五点作图法在求解三角函数参数中的应用

徐加华 高振宁

(山东省新泰市第一中学 271200)

三角函数中的参数问题一般涉及值域、单调性、周期性、奇偶性等相关性质.从代数的角度来处理参数问题往往计算量大，且不易理解；相反，从几何的角度，借助五点作图法画出函数的图象，利用数形结合思想来解决此类问题可以使问题更直观化，更易接受.利用五点作图法求解三角函数的参数问题，应注意以下几点：

(3)关注三角函数性质的特殊性，如正弦函数和余弦函数具有有界性，这往往在确定变量范围，解决最值等有关问题时起着特殊作用．

下面笔者就谈谈五点作图法在求解三角函数参数中的应用.

一、已知函数单调性求参数ω的取值范围

图1

评注由于ω会影响三角函数的周期，单纯从代数角度去研究单调性，需要先求出单调区间，然后利用集合间的关系求解；或转化为使得某个等式或不等式恒(可以)成立，通过分离参数，求出解析式的范围或最值，进而求出参数的范围.一般来说，运算量都很大，并且太抽象.而运用五点作图法来解决此类问题，计算小，容易理解.

二、已知单调性求参数φ的取值范围

儿科的临床护理具有特殊性，一方面，患儿普遍年幼，认知和理解能力不足，对疾病的耐受力较差，容易哭闹、喊叫、抗拒，导致护理工作难以开展。另一方面，家属通常伴有焦虑、紧张、烦躁、易怒等情绪，很容易因沟通不到位而产生误会，导致医疗纠纷[1]。针对上述问题，我科将个性化护理模式引入临床，通过一系列干预提高患儿的临床依从性，现总结如下。

解析f(x)=sinx-2cos(x-φ)sinφ=sin(x-φ+φ)-2cos(x-φ)sinφ=sin(x-φ-φ)=sin(x-2φ)，利用五点作图法得f(x)的图象，如图所示：

由于2φ<3π<2φ+3π，可知

图2

评注已知ω时三角函数的周期已经确定，φ仅仅会影响三角函数图象上点的位置而不会改变三角函数图象的形状.解决问题时画出函数图象就可以使问题清晰明了，此题的一个难点是拆角变换：是x=(x-φ)+φ.

三、已知三角函数的对称性求参数范围

图3

四、 已知三角函数的最值求参数范围

图4

评注三角函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在某个区间上没有最值，也就是在此区间没有对称轴，也是在此区间没有极值，并且没有最值的区间长度小于等于半个周期.

五、 已知三角函数的零点求参数范围

图5