一道北京市数学竞赛预赛试题模型本质与多解探析

余业兵 蒋中海

(西南大学附属中学校 400700)

当我们解决一道新题目时，G·波利亚告诉我们较好的想法是这样的： “你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？”，“你知道一道与它有关的题目吗？”， “你能利用它吗？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？”.有时候有些题目具有一定的代表性，我们可以发现一类本质属性与它相关、相似或者是相近的一类题目，我们把这样的题目叫做这一类题目的模型，有的也把它称作是这一类题目的母题，如果我们能够深刻理解模型题(母题)的本质属性或者关键属性，遇到的相关题目也就迎刃而解了.本文基于这样的解题思路，就一道数学竞赛预赛压轴题的母题模型、模型本质、解题视角、各种解法做深入的探究与分析.

一、题目呈现

题目分析题目考查学生认识图形、分析图形，综合运用所学知识解决图形中线段比例、三角形面积等相关问题的能力，考虑到是最后一个题，命题者故意做了一定的伪装，穿了几件衣服，显得较为新颖，有一定的难度.几何题的关键在于认清典型图形与图形之间的关系，通过细致分析不难发现题目中图形关系的关键在于“点O分BN成的比和点N分AC成的比是确定的”，找到这个关键后再思考我们见过与它相关、相似或者是相近的题目吗？通过仔细分析，我们发现下面这个典型常见模拟题与本题的关键要素是相近的，图形关系本质上是一致的.

模型分析该题是一道传统的向量题，可以采用经典解法“封闭图形加基底表示”或者“三点共线的充要条件”，而它又是一道几何题，故既可以利用平面几何中处理线段比例的常见方法(平型切割或者梅劳定理)，也可以采用解析几何中用坐标表示的方法(由于和目标题目解法想通，就不具体分析了，留给读者自己分析).而目标试题显然与模型试题图形本质上是一致的，再加上三角形中面积的不同处理方法，各种解法也就任性而自然地生成了.

二、解法探析

1.平面几何视角

解法三(面积公式)我们可以采用不同的方法计算面积，其它的同解法一、解法二.

解法点评先从平面几何的视角来看，对付线段比例问题最常用的方法是“平行切割”，就像解法一那样，只要作出适当的平行线，利用图形中被平行线所截得的对应线段成比例就可以了，解法常规、简洁优美；除了这种方法，竞赛中也可以选择“梅涅劳斯”定理这个对付线段成比例的通法，就像解法二那样重复使用“梅涅劳斯”定理可以轻松解决，思路单一而简洁；解法四采用了面积法，更是别有一番风味，让人眼前一亮.再有就是可以采取不同的面积的处理方式，解法一中的处理显得巧妙而简单，解法二、四中的处理都是常用面积处理方法.

2.平面向量视角

解法点评向量作为一个好用的工具，在处理几何问题和代数问题上都有广泛的应用，解法五、解法六中向量常见的运算意识，基底意识、三点共线模型意识、封闭图形意识、待定系数意识都得到了充分的应用，具有一定的代表性.

3.解析几何视角

解法七(坐标法)如图5，考虑到这是一道填空题，而 “点O分BN成的比和点N分AC成的比”不会因为三角形形状的改变而改变，也就保证了图形中的三角形面积比例不会发生改变，只要保证“AC=a，OD=d”这个条件，就可以把三角形特殊化，不妨让AB⊥AC，以AB、AC分别为x、y轴建立平面直角坐标系，则C(a,0)，设B(0,b)，由易得由易得再结合可求得这就求出了于是直线令y=0可得：这就求出了至于求面积既可以回到解法二、解法三，也可以算弦长和点到直线的距离，只需要让就行了.

解法点评解析的精髓在于利用代数计算的方式解决几何问题，使用时恰当坐标系的选取尤其重要，解法七巧妙地利用了图形特殊化后“线段比例”不会改变、面积比列也不改变这两个事实，实现了小题小解、小题巧解.

三、解后反思

顿悟绝非空隙来风，巧解也不会凭空产生，解题思维的产生往往是新的刺激信息与以往解题经验在大脑中综合作用的结果，要想解题得法、解得有法、解答多法，就需要我们在日常的教学与学习中注意总结、多多积累，吃透题目模型的本质属性，厘清各种数学要素的相互关系，把握解题的关键钥匙，这样，在遇到一道新的题目时，由于“模型本质心中藏”，也就自然而然“解法由我不由天”了.