晒晒集合中常用的数学思想

杜红全

(甘肃省康县教育局教研室 746500 )

数学思想是数学知识的精髓，既是知识转化为能力的桥梁，又是解数学问题寻找思路的依据，它蕴含在高中数学的各个章节中.下面举例说明集合中常用的数学思想，供参考.

一、数形结合思想

数形结合,由数思形，由形定数，起到互补、互动、互译作用，可见数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.使用数形结合思想可以使问题化难为易，化抽象为具体.运用数形结合思想解题通常有三种类型：由形化数，由数化形，数形转化.

例1 已知集合A={x|1≤x<4}，B={x|x

分析把集合在数轴上表示出来，借助数轴直接求解.

解将集合A表示在数轴上，如图1所示，要满足AB，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求实数a的取值范围是{a|a≥4}.

点评求解这类问题的关键是要利用数轴，数形结合；将集合A表示在数轴上，由数化形，求实数a的取值范围是由形化数，同时要注意验证端点值，做到准确无误；解决有关交集、并集问题，特别是求一些字母取值范围的问题常用数形结合思想方法.

二、分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题所给对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的解答.分类讨论实质上就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略.

例2 设集合A={x|x2+2x=0}，B={x|x2+2ax+a2-a=0，a∈R,x∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.

分析由于B⊆A，所以集合B可以为空集，可以B与A相等，也可以B为A的非空真子集，需分三种情况进行讨论.

解因为A={x|x2+2x=0}={-2,0}，B⊆A，所以有B=φ、B=A或BA(B≠φ).

(1)当B=φ时，Δ=4a2-4(a2-a)<0，解得a<0；

(3)当BA(B≠φ)时，有B={-2}或B={0}，所以Δ=4a2-4(a2-a)=0，解得a=0，此时B={x|x2=0}={0}满足条件.

综上可知，实数a的取值范围为a≤0或a=1.

点评解答本题的关键是理解好子集的含义；B⊆A可分B=φ、B=A或BA(B≠φ)三种情况，所以此类问题需要分类，并结合一元二次方程根的情况加以解决；分类时要遵循“确定对象的全体，明确分类标准，做到不重不漏”的原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答.

三、方程思想

方程思想就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系来反映，然后通过解方程或对方程进行讨论的数学方法.

分析利用集合相等，它们所含的元素相同，列方程来确定a，b的值，再求a2021+b2021的值.

点评求解本题的关键是利用集合相等的概念，借助相等的关系列方程求出字母的值，但要注意排除与集合元素互异性或已知相矛盾的情况.

四、正难则反思想

有些数学问题，若直接从正面解决比较困难，或考虑的因素比较多，可以考虑求问题的反面，采用间接的方法将问题解决，这就是正难则反思想.在解决“至多”、“至少”等一类问题时，常用这种思想方法，在集合中正难则反思想就是补集思想.

例4 已知集合P={x|4

分析P∩Q≠Q直接考虑情况很多，非常麻烦，因此考虑它的反面，即P∩Q=Q，求出答案，只要求它的补集即可.

综上所述，当P∩Q=Q时，k的取值范围是{k|k≤2,或34}.

点评求解本题的关键是将求P∩Q≠Q时的k的取值范围转化为求其对立面P∩Q=Q时的k的取值范围，再取补集得出原问题的解；正难则反思想作为一种思想方法，为我们研究问题提供了新思路，在正向思维受阻的情况下，改用逆向思维，可能“柳暗花明”，从这个意义上讲，正难则反思想具有转换研究对象的功能.

五、转化思想

所谓转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，从而达到解决问题的一种方法.转化思想方法可以将难解的、复杂的、未解决的问题通过变换转化为较容易的、简单的、已解决的问题.

例5 已知集合M={(x,y)|y=x-2,x∈R}，N={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈R}，问是否存在非零整数a，使得M∩N≠φ.

点评求解本题的关键将待求问题转化为讨论方程组是否有解的问题，从而顺利获解.