆[C]相交吗？

问题2：当直线[l]和椭圆[C]相交时，探究k，b应满足什么关系式？

问题3：若[k+b=1]，直线[l]与椭圆[C]的位置关系能判断吗？

问题4：在问题3的前提下，你能否再添加一个合适的条件，求出直线[l]的方程.

问题5：在问题4的条件下，设直线[l]与椭圆交于[A]，[B]两点，你能求出线段[AB]的长吗？

问题6：问题5中线段[AB]中点与原点连线的斜率与直线[AB]斜率的积是定值吗？

探究型“问题链”的设计目的：一是为了培养学生的创新思维能力;二是为了解决那些难度较大或灵活性较强的问题.案例2中，把直线与圆锥曲线的核心问题分解成6个相互独立，又存在一定交集的问题链，能更好地培养学生思维的广度、深度、高度和远度，进而拓宽学生做人的胸怀、眼界、意识与格局。

（三）建构迁移型“问题链”

建构迁移型“问题链”必须关注两个关键因素：一是数学语言表达的内在思维迁移;二是数学与其他学科融合的跨学科思维迁移.教师建构并实施迁移型“问题链”，能为学生创设运用所学知识的应用环境，引导学生从横向和纵向两方面解决问题，从而提升学生的知识迁移能力.

【案例3】以案例2为基础进行变式设问及追问[2]

问题7：在[△ABC]中，[B（-6， 0）， C（6， 0）]，直线[AB， AC]的斜率之积为[-49]，求顶点[A]的轨迹方程.

问题8：设[B（-a， 0）， C（a， 0）， a>0]，直线[AB， AC]相交于点[A]，且它们的斜率之积为

问题9：设[B（-a， 0）， C（a， 0） ， a>0]，直线[AB， AC]相交于点[A]，且它们的斜率之积为[λ（λ≠0）]，求点[A]的轨迹方程.

问题10：若[B，C]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]长轴的两个顶点，点[A]是椭圆上异于[B， C]两点的任意一点，直线[AB]与[AC]的斜率分别为[kAB， kAC]，求[kAB?kAC]的值.（待学生求出[kAB?kAC]的值后，再追问其与椭圆的离心率有何关系.）

问题11：椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，若过原点的一条直线与椭圆交于[B， C]两点，点[A]为椭圆上异于[B， C]两点的任意一点，直线[AB]与[AC]的斜率分别为[kAB，kAC]，求[kAB?kAC]的值.

问题12：点[A， B， C]是椭圆[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]上任意的三个点，若[kAB?kAC=-b2a2]（追问时改成[e2-1， e]为椭圆的离心率），问直线[BC]是否恒经过坐标原点？

问题13：已知椭圆方程为[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，过原点的直线与椭圆交于[B， C]两点，其中点[B]在第一象限，过点[B]作[x]轴的垂线，垂足为[D]，连结[CD]并延长交椭圆于点[A]，求[kAB?kBC]的值，并指出它与问题10，11中的[kAB?kAC]的大小关系？

问题14：你知道圆锥曲线的光学性质吗？请课后分组研究，从是什么、为什么、生活中的应用这三个维度展开自己的研究.

直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考内容，也是一个重难点内容，它既能考查学生对直线与圆锥曲线位置关系的理解层次，又能考查学生的计算能力，还能发展学生的思维迁移能力.范例中构建的“问题链”立足基础，步步迁移加深：由直线方程迁移到斜率积，再迁移至离心率等诸多数学内部知识规律，最后迁移至生活实践应用.

（四）建构归纳型“问题链”

归纳型“问题链”主要是为唤醒学生的知识记忆、形成系统知识结构而建构的“问题链”，目的是帮助学生梳理和整合各章节中零散的知识点，让学生对所学知识进行过程性或阶段性的重新组合、归类和总结，从而建构出一个更加完善的系统化知识网络.

【案例4】“三角形”复习课（第一课时）

问题1：三角形三条边有怎样的关系？

问题2：三角形三个角之间有怎样的关系？

问题3：三角形的边与角有怎样的关系？

问题4：正弦定理是如何叙述的？你能证明吗？

问題5：什么类型的斜三角形适合用正弦定理去解？试举例说明.

[追问]在[△ABC]中，[AD]是[∠BAC]的平分线，你能得到什么样的等量关系？

问题6：余弦定理是如何叙述的？你能证明吗？

问题7：什么类型的斜三角形适合用余弦定理去解？试举例说明.

[追问] 1.你能用余弦定理推导三角形中线长度公式吗？2.你能叙述并证明三角形中的射影定理吗？

问题8：你能用正余弦定理推导三角形面积公式吗？

问题9：你了解数学家秦九韶发现的“三斜求积”和古希腊数学家海伦的求三角形面积公式吗？

问题10：完成本章的思维导图.

正余弦定理是解决三角形问题的核心知识，是整个三角函数模块的重要内容，其定理有很多应用，且各定理之间密切相关.如果能把这类问题梳理清楚，重新建构各知识点之间的相互关系，学生就可以系统、全面地理解知识之间的关系，提高分析、归纳、整合、建构知识网络的能力，形成解决数学问题的能力.

德国数学家希尔伯特说：“问题是数学的心脏，方法是数学的行为，思想是数学的灵魂.”思想源于思维，“设计思维走进校园”是由斯坦福大学提出的基础教育倡议项目，目前国内外对于设计思维在教育领域的应用研究尚处于起步阶段.基于设计思维的高中数学“问题链”的建构，需要坚持“问题链”的建构原则，强化“问题链”类型的研究和剖析，高效整合数学课程资源，拓展数学课堂教学的容量，提高学生明辨、慎思、探究、应用等学习的质量，努力让每个学生都成为心智自由的学习者，实现高中数学教学持续、健康、高质的发展.

参考文献：

[1]代洁娜，凌诗嘉，孔晶.设计思维支持的STEAM教育教学实践研究[J].中国信息技术教育，2019（1）：80.

[2]姜先亮，殷长征.高考复习中要借“题”发挥——一节椭圆复习课教学设计与思考[J].中学数学研究，2013（11）：16.