无失效数据场合威布尔分布失效概率的Bayes估计

曾 春，李云飞

(西华师范大学数学与信息学院，四川南充 637009)

0 引言

随着社会的不断进步，人们对产品的质量要求越来越高，在高可靠性产品的可靠性试验中，往往没有样品失效，获得的数据称为无失效数据[1-2].威布尔分布是最常见的寿命分布之一，在应用概率统计和产品的可靠性分析中被广泛应用[3]，如何在无失效数据场合下，对寿命服从威布尔分布的产品的可靠性参数进行估计是值得深入研究的问题.

茆诗松和王玲玲[4]综述了威布尔分布无失效数据的几种处理方法，如经典方法、Bayes方法、最小χ2法、等效失效数方法；王玲玲和王炳兴[5]利用修正似然函数方法对可靠性参数进行估计；倪中新和费鹤良[6]根据平均剩余寿命得到参数的拟矩估计，从而将无失效数据转化为一个或多个失效数据的情形，最后利用分布函数曲线拟合方法得到未知参数的估计；张志华[7]将分布函数变换为凹函数，利用凹函数的性质对失效概率pi进行Bayes估计，进一步得到产品可靠性指标的估计；刘海涛[8]通过对分布函数进行变换，利用函数的凹凸性得到失效概率之间的关系，从而得到各时刻失效概率的估计；贾祥和王小林[9]在威布尔分布下,对配分布曲线法加以改进,使得计算结果不仅包含点估计,也包含置信区间估计；Erto和Guida[10]在形状参数和特征寿命均未知的情形下，取形状参数的先验分布为均匀分布，固定时刻的可靠度的先验分布为Beta分布，给出了可靠度的点估计和置信限；申珅[11]利用中位秩法在Excel中进行威布尔分布的参数估计的讨论,从而获得可靠性概率结论；李爽和李云飞[12]修正截尾时刻失效概率的取值上界,利用多层Bayes估计失效概率pi.

威布尔分布在产品寿命分析中扮演着重要的角色，其形状参数的不同取值将产生不同的函数形态，不同的函数形态对应不同的产品失效阶段和失效机理，所以按照威布尔分布形状参数的不同取值对无失效数据进行估计是合理的[13-14].因此，本文考虑根据形状参数m的不同取值范围得到pi的取值范围，并将关于pi的减函数(1-pi)2作为先验分布的核，对pi进行估计，再利用加权最小二乘法估计可靠性参数.

1 模型假设

可靠性寿命试验中的截尾试验一般有定时截尾和定数截尾两类，而无失效数据通常出现在定时截尾试验中，所以本文将在定时截尾试验下进行讨论[9].

设产品寿命T服从威布尔分布Weibull(m,η)，对应分布函数为

(1)

其中t>0，m>0，η>0，m为形状参数，η为尺度参数.

随机抽取S个样品，分为n组，分别进行定时截尾试验，对应截尾时间分别为ti(i=1,2,...,n)，试验样品数分别为ni(i=1,2,...,n)，所有样品在试验结束之前无一失效.则称(ti,ni)(i=1,2,...,n)为无失效数据.

模型可做如下假设：

i)当t0=0时，产品的失效概率p0=P(T≤0)=F(0)=0；

iii)0=t0

2 形状参数m>1下的统计分析

2.1 失效概率pi的取值范围

当m>1时，

2.2 失效概率pi的估计

文献[14]中，将均匀分布作为pi的先验分布，但是在无失效数据场合，失效概率pi大的可能性小，而小的可能性大，因此取匀分布作为pi的先验分布不太合理.将关于pi的减函数(1-pi)2作为pi的先验分布的核[16]，此时满足失效概率pi大的可能性小，而小的可能性大这一要求.

引理1[16]取pi的减函数(1-pi)2作为pi的先验分布的核，则pi(i=2,3,…,n)的先验分布为

证明由于在平方损失下，pi的Bayes估计即为后验分布的期望，为此，先计算出pi的后验分布，当

t=ti时，Si个产品均无失效，即失效数X=0，其似然函数为

L(X=0|pi)=(1-pi)Si.

根据引理1中pi(i=2,3,…,n)的先验分布，pi(i=2,3,…,n)的似然函数以及Bayes定理，可得

pi(i=2,3,…,n)的后验分布为

则在平方损失下，pi(i=2,3,…,n)的Bayes估计为：

3 形状参数0

3.1 失效概率pi(i=1,2,…,n)的取值范围Ⅰ

3.2 失效概率pi(i=1,2,…,n)的取值范围Ⅱ

所以F(t)是t的凸函数.根据凸函数的性质，当0=t0

由假设i)，当t0=0时，p0=P(T≤0)=F(0)=0，所以

(2)

3.3 取值范围Ⅰ和取值范围Ⅱ的比较

由假设iii)得0f(1)=0.综上，Δpi>0，即

Δpi2>Δpi1

(3)

3.4 失效概率pi的估计

类似定理1的证明.当形状参数m=1时，威布尔分布即为指数分布，文献[17-18]对其做了详细研究.

4 可靠性指标的估计

5 算例分析

在形状参数m=2.7，尺度参数η=2 500和形状参数m=0.6，尺度参数η=9 000时，生成两组仿真无失效数据，按照文献[19]的方法，将每组数据依次排序，分为7个小组，每个小组5个数据，将每个小组中最小的数据减1作为试验截尾时间，可以认为，在此截尾时间内产品未失效.假设每组共有43个产品，每组试验ni个产品，当t=ti时，有Si个产品未失效，从而得到两组仿真无失效数据，如下表1所示.

当m>1时，利用文献[14]提出的方法得到的误差平方和为0.010 980 26，而本文提出得方法得到的误差平方和为0.009 593 60；当 0

6 结论

由于在无失效数据场合，失效概率大的可能性小，而小的可能性大，本文利用韩明提出的减函数法，将关于pi的减函数(1-pi)2作为pi的先验分布的核，利用Bayes方法得到失效概率的估计，最后通过对仿真数据进行计算、分析、比较，验证了本文提出的方法的合理性和可行性，同时通过比较误差平方和，表明了本文提出的方法提高了失效概率的估计精度.